Операционный метод и передаточная функция

Наиболее распространенным методом описания и анализа автоматических систем является операционный метод. В основе метода лежит преобразование Лапласа:

,    (26)

которое устанавливает соответствие между функциями действительной переменной и функциями комплексной переменной . Функцию времени , входящую в интеграл Лапласа, называют оригиналом, а результат интегрирования – функцию – изображением функции по Лапласу.

Преобразование Лапласа выполнимо лишь для таких функций времени, которые равны нулю при . Это условие обеспечивается обычно умножением функции на единичную ступенчатую функцию . С математической и физической точек зрения такой искусственный прием вполне корректен, так как функции описывают процессы в автоматических системах, начинающиеся с некоторого момента времени, а этот момент времени всегда может быть принят за начало отсчета.

Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа являются свойства, формулируемые обычно в виде правил: при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала по переменной соответствует умножение изображения на комплексную переменную , а интегрированию оригинала соответствует деление на .

Именно на этих двух свойствах основан операционный метод решения дифференциальных уравнений, который заключается в следующем. Исходное дифференциальное (или интегро-дифференциальное) уравнение, записанное относительно искомой выходной функции , заменяют на алгебраическое уравнение относительно изображения (это называется алгебраизацией дифференциального уравнения), затем, решая алгебраическое уравнение при заданном , находят изображение и, наконец, по изображению определяют функцию . Этот обратный переход от изображений к оригиналам в большинстве практических задач может быть осуществлен при помощи таблиц, имеющихся в специальных справочниках по операционному исчислению.

Широкое распространение операционного метода в теории автоматического управления обусловлено тем, что с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем.

Применим преобразование Лапласа к линейному дифференциальному уравнению (1), полагая, что до приложения внешнего воздействия система находилась в покое и все начальные условия равны нулю. Используя свойство линейности и правило дифференцирования, можно получить алгебраическое уравнение в изображениях:

(27)

где

,

.

Сравнивая уравнение (27) с уравнением в символической форме (3), можно заметить полную аналогию их структур. Различие уравнений лишь в значении символа : в первом уравнении он обозначает операцию дифференцирования, во втором – комплексную переменную.

Введем понятие передаточной функции. Передаточной функцией : называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:

. (28)

Для системы, описываемой уравнением (1), передаточная функция равна отношению входного оператора  к собственному оператору :

.  (29)           

Как следует из (28) и (29), передаточная функция представляет собой некоторый динамический оператор, характеризующий прохождение сигналов через линейный элемент.

Рассмотрим основные свойства и особенности передаточных функций автоматических систем и их элементов.

Передаточная функция элемента связана с его импульсной переходной функцией преобразованием Лапласа:                                

.  (30)

Для реальных элементов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, передаточная функция представляет собой правильную рациональную дробь, у которой степень многочлена числителя меньше или равна степени многочлена знаменателя, т. е. . Все коэффициенты передаточной функции – действительные числа, характеризующие параметры элемента.

Передаточная функция является функцией комплексной переменной , которая может при некоторых значениях переменной  обращаться в нуль или бесконечность. Значение переменной , при котором функция  обращается в нуль, называют нулем, а значение, при котором обращается в бесконечность, – полюсом передаточной функции. Очевидно, что нулями передаточной функции являются корни полинома , а полюсами - корни полинома . Корни полиномов числителя и знаменателя могут быть комплексными, мнимыми и вещественными числами (в том числе и нулевыми). Если эти корни известны, то передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

, (31)

где  – корни многочлена (нули );  – корни многочлена  (полюсы ).

 

 По распределению нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости с координатами  и  можно судить о свойствах элемента или системы.

Пример 3

Найти передаточную функцию для электрической цепи, схема которой приведена в примере 1 (рис. 1). Входной величиной является напряжение , а выходной – напряжение .

 Передаточную функцию электрических цепей удобно получить на основе операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Напомним, что операторное сопротивление индуктивности равно , емкости – , а активного сопротивления – . На рис. 4 приведена операторная схема замещения рассматриваемой цепи.

 

Рисунок 4. Операторная схема замещения для определения W(p)

Решение. Для операторной схемы замещения относительно изображений переменных справедливы законы Кирхгофа. На основании 2-го закона Кирхгофа составим уравнение

. (32)

Изображение выходного напряжения с изображением тока связано соотношением  

.       (33)

Исключив из уравнений промежуточную величину , после преобразований получим          

, (34)

откуда определим передаточную функцию как

.  (35)

Значения постоянных времени ,  и  приведены в примере 1.

Тот же результат может быть получен и из уравнения (7) примера 1.

Пример 4

Найти аналитические выражения для частотных характеристик для цепи (пример 3, рис. 4), имеющей передаточную функцию

.                                                                                        

Решение. Амплитудно-фазовая функция цепи равна (замена )

.

Выражение для амплитудной частотной характеристики найдем как

.

Фазовая частотная характеристика определится как разность аргументов числителя и знаменателя :

.                      

Приложение 2

 

Приложение к заданию № 4