Теплопроводность плоской многослойной стенки

 

В производственной практике все теплообменные поверхности, как правило, не одно-, а многослойные (т.к. даже однослойная поверхность, например, водогрейная труба в котле, с одной стороны покрыта сажей, а с другой – накипью).                                                

                                               Пусть стенка состоит из трех разнородных

                                            и плотно прилегающих друг к другу слоев

                                            (рис. 3). Неравномерность падения темпе-

                                            ратуры в слоях определяется величина-

ми 1, 2 и

3, которые известны для ка-

                                            ждого слоя. Тепловой поток для каждого

                                            слоя запишется в виде:  

          

Рис.3                                                             

Решим эти уравнения относительно температур и выполним сложение правых и левых частей уравнений с учетом того, что, так как процесс установившийся, q 1 = q 2 = q 3 = q:

+

                                   (12)

 

Из последнего уравнения следует:

,                                            (13)

где n – число слоев.

Каждое слагаемое

 представляет собой термическое сопротивление слоя, поэтому общее термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме частных сопротивлений слоев.

Иногда ради сокращения выкладок многослойную стенку рассчитывают как однослойную толщиной

, при этом в расчет вводится эквивалентный коэффициент теплопроводности

, определяемый из соотношения

.                                  (14)

Отсюда имеем, сократив на

                                                            

.                                   (15)

Таким образом,

зависит только от значений термических

сопротивлений и толщины отдельных слоев и эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной стенки равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки той же толщины, с теми же температурами поверхности и пропускающей тот же тепловой поток.

2.5 Теплопроводность однослойной цилиндрической стенки

 

Поверхности теплообмена судовых и промышленных теплообменников (холодильников ДВС, паровых водоподогревателей, конденсаторов и т.д.) обычно имеют не плоскую, а цилиндрическую форму (трубы, корпуса). Передача теплоты теплопроводностью в цилиндрической стенке осуществляется так же, как и в плоской стенке. Однако плоская стенка имеет одинаковые по площади внутреннюю и наружную поверхности, а у цилиндрической поверхности внутренняя площадь меньше наружной и чем больше разность  

                                               внутреннего и внешнего диаметров, тем

                                             больше разность внутренней и

                                             внешней поверхностей.                                  

                                             Рассмотрим однородную цилиндрическую

трубу длиной

 с внутренним радиусом

                                             r 1  и наружным r 2   (рис. 4). Температуры

                                             внешней и внутренней поверхностей

                                             прямой цилиндрической трубы

                                             поддерживаются равными t 1 и t 2, причем

                                             t 1 > t 2. Температура меняется только в на-

                                             правлении радиуса, благодаря этому теп-

                                             ловой поток тоже радиален.

            Рис. 4

Через внутреннюю и наружную поверхности проходит один и тот же постоянный поток теплоты. Так как для рассмотренного случая Fвнутр < Fнаружн, выделим в толще трубы кольцевой слой радиусом r и толщиной d r. Тогда поверхности, через которые проходит поток, можно принять одинаковыми и рассмотреть этот элементарный слой как плоскую стенку. При разности температур d t по закону Фурье количество передаваемой теплоты в единицу времени

. Знак «-» показывает, что тепловой поток направлен от центра к периферии, t 1  > t 2, а r 1  < r 2. Считая тепловой поток в единицу времени и разделив переменные, запишем

.                                    (16)

Проинтегрируем уравнение в пределах от t 1  до t 2  и от r 1   до r 2   при

:

. Отсюда

.         (17)                                              

Следовательно, количество теплоты, переданное в час через стенку цилиндрической трубы прямо пропорционально

 и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра к внутреннему. Полученная формула справедлива и при t 1  < t 2.

Количество теплоты, проходящее через стенку, обычно относят к длине трубы, либо к единице площади – внутренней F 1 или внешней F 2:

.     (18)

В данном случае, так как внутренняя и внешняя поверхности трубы по величине различны, то различными получаются и значения удельного теплового потока.

Связь между ними определяется соотношениями

или

.                     

 

 

2.6 Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки

 

                                            Пусть цилиндрическая стенка (рис. 5)

                                            состоит из трех цилиндрических слоев

                                            (например, дымогарная трубка огнетруб-

                                            ного котла обычно с внутренней стороны

                                            загрязнена сажей, а с наружной стороны –

                                            накипью). Диаметры и коэффициенты те

                                            плопроводности слоев известны. Известны

                                            также температуры t 1 и t 4; значения t 2 и t 3 

                                            неизвестны. При стационарном тепловом

                                            режиме через все слои проходит одно и то

                                            же количество теплоты. Поэтому

                   Рис. 5

.                              (19)

Из этих уравнений определим температурный перепад в каждом слое и выполним сложение (см. 2.4):

                                   (19а)                       

, откуда

.                                 (20)

По аналогии легко записать формулу для n - слойной стенки

.                                     (21)

Неизвестные температуры t 2 и t 3   определяются из (19а):       

                                      (22)

                    (23)

Температура внутри каждого слоя распределяется по логарифмическому закону.

 

2.7 Приближенные методы расчета теплопроводности цилиндрических стенок

а) однослойная цилиндрическая стенка.

Удобно пользоваться следующей формулой

,          (24)

где

, а

     - коэффициент, учитывающий влияние кривизны.

Можно также записать

                                  (25)

и

.                               (26)

Здесь

- средний диаметр, а

- толщина стенки трубы.

Для определения

приравняем упрощенное выражение для

точному (см. (18)):

, отсюда     

.                          (27)

При

значение

. Поэтому если толщина стенки по сравнению с диаметром мала, или, что то же самое,

 близко к 1, влиянием кривизны пренебрегаем.

б) многослойная цилиндрическая стенка.

Для приближенного расчета теплопроводности многослойных цилиндрических стенок в уравнение теплового потока вводят

, значение которого получают, приравнивая упрощенные выражения для определения q

точному (см. (21)):

, откуда                                           

 .                                     (28)