Системы массового обслуживания

За последние десятилетия в самых разных областях народного хозяйства возникла необходимость решения вероятностных задач, связанных с работой систем массового обслуживания.

Математическая дисциплина, изучающая модели реальных систем массового обслуживания, получила название теории массового обслуживания.

Задача теории массового обслуживания - установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что требование будет обслужено; математического ожидания числа обслуженных требований и т. д.) от входных показателей (количество приборов в системе, параметров входящего потока требований и т. д.) установить такие зависимости в формульном виде можно только для простых систем массового обслуживания. Изучение же реальных систем проводится путем имитации, или моделирования их работы на ЭВМ с привлечением метода статистических испытаний.

Система массового обслуживания считается заданной, если определены:

1) входящий поток требований, или, иначе говоря, закон распределения, характеризующий моменты времени поступления требований в систему. Первопричину требований называют источником.Источник располагает неограниченным числом требований и что требования однородны, т. е. различаются только моментами появления в системе;

2) система обслуживания, состоящая из накопителя и узла обслуживания. Последний представляет собой одно или несколько обслуживающих устройств, которые в дальнейшем будем называть приборами. Каждое требование должно поступить на один из приборов, чтобы пройти обслуживание.

Может оказаться, что требованиям придется ожидать, пока приборы освободятся. В этом случае требования находятся в накопителе, образуя одну или несколько очередей. Положим, что переход требования из накопителя в узел обслуживания происходит мгновенно;

3) время обслуживания требования каждым прибором, которое является случайной величиной и характеризуется некоторым законом распределения;

4) дисциплина ожидания, т. е. совокупность правил, регламентирующих количество требований, находящихся в один и тот же момент времени в системе. Система, в которой поступившее требование получает отказ, когда все приборы заняты, называется системой без ожидания. Если требование, заставшее все приборы занятыми, становится в очередь и ожидает до тех пор, пока освободиться один из приборов, то такая система называется чистой системой с ожиданием. Система, в которой требование, заставшее все приборы занятыми, становится в очередь только в том случае, когда число требований, находящихся в системе, не превышает определенного уровня (в противном случае происходит потеря требования), называется смешанной системой обслуживания;

5) дисциплина обслуживания, т. е. совокупность правил, в соответствии с которыми требование выбирается из очереди для обслуживания. Наиболее часто на практике используются следующие правила:

- заявки принимаются к обслуживанию в порядке очереди;

- заявки принимаются к обслуживанию по минимальному времени получения отказа;

- заявки принимаются к обслуживанию в случайном порядке в соответствии с заданными вероятностями;

6) дисциплина очереди, т.е. совокупность правил, в соответствии с которыми требование отдает предпочтение той или иной очереди (если их несколько) и располагается в выбранной очереди. Например, поступившее требование может занять место в самой короткой очереди; в этой очереди оно может расположиться последним (такая очередь называется упорядоченной),

а может пойти на обслуживание вне очереди. Возможны и другие варианты.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью, простейшим потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания. Пусть время обслуживания имеет произвольное распределение с математическим ожиданием t_обсл = 1/μ и коэффициентом вариации ν_μ. Тогда среднее число заявок в очереди и среднее число заявок в системе определяются формулами Поллачека – Хинчина:

Деля L_оч и L_сист на λ, отсюда, согласно формулам Литтла, получим среднее время пребывания заявки в очереди и в системе.

В частном случае, когда время обслуживание имеет показательное распределение (ν_μ = 1), из формул Полачека - Хинчина следуют формулы для простейшей одноканальной СМО.

В другом частном случае - когда время обслуживания регулярно (ν_μ = 0), среднее число заявок в очереди уменьшается в 2 раза по сравнению с простейшим случаем, т.е. регулярная СМО работает в 2 раза лучше, чем неорганизованная, беспорядочная СМО.