Представление случайных погрешностей

Для удобства анализа предположим, что систематическая погрешность равна 0. В этом случае абсолютная погрешность будет только случайной.

Случайная погрешность измерений описывается и оценивается с помощью теории вероятности и математической статистики.

Основной характеристикой случайной погрешности является вероятность нахождения погрешности результата измерения в заданном интервале, имеющем нижнюю и верхнюю границу. Для определения значения вероятности необходимо знать закон распределения случайной погрешности, который описывается плотностью вероятности или функцией распределения.

Закон распределения случайной погрешности представляется в виде плотности распределения вероятностей f (D) или функцией распределения вероятностей F (D), которые связаны следующим соотношением:

.

Значение функции распределения представляет собой вероятность того, что погрешность не превысит заданного граничного значения :

.

Функция распределения обладает следующим свойствами:

1) ;

2) ;

3) возрастание при возрастании .

Вероятность попадания погрешности в заданный интервал определяется выражением

.

Очевидно, что вероятность попадания погрешности в бесконечно большой интервал равна единице.

Для описания случайной погрешности часто используется такая числовая характеристика, как дисперсия:

.

Дисперсия характеризует разброс погрешностей относительно ожидаемого значения 0. Поскольку дисперсия имеет квадратичную размерность, вместо нее используют среднеквадратичное отклонение (СКО) .

В практике измерений наиболее часто используются:

– нормальный закон;

– равномерный;

– треугольный;

– Стьюдента.

Нормальный закон распределения

.

СКО характеризует точность измерений (при ее увеличении «горб» ниже, «хвосты» длиннее).

Закон может быть использован при следующих допущениях:

– погрешность является непрерывной величиной на бесконечно большом интервале;

– при выполнении большого числа измерений большие погрешности появляются реже, чем малые;

– частота появления равных по величине, но противоположных по знаку погрешностей, одинакова;

– результаты наблюдений формируются под влиянием большого числа факторов, каждый из которых оказывает незначительное влияние по сравнению с суммой всех остальных (центральная предельная теорема);

– число наблюдений более 20.

Вероятность попадания погрешности в симметричный интервал от  до :

.

Для удобства использования справочников и математических программных пакетов переменную D заменяют на безразмерную t = D/s. Граница интервала погрешностей выражается величиной .

При использовании безразмерных величин вероятность попадания погрешности в интервал на основании нормального закона распределения принимает вид

.

Функция  является интегралом вероятностей, которая выражает вероятность попадания случайной величины в интервал от – z
до + z. Функция  выражает вероятность попадания случайной величины в интервал от 0 до + z. Ее называют интегралом вероятностей или функцией Лапласа.

Для определения вероятности попадания погрешности в заданный интервал и, наоборот, определения интервала, в который погрешность попадает с заданной вероятностью, удобно использовать интервалы, выраженные через s. Ниже приведена таблица соответствия между границами интервалов и вероятностями попадания в них погрешности.

Таблица 3.1

Вероятности попадания погрешности в интервал
для нормального закона распределения

Интервал погрешности	Вероятность попадания в интервал
	0,500
	0,683
	0,950
	0,997

 

Закон распределения Стьюдента

Закон применяется, когда случайные погрешности распределены по нормальному закону и число измерений от 3 до 20.

Закон описывает распределение плотности вероятности значений случайной величины:

, .

Он отличается от нормального закона тем, что:

– учитывает число наблюдений n;

– s является СКО среднего арифметического.

Особенности распределения Стьюдента:

– при n < 3 становится бесконечным СКО;

– классический аппарат математической статистики не работает, и для анализа необходимо использовать доверительные оценки.

Распределение Стьюдента мало отличается от нормального при
n > 20.

При n < 20 для поиска вероятности попадания величины t в интервал (, ) используют уравнение

.

Величину  называют коэффициентом Стьюдента. При расчете погрешностей измерений задают допустимую вероятность и число наблюдений и находят .

Равномерный закон распределения

Равномерный закон применяется при следующем допущении: случайная погрешность принимает любые значения в ограниченном интервале (; ).

Вероятность нахождения погрешности в интервале (; ):

.

Области применения равномерного закона для описания случайных погрешностей:

– метод дискретного счета для измерения непрерывной величины;

– аналого-цифровое преобразование;

– отсчет показаний со шкалы прибора.