Г. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы

Автоматизированная информационно-библиотечная система «Марк».

ЭБС IPRbooks: www.iprbookshop.ru.

ЭБС ВСЭИ:http://edu/vs_library/index.php

Приложения

Приложение 1

 

Приложение к заданию № 3

 

       Линейные дифференциальные уравнения

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_2/glv_2_page_1.html

 

Наиболее общей и наиболее полной формой математического описания автоматических систем и их элементов является дифференциальное уравнение вида. Желаемый закон в них имеет вид

где и – входная и выходная величины элемента или системы; – коэффициенты уравнения.

Уравнение (1) устанавливает связь между входной и выходной величиной как в переходных, так и в установившихся режимах.

Коэффициенты дифференциального уравнения называются параметрами. Они зависят от различных физических констант, характеризующих скорость протекания процессов в элементах. Такими константами являются, например, массы движущихся частей, индуктивности и емкости электрических цепей, теплоемкости нагреваемых элементов.

Иногда параметры некоторых элементов систем изменяются во времени. Такую систему называют нестационарной или системой с переменными параметрами. Системой с переменными параметрами является, например, автоматическая система управления приводом поворота мощного экскаватора, если в процессе его поворота одновременно происходит выдвижения рукояти с ковшом.

В большинстве практических случаев коэффициенты уравнения существенно не изменяются и системы являются системами с постоянными параметрами. В дальнейшем будут рассматриваться только такие системы.

Для автоматических систем управления, описываемых линейным уравнением, справедлив принцип наложения или суперпозиции, согласно которому изменение выходной величины , возникающее при действии на систему нескольких входных сигналов , равно сумме изменений величины , вызываемых каждым сигналом в отдельности.

Это свойство линейных систем имеет большое практическое значение, так как благодаря ему значительно облегчаются все расчеты.

Рассмотрим типовые формы записи линейного дифференциального уравнения (1), используемые в различных задачах теории автоматического управления.

Все физические переменные, входящие в уравнение, могут быть выражены в относительных единицах. Для этого каждое слагаемое делят на постоянную величину, имеющую размерность той переменной, которая входит в это слагаемое. Постоянные величины называют базовыми. В качестве базовых величин обычно принимают номинальные или установившиеся значения переменных и .

Удобной формой записи линейных дифференциальных уравнений является символическая или операторная. Переход к операторной форме осуществляют введением сокращенного условного обозначения операции дифференцирования: . Соответственно, k-ю производную переменной  обозначают,  

(2)

тогда уравнение (2) в символической форме будет иметь вид.

 (3)

Многочлены от  степени  и , находящиеся в левой и правой частях уравнения (3), называются дифференциальными операторами. Каждый такой оператор устанавливает соответствие между функцией времени и определенной совокупностью производных этой функции. Многочлен

(4)

называют собственным оператором, а многочлен

(5)

называют входным оператором или оператором воздействия.

Название "собственный оператор" обусловлено тем, что многочлен  характеризует собственное (свободное) движение элемента, т.е. движение при отсутствии внешних воздействий. Оператор  называют также характеристическим.

У всех реальных элементов и систем порядок наивысшей производной во входном операторе не может быть больше порядка наивысшей производной в собственном операторе, т.е. всегда . Если это условие не выполняется, то уравнение соответствует физически нереализуемой системе.

Уравнения элементов невысокого порядка  в теории автоматического управления принято записывать в так называемой стандартной форме. При стандартной форме записи уравнение преобразовывают таким образом, чтобы коэффициент при выходной величине был равен единице. При этом коэффициент перед входной величиной в правой части уравнения становится равным передаточному коэффициенту, а коэффициенты при производных выходной величины будут иметь размерность времени в степени, равной порядку соответствующей производной. Например, уравнение второго порядка

 (6)

путем деления всех членов на коэффициент  может быть приведено к стандартной форме

,    (7)

где , , , .

Коэффициенты , , , принято называть постоянными времени, характеризующими динамические свойства элемента.

 

 

Пример 1

Составить дифференциальное уравнение электрической цепи (рис. 1).

Рисунок 1. Схема одноконтурной электрической цепи

Решение. Входной величиной для цепи является напряжение , а выходной величиной – напряжение . В динамических режимах по одноконтурной цепи протекает ток . Выходное напряжение равно падению напряжения на сопротивлении . На основании второго закона Кирхгофа при нулевых начальных условиях составим уравнение:

. (8)

Выходное напряжение

, (9)

откуда определим значение тока

. (10)

Подставим (10) в (8):

. (11)

Уравнение (11) является интегро-дифференциальным и его необходимо привести к дифференциальной форме. После дифференцирования (11) получим:

(12)

Уравнение (12) приводится к стандартной форме:

(13)

где .

В операторной форме уравнение (13) представляется как

.  (14)

Временные характеристики

Дифференциальное уравнение является самой общей формой описания элемента и не дает наглядного представления о передаточных свойствах элемента. Наглядное представление об этих свойствах дает функция , являющаяся решением дифференциального уравнения. Но одно и то же дифференциальное уравнение может иметь множество решений, зависящих от начальных условий и вида внешнего воздействия . Поэтому принято динамические свойства элементов и систем характеризовать решением, соответствующим нулевым начальным условиям и одному из типовых воздействий. В качестве типового воздействия принимают единичное ступенчатое, дельта-функцию или гармоническое воздействие.

Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает его переходная функция (характеристика). Переходной функцией . называют изменение выходной величины  во времени, возникающее после подачи на вход единичного ступенчатого воздействия, при нулевых начальных условиях. Переходная функция может быть задана в виде графика (рис. 2, а) или аналитически.

Переходная функция , как и любое решение неоднородного дифференциального уравнения, имеет две составляющие: вынужденную  и свободную . Вынужденная составляющая переходного процесса представляет собой частное решение исходного уравнения. При ступенчатом воздействии вынужденная составляющая равна установившемуся значению выходной величины, которое для статических элементов может быть определено непосредственно из дифференциального уравнения (при нулевых производных):

. (15)

Свободная составляющая может быть найдена как решение однородного дифференциального уравнения (при отсутствии одинаковых корней):

,  (16)

где  – корни характеристического уравнения;  – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

 

Рисунок 2. Переходная (а) и импульсная (б) характеристики

 Переходная функция определится как сумма вынужденной и свободной составляющих.

Характеристическое уравнение, соответствующее определенному дифференциальному уравнению, представляет собой алгебраическое уравнение, степень и коэффициенты которого совпадают с порядком и коэффициентами левой части этого уравнения. Для дифференциального уравнения, записанного в форме (6), характеристическое уравнение имеет вид

. (17)

Структура характеристического уравнения (2.10) совпадает со структурой левой части уравнения (2.3) и со структурой собственного оператора  (см. (4)). Поэтому при записи характеристического уравнения часто вместо символа , обозначающего неизвестную переменную алгебраического уравнения, используют символ . Но при этом означает уже не операцию дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения.

 Для линейных элементов и систем, кроме принципа суперпозиции, справедливо еще одно общее правило: реакция  на неединичное воздействие  равна .

Импульсной переходной функцией  называют изменение выходной величины , возникающее после подачи на вход дельта-функции, при нулевых начальных условиях (рис. 2, б).

Импульсная переходная функция  равна производной от переходной функции :

, (18)

и наоборот, переходная функция равна интегралу от импульсной переходной функции:

. (19)

Переходные характеристики называют также временными.

Пример 2

Для электрической цепи (рис. 3) определить переходную функцию.

Рисунок 3. Электрическая RC-цепь и ее переходная функция 

Решение. Электрической цепи соответствуют уравнения:

  (20)

которые путем исключения промежуточной переменной  приводятся к одному дифференциальному уравнению:

 (21)

или в стандартной форме:

, (22)

где .

Из (22) составляем характеристическое уравнение

(23)

и определяем корень .

Переходная функция . При единичном воздействии вынужденная составляющая также равна единице: . Тогда

(24)

При , и тогда из (24) определим постоянную интегрирования .

Окончательно имеем

 

 (25)

 

Переходная функция показана на рис. 3.