Методические указания к расчету на устойчивость сжатых стержней.

 

При определении критической силы и критического напряжения необходимо пользоваться либо формулами Эйлера (9.1) и (9.2), либо формулой Ясинского (9.5). Для этого необходимо сначала вычислить гибкость стержня  из выражения (9.3) и по ее величине определить, какую формулу нужно использовать.

При определении допускаемой нагрузки (грузоподъемности) для стержня или площади его поперечного сечения необходимо использовать условие устойчивости (9.6).

При определении грузоподъемности необходимо вычислить гибкость стержня , а по ее величине из табл. 9.1 определить значение коэффициента продольного изгиба . Далее из условия устойчивости, используя допускаемое напряжение на сжатие, вычислить величину допускаемой нагрузки.

При определении площади поперечного сечения стержня задачу решают путем последовательных приближений, задаваясь различными значениями  (в первом приближении ), т.к. в этом случае в выражении условия устойчивости получается два неизвестных: площадь поперечного сечения  и коэффициент , зависящий также от размеров и формы поперечного сечения.

Пример 1. Определить размеры поперечного сечения (рисунок 18) стальной стойки длиной , если нагрузка, действующая на нее , а допускаемое напряжение при сжатии . Определить критическую силу и коэффициент запаса устойчивости. Один конец стойки защемлен, другой шарнирно опёрт (рисунок 17d).

Выразим необходимые геометрические характеристики через размеры поперечного сечения, используя данные таблицы 4.1.

Площадь сечения

 

Рисунок 18.

 

Минимальный осевой момент инерции сечения

.

Минимальный радиус инерции сечения согласно выражению (9.4)

.

Гибкость стойки (учитывая, что )

.

Используя условие устойчивости (9.6), путем последовательных приближений определим размеры поперечного сечения стойки:

                                    ;

.

В первом приближении задаемся .

;

; ;

.

Из таблицы 9.1 путем линейной интерполяции находим значение  для .

; ; ; ;

.

Из условия устойчивости определим допускаемое усилие:

.

Полученное допускаемое усилие значительно меньше заданного . Следовательно, в данном случае стойка будет перегружена.

Во втором приближении берем значение коэффициента продольного изгиба между  и  (несколько ближе к полученному значению ) .

; ; .

.

В этом случае стойка будет несколько недогружена.

При , .

Допускаемое напряжение на устойчивость

.

Сечение стойки недогружено на

,

что вполне допустимо.

Определим величины критической нагрузки и коэффициента запаса устойчивости. Так как , тогда можно применить формулу Эйлера (9.1). Для подобранного значения .

;

;

;

.

Пример 2. Для колонны, состоящей из двух неравнобоких уголков 160´100´10 (рисунок 19), подобрать величину допускаемой нагрузки, если длина колонны 5 м, а допускаемое напряжение на сжатие . Определить величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости. Оба конца колонны жестко защемлены (рисунок 17с).

Решение. Выпишем из таблиц ГОСТ 8510–72 и вычислим необходимые геометрические характеристики:

 

                                   Рисунок 19                                             

 

; ; ; .

Площадь всего сечения .

Главные центральные моменты инерции сечения:

относительно оси

;

относительно оси  (используем формулу при параллельном переносе осей координат (4.10))

.

Следовательно, .

Минимальный радиус инерции сечения

.

Гибкость стержня при .

.

Из условия устойчивости определим величину допускаемой нагрузки.

Из таблицы 9.1 для ;

.

Определим величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Так как , тогда для определения критической силы используем формулу Ясинского (9.5). Для этого берем ; .

;

.