Главные центральные моменты инерции некоторых сечений

Сечение

 

Если сечение можно разбить на простые фигуры, то геометрические характеристики его определяют путем суммирования геометрических характеристик каждой отдельной фигуры относительно необходимых осей координат.

Пример. Для сечения, состоящего из швеллера № 22а и равнобокого уголка , определить положение главных центральных осей инерции и вычислить главные центральные моменты инерции (рисунок 9).

 

Рисунок 9

Решение. При вычислениях все размеры берем в см.

Определение положения центра тяжести сечения.

Используя выражения (4.7) и (4.8), определяем координаты центра тяжести сечения в системе осей  и :

;

.

Площади сечений для швеллера (из таблицы ГОСТ8240 – 72)  и уголка (из таблицы ГОСТ 8509 – 72) .

Координаты центров тяжести фигур:

;

;

.

Центр тяжести сечения должен находиться на линии, соединяющей центры тяжести двух составляющих его фигур (см. рисунок 9).

Определение осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей  и . Для этого используем формулы изменения геометрических характеристик при параллельном переносе осей координат (4.9) …(4.11), взяв за исходные центральные оси каждой фигуры:

;

;

.

Для швеллера (из таблицы ГОСТ8240 – 72): ; ; , т.к. оси  и  для швеллера главные (оси симметрии);

;

.

Для уголка (из таблицы ГОСТ8509 – 72): .

Так как оси  и  для уголка на являются главными, то определим центробежный момент инерции , используя выражение (4.14), взяв за исходные главные оси уголка  и  и учитывая, что :

Из таблицы ГОСТа: , т.к. угол  отложен по часовой стрелке.

;

;

.

Вычисляем

;

;

.

Определим положение главных центральных осей инерции и вычислим главные моменты инерции. По выражению (4.16)

,

что соответствует , а .

Угол  положителен, откладываем его против часовой стрелки и проводим главные оси  и .

Согласно выражению (4.17), главные центральные моменты инерции

Проверка. Так как главные моменты инерции экстремальны, то

При повороте осей координат сумма осевых моментов инерции должна оставаться постоянной

3724 + 262 = 3701 + 285;

.

Прямой изгиб

Прямым чистым изгибом называется такой вид нагружения поперечного сечения элемента конструкции (балки), при котором в этом сечении возникает один внутренний силовой фактор – изгибающий момент относительно одной из главных центральных осей инерции этого сечения. Изгибающий момент в поперечном сечении балки вызывает нормальные напряжения, и условие прочности в этом случае имеет вид

                                   ,                                   (5.1)

где  - изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении балки;

 - осевой момент сопротивления поперечного сечения балки.

Осевой момент сопротивления зависит от размеров и формы поперечного сечения и характеризует прочность балки при изгибе. Он берется относительно той главной центральной оси инерции сечения, относительно которой действует изгибающий момент. Для прямоугольного сечения

                                   ,                                         (5.2)

                                   ,                                         (5.3)

где  и  - длины сторон прямоугольника, параллельные соответственно главным осям инерции его  и .

Для сплошного круглого сечения

                                   ,                                       (5.4)

где  - диаметр круга.

Для кольцевого круглого сечения

                                   ,                          (5.5)

где ;  - внутренний диаметр;  - наружный диаметр.

Для стандартных прокатных профилей (швеллер, двутавр)  берется из таблицы ГОСТа.

Расчет на прочность ведется по наиболее опасному поперечному сечению балки, т.е. сечению, где возникает максимальный по абсолютной величине изгибающий момент, который обычно берут с эпюры (графика) изгибающих моментов, строящейся по длине балки.

Так как в большинстве случаев у балок имеет место поперечный изгиб, а наряду с изгибающим моментом  в поперечном сечении возникает перерезывающая сила , то строят одновременно эпюры этих силовых факторов. Эпюры строятся под схемой каждой балки откладыванием в определенном масштабе в направлении оси ординат числовых значений перерезывающей силы  и изгибающего момента . Осью абсцисс при этом служит линия, параллельная оси балки.

Если все внешние нагрузки находятся в одной плоскости, то величина перерезывающей силы в каком-либо поперечном сечении балки равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил справа или слева от сечения на след плоскости этого сечения  (рисунок 10), то есть на перпендикуляр к оси балки. Изгибающий момент при этом равен алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок справа или слева от сечения относительно точки пересечения плоскости сечения с осью балки.

        

Рисунок 10

 

Согласно правилу знаков (рисунок 10) перерезывающая сила считается положительной, если внешняя нагрузка слева от сечения направлена вверх или справа от сечения вниз. Изгибающий момент считается положительным, если под действием его балка изгибается вогнутостью вверх. Со стороны вогнутости продольные слои (волокна) балки находятся в сжатом состоянии, поэтому согласно правилу знаков изгибающий момент откладывается со стороны сжатых волокон балки.

Перед построением эпюр там, где это необходимо, нужно определить реакции опор, а балку разбить на участки, границами которых являются точки приложения внешних нагрузок.

При построении эпюр для контроля правильности имейте в виду следующее. Из правила определения  следует, что в сечении балки, в котором приложена сосредоточенная сила, на эпюре перерезывающей силы должен быть скачок на величину этой силы. Из правила определения  следует, что в сечении балки, в котором приложен внешний сосредоточенный момент (пара сил), на эпюре изгибающих моментов должен быть скачок на величину этого момента.

Из дифференциальной зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе

                                   ,                                              (5.5)

где  - интенсивность внешней распределенной нагрузки,

                                   ,                                         (5.6)

следует, что согласно свойству производных положительная перерезывающая сила будет соответствовать возрастающему (алгебраически) изгибающему моменту, а отрицательная – убывающему. В том же месте, где  равна нулю,  имеет экстремальное значение. Так как производная функции пропорциональна тангенсу угла наклона к ее кривой, то, связывая изменение величин  и угла наклона к кривой , можно контролировать правильность построения эпюр. В сечении балки, где  имеет скачок, эпюра  претерпевает излом.

Жесткость при изгибе оценивается по величине прогиба, т.е. перемещения центра тяжести поперечного сечения балки. Прогиб  можно определить из интеграла Мора

                                   ,                          (5.7)

где  - длина балки;

 - изгибающий момент от всех внешних нагрузок;

 - изгибающий момент от единичной силы, приложенной в точке, перемещение которой нужно определить;

 - модуль упругости 1-го рода;

 - осевой момент инерции поперечного сечения балки, взятый относительно той главной его оси, относительно которой действует изгибающий момент.

Если система, в которой определяется перемещение, состоит из прямолинейных участков и по длине участка , то интеграл может быть приближенно вычислен по формуле Симпсона:

, (5.8)

где  - число участков;

 - длина участка;

 - произведения изгибающих моментов от внешних нагрузок и единичных сил в начале, середине и конце каждого участка.

Пример 1. Дано: , ,  (рисунок11). Построить эпюры  и . Из условия прочности при изгибе подобрать стальную балку двутаврового сечения, если .

Решение. Определим реакцию опор  и  из условий статики. В качестве уравнений статики возьмем суммы моментов относительно  и :

;

; .

;

; .

Проверим правильность определения реакций, спроектировав все силы на вертикальную ось :

;

.

Разобьем балку на четыре участка.

 

                                   Рисунок 11                                             

 

Для упрощения выражений, определяющих  и  к сечениям на I и II участках, будем подходить слева, а на III и IV участках – справа, используя правило знаков (рисунок 10).

I участок (слева): .

Уравнение перерезывающей силы

                                   .

Это уравнение прямой линии, и для построения эпюры достаточно двух точек.

При ; при .

По полученным данным строим эпюру  на I участке.

Уравнение изгибающего момента

                                   .

Это уравнение параболы.

При ; при .

Так как  на I участке не проходит через ноль и положительна, а  отрицательна (направление вниз), то согласно дифференциальным зависимостям (5.5) и (5.6) изгибающий момент будет плавно возрастать по кривой линии, выпуклость которой направлена вверх. На основании этого строим эпюру  на I участке.

II участок (слева): .

                                   .

При , при .

Строим эпюру .

.

При , при .

На этом участке  проходит через ноль, и  будет иметь экстремальное значение. Определим экстремум .

Согласно выражению (5.6).

                                   ;

                                   .

При .

По этим данным строим эпюру  на II участке.

При подходе к сечению справа начнем построение эпюр с IV участка.

IV участок (справа): .

                                   .

Строим эпюру .

                                   .

При ; при

Строим эпюру .

III участок (справа): .

                                   .

Строим эпюру .

                                   .

При ; при .

Строим эпюру .

В сечениях ,  и  приложены сосредоточенные силы, и на эпюре перерезывающей силы есть скачки, а величину этих сил. В сечении приложен сосредоточенный момент, и на эпюре изгибающих моментов есть скачок на его величину. В сечении  эпюра  имеет перелом, так как на эпюре  в этом сечении есть скачок.

Подберем для балки номер двутавра. Из условия прочности при изгибе (5.1) необходимый для обеспечения прочности осевой момент сопротивления

                                   .

С эпюры изгибающих моментов максимальный по абсолютной величине изгибающий момент . Согласно условию задачи .

                                   .

В таблице ГОСТ 8239 – 72 ближайший больший  для двутавра . Этот двутавр берем для заданной балки.

Пример 2. Дано: , ,  (рисунок 12). Построить эпюры  и . Из условия прочности при изгибе подобрать диаметр деревянной балки, если . Определить вертикальное перемещение свободного конца балки.

Решение. Для этой балки при построении эпюр можно не определять реакции в заделке, если строить эпюры, подходя к сечению справа. При построении эпюр  будем определять изгибающий момент в середине каждого участка, необходимый для определения перемещений при изгибе по методу Мора (5.8).

I участок (справа): . , .

Строим эпюру .

II участок (справа): .

                                   .

При ; при .

Строим эпюру .

                                  

Рисунок 12

При ; при .

В середине участка при

.

Согласно дифференциальным зависимостям (5.5) и (5.6) экстремум  будет при , и эпюра его будет направлена выпуклостью вверх. В соответствии с этим строим эпюру .

III участок (справа): .

                                   .

При , при .

Строим эпюру .

.

При ;

При .

В середине участка при .

Строим эпюру .

IV участок (справа): .

.

Строим эпюру

.

При ;

При ;

При .

Строим эпюру .

В сечении, где приложена сосредоточенная сила , перерезывающая сила делает скачок, а на эпюре изгибающих моментов есть перелом.

Определим диаметр балки, используя условие прочности (5.1) и выражение   для круга (5.4):

                                   .

Отсюда                     

С эпюры изгибающих моментов максимальной по абсолютной величине изгибающий момент . Из условия задачи .

                                   .

Определим вертикальное перемещение конца балки, подставляя в формулу Симпсона (5.8) значения изгибающих моментов с эпюры изгибающих моментов  от внешних нагрузок и с эпюры изгибающих моментов  от единичной силы  (рисунок 12) в начале, середине и конце каждого участка:

Для дерева . Для круга осевой инерции (см. таблицу 4.1)

;

Пример 3. Из условия прочности при изгибе определить грузоподъемность передней оси валкового укладчика картофеля (рисунок 13). Ось имеет кольцевое поперечное сечение с наружным и внутренним диаметрами: , , . Допускаемое напряжение для материала оси .

Решение. В качестве расчетной схемы для оси можно принять двухопорную балку, нагруженную двумя сосредоточенными силами (рисунок 13). В этом случае реакции опор будут между собой равны , а максимальный изгибающий момент с его эпюры

                                   .

Из условия прочности при изгибе (5.1) максимально допустимый изгибающий момент

                                   .

Подставим значение  для кольцевого сечения из выражения (5.5):

                                   .

Отсюда максимально допустимая нагрузка (грузоподъемность) для оси

                                   .

Подставляем из условия задачи: , , , .

 

Рисунок 13

 

.

Косой изгиб

Косым изгибом называется такой изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает с главной осью инерции поперечного сечения балки. Косой изгиб рассматривается как сумма двух прямых изгибов, т.е. суммарный изгибающий момент равен геометрической сумме моментов  и , действующих относительно главных осей инерции сечения  и .

Напряжения в любой точке поперечного сечения балки определяется из выражения

                                                                  (6.1)

или                                      ,               (6.2)

где  и - координаты точки, в которой определяется напряжение;  и  - главные центральные моменты инерции поперечного сечения;  - угол между плоскостью действия изгибающего момента и главной осью .

Наибольшие напряжения, по которым необходимо оценивать прочность балки, возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии сечения, на которой напряжения равны нулю.

Нейтральная линия при косом изгибе представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Угол  наклона этой линии к оси  находят из выражения

                                   .                                 (6.3)

Для симметричных сечений с выступающими углами (двутавр, прямоугольник) наибольшие напряжения возникают в угловых точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Условие прочности для балок с такими сечениями записывается в следующем виде:

                                                             (6.4)

или                                      ,            (6.5)

где  и  - осевые моменты сопротивления поперечного сечения балки.

Полный прогиб балки при косом изгибе определяют как геометрическую сумму прогибов в направлении главных осей инерции поперечного сечения балки:

                                   .                                   (6.6)