Лекция № 12,13,14 методы принятия управленческих решений

 

Вопросы:

1. Среда принятия решения.

2. Метод предельного анализа.

3. Линейное программирование.

4. Метод приростного анализа прибыли.

 

1. СРЕДА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ

 

Полная определенность – лицо, принимающее решение (ЛПР), заранее точно знает конкретный исход для каждой альтернативы.

 

Альтернатива 1  Исход 1

Альтернатива 2  Исход 2

………………………………….

Альтернатива i  Исход i

………………………………….

Альтернатива n  Исход n

 

Рис. 1.1. Условие полной определенности.

 

В этом случае ЛПР просто выбирает альтернативу, которая даст наиболее привлекательный исход с точки зрения критерия принятия решения (доход, прибыль, затраты и т.д.).

Процесс выбора наилучшего решения с точки зрения заданного критерия называется оптимизацией.

Рассмотрим     три метода оптимизации в     условиях определенности:

• Предельный анализ.

• Линейное программирование.

• Приростный анализ прибыли.

 

2. МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО АНАЛИЗА

 

В условиях определенности доходы и затраты известны для любого уровня производства и продаж.

Задача – определить оптимальный уровень производства и продаж, максимизирующие прибыль.

 

 

Q – объем производства и продаж;

Q1, Q3 – объем производства и продаж без прибыли;

Q2 - объем производства и продаж с максимальной прибылью.

 

Рис.2.1. Типовые кривые экономики.

 

Предельный доход – дополнительный доход, получаемый от продажи дополнительной единицы продукции (первая производная функции общего дохода от объема продаж).

Предельные затраты – дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции (первая производная функции общих затрат от объема производства).

Утверждения метода предельного анализа:

1. До тех пор пока предельный доход больше предельныхзатрат, повышение объема производства и продаж ведет к увеличению прибыли.

2. Прибыль максимальна в точке равенства предельного доходаи предельных затрат.

3. Если предельные затраты превысили предельный доход, то дальнейшее повышение объема производства и продаж ведет к уменьшению прибыли.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

 

Линейное программирование – поиск оптимального варианта распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими работами.

Задача линейного программирования – минимизация или максимизация линейного критерия эффективности (прибыль, доход или затраты) при условии ограничений по ресурсам, выраженным в форме линейных неравенств.

                       n 

Критерий:     cjxj  min или max

                      J=1

                                  n

Ограничения: aijxj больше, меньше или равно bi; i = 1,…,m 

                                J=1

Переменные: xj >= 0; j = 1,…,n Неоходимо найти все xj.

 

В экономических задачах переменными xj могут быть:

• Составляющие смеси или продуктов при решении задачи минимизации затрат на составление смесей или набора продуктов питания, отвечающих заданным требованиям.

• Объемы производства различных видов продукции при минимальных затратах (максимальных доходах) и ограниченных производственных мощностях.

• Оптимальных планы перевозок (транспортная задача).

Ограничения   на использование метода линейного программирования:

1. Переменные должны быть положительными.

2. Критерий эффективности - линейный.

3. Ограничения – линейные.

Если реальные условия не удовлетворяют этим требованиям, то применяются методы нелинейного программирования:

• квадратичное программирование;

• градиентные методы;

• динамическое программирование.

 

4. МЕТОД ПРИРОСТНОГО АНАЛИЗА ПРИБЫЛИ

 

Приростный анализ прибыли – анализ изменений переменных затрат и доходов, вызванных принятием конкретного решения.

Основное правило принятия решения – принять любое предложение, повышающее прибыль, или отвергнуть любое предложение, ее уменьшающее.

Замечание. В приростном анализе рассматриваются только переменные, подвергшиеся изменениям. Это реакция на любое текущее предложение при уже функционирующем производстве.

 

Иллюстративный пример.

 

Дано: Предприятие производит и продает 100000 шин/мес по 240 руб/шт.

Переменные затраты – 140 руб/шт.

Постоянные затраты – 6000000 руб.

 

Себестоимость – 200 руб/шт.

 

Предложен дополнительный контракт.

25000 шин/мес. по цене 180 руб/шт.

За счет сверхурочных работ переменные затраты увеличатся на 20 руб. и составят 160 руб/шт.

Вопрос. Принимать ли это предложение?

 

Для принятия решения воспользуемся методом приростногоанализа прибыли.

Подсчитаем дополнительную прибыль от контракта.

Прирост затрат: 25000 шт/мес * 160 руб/шт = 4000000 руб/мес.

Прирост дохода: 25000 шт/мес * 180 руб/шт = 4500000 руб/мес.

Дополн. прибыль: 500000 руб/мес.

Согласно методу приростного анализа контракт принимается.

 

Принятие решения традиционным методом. (для сравнения) Подсчитаем себестоимость.

Переменные затраты: 100000 шт * 140 руб/шт + + 25000 шт * 160 руб/шт = 18000000 руб.

Постоянные затраты: 6000000 руб.

Полные затраты: 24000000 руб.

Себестоимость: 192 руб/шт > 180 руб/шт.Предложение отклоняется.

 

Вопросы:

 

1. Среда принятия решения.

2. Платежная матрица, как инструмент выбора оптимального решения в условиях риска.

3. Дерево решений, как инструмент выбора оптимальной последовательности решений.

 

1. СРЕДА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ

 

Условие риска в принятии решения – каждая альтернатива может привести к одному из нескольких возможных исходов с вероятностью, равной известной вероятности одного из возможных состояний внешней среды, то есть:

• множество возможных состояний внешней среды исходов известно;

• вероятность каждого состояния внешней среды известно;

• число исходов каждой альтернативы равно числу возможных состояний внешней среды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                _{1 сост.(}Р1)         Исход 11

Альтернатива 1    2 сост.(Р2)      Исход 12 Р1 + Р2 + Р3 = 1

                                _{3 сост.(}Р3)      Исход 13

                                                               

                                _{1 сост.(}Р1)      Исход 21

Альтернатива 2   2 сост.(Р2)      Исход 22 Р1 + Р2 + Р3 = 1

                                _{3 сост.(}Р3)      Исход 23                                                                 

…………………………………………………………………

                                                1 сост.(Р1)        Исход i1

Альтернатива i      2 сост.(Р2)        Исход i2 Р1 + Р2 + Р3 = 1

                                                3 сост.(Р3)     Исход i3

…………………………………………………………………

                                                1 сост.(Р1)     Исход n1

                                                                                                                                                                                              

Альтернатива n     2 сост.(Р2)        Исход n2 Р1 + Р2 + Р3 = 1

                                                3 сост.(Р3)         Исход n3

 

Рис. 1.1. Условие риска.

 

Также, условие риска можно представить в виде матрицы решений

	N1(P1)	N2(P2)	*****	Nj(Pj)	*****	Nm(Pm)
S1	X11	X12	*****	X1j	*****	X1m
S2	X21	X22	*****	X2j	*****	X2m
*****	*****	*****	*****	*****	*****	*******
Si	Xi1	Xi2	*****	Xij	*****	Xim
*****	*****	*****	*****	*****	*****	*******
Sn	Xn1	Xn2	*****	Xnj	*****	Xnm

Si – i-я альтернатива;

Nj – j-ое состояние внешней среды;

Xij – исход i - ой альтернативы, соответствующий j – му состоянию внешней среды;

Pj – вероятность j- го состояния внешней среды, причем m 

Pj = 1.

J=1 

Рис. 1.2. Матрица решений в условиях риска.

2. ПЛАТЕЖНАЯ МАТРИЦА, КАК ИНСТРУМЕНТ ВЫБОРА

ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ РИСКА

 

Каждому возможному исходу (Xij) поставим в соответствие выигрыш (Yij), который он дает ЛПР, то есть Xij  Yij. Тогда

матрица решений преобразуется в платежную матрицу.

 

                   Платежная матрица

 

	N1(P1)	N2(P2)	****	Nj(Pj)	****	Nm(Pm)	E		C
S1	Y11	Y12	****	Y1J	****	Y1m	E1		C1
S2	Y21	Y22	****	Y2j	****	Y2m	E2		C2
****	****	****	****	****	****	****	****	****	****
Si	Yi1	Yi2	****	Yij	****	Yim	Ei	i	Ci
****	****	****	****	****	****	****	****	****	****
Sn	Yn1	Yn2	****	Ynj	****	Ynm	En	n	Cn

 

В условиях риска основным критерием принятия решения является ожидаемый выигрыш.

Ожидаемый выигрыш – математическое ожидание выигрыша при условии выбора конкретной альтернативы.

Ожидаемый выигрыш Si альтернативы рассчитывается по формуле:

       m

Ei = PjYij.

   J=1

 

Выбирается альтернатива с наибольшим ожидаемым выигрышем, но не всегда.

Ожидаемый выигрыш – это средний выигрыш, а реальный выигрыш от реализованного исхода может значительно отличаться от среднего (см. платежную матрицу), и чем больше возможное отличие, тем больший риск в принятии решения.

Мерой риска является степень риска.

Степень риска – среднеквадратичное отклонение ожидаемого выигрыша от реального, т.е.:

            m                2        

i = (Yij – Ei) Pj             j=1

 

 

Если при сравнении двух альтернатив их ожидаемый выигрыш одинаковый, а степень риска разная, то выбирается альтернатива, дающая меньший риск, но если ожидаемые выигрыши сильно отличаются, то ЛПР склонен рискнуть, т.е. выбрать альтернативу, дающую больший ожидаемый выигрыш, даже если ее степень риска выше.

Для сравнения риска альтернатив с разными ожидаемыми выигрышами введем понятие относительной степени риска.

Относительная степень риска – модуль отношения степени риска к ожидемому выигрышу.

 

        i Ci =   

        Ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   3. ДЕРЕВО РЕШЕНИЙ, КАК ИНСТРУМЕНТ ВЫБОРА

ОПТИМАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ РЕШЕНИЙ

 

Часто обстоятельства вынуждают для получения результата принимать ряд последовательных решений. Каждое из решений этого ряда является выбором оптимальной альтернативы из множества возможных в условиях риска, т.е. процесс последовательного выбора решений можно представить в виде дерева решений.

 

 

 

 

 

 

- альтернатива  

 

- исход                       

                                                                        

 

- вероятность состояния                                                                      среды (известная)

 

- выигрыш от исхода

                                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.1. Дерево решений.

 

Правило выбора последовательности альтернатив на основедерева решений:

1. Выбор начинать от конечных ветвей дерева решений и идти последовательно к его корню.

2. На каждом этапе выбирать оптимальную альтернативу, используя платежную матрицу.

3. На каждом следующем этапе значение выигрышей исходов определяются как ожидаемые выигрыши от выбранных альтернатив, исходящих от этих исходов.

4. Множество выбранных альтернатив определяет оптимальный путь последовательного принятия решений с учетом изменения внешней среды.

Вопросы:

 

1. Среда принятия решения.

2. Критерий Вальда.

3. Критерий Гурвица.

4. Критерий Сэйвиджа.

5. Критерий Лапласа.

 

1. СРЕДА ПРИНИЯТИЯ РЕШЕНИЯ

 

Условие полной неопределенности в принятии решения – каждая альтернатива может привести к одному из нескольких возможных исходов, которые определяются возможными состояниями внешней среды, вероятности которых неизвестны, т.е.:

• множество возможных состояний внешней среды исходов известно;

• вероятность каждого состояния внешней среды неизвестно;

• число исходов каждой альтернативы равно числу возможных состояний внешней среды;

• исходы каждой альтернативы для каждого состояния внешней среды известны.

 

 

 

 

 

Матрица решений в условиях неопределенности.

 

	N1	N2	****	Nj	****	Nm
S1	X11	X12	****	X1j	****	X1m
S2	X21	X22	****	X2j	****	X2m
****	****	****	****	****	****	****
Si	Xi1	Xi2	****	Xij	****	Xim
****	****	****	****	****	****	****
Sn	Xn1	Xn2	****	Xnj	****	Xnm

 

Si – I – я альтернатива;

Nj – j – ое состояние внешней среды;

Xij – исход i – ой альтернативы, соответствующей j – му состоянию внешней среды.

Вероятности состояний внешней среды неизвестны.

 

2. КРИТЕРИЙ ВАЛЬДА

 

Критерий Вальда (критерий мини-макс)     основан на предположении, что какую-бы мы ни выбрали альтернативу, возникнут внешние условия, которые будут наихудшими с точки зрения выигрыша согласно выбранной альтернативы, следовательно:  необходимо определить    наименьший   из возможных выигрышей каждой альтернативы;

 выбрать альтернативу, обеспечивающую наибольший из наименьших выигрышей.

Рассмотрим на примере.

 

 

 

 

 

 

 

                     Платежная матрица

 

Альтерна Состояние среды Критерий тива N1 N2 N3 N4 Вальда

    S1         6        6        6        4        4

    S2         25     7     - 15       7     - 15

    S3         20     20      7     - 1     - 1

    S4         19   - 2       16     9     - 2

    S5         20     15     15   - 3     - 3

 

Это стратегия перестраховщика – минимизирует проигрыш без учета величины выигрыша, то есть обеспечивает самые низкие риски проигрыша, но и обещает наиболее низкий выигрыш.

 

3. КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА

 

Критерий Гурвица основан на определении стоимости альтернативы Si (di):

 

di = Mi + (1 - mi;

 

где: фактор оптимизма, 0 <= <= 1;    Mi – максимальный выигрыш Si альтернативы;    mi – минимальный выигрыш Si альтернативы.

 

Альтернатива с самой высокой стоимостью di выбирается в качестве оптимальной.

Рассмотрим на примере при = 0,7.

 

 

 

 

Платежная матрица

 

Альтернати Состояние среды Критерий Гурвица вы N1 N2 N3 N4 M m d

  S1          6   6   6   4   6   4  5,4

  S2          25   7  -15   7   25  -15 13,0

  S3          20   20   7  -1   20  -1 13,7

  S4          19  -2   16   9   19  -2 12.7

  S5          20   15   15  -3   20  -3 13,1

 

 степень оптимизма ЛПР, является субъективной величиной.

 

4. КРИТЕРИЙ СЭЙВИДЖА

 

Критерий Сэйвиджа (критерий макси-мина потерь) – минимизирует риск максимальных потерь в результате неправильного решения. Потери измеряются как модуль разности между выигрышем конкретной альтернативы и максимальным выигрышем из всех альтернатив для заданного состояния внешней среды. Затем:

1. Определяются   максимальные потери для каждой альтернативы.

2. В качестве оптимальной выбирается альтернатива с минимальным значением из всех максимальных потерь.

Рассмотрим на примере.

 

                      Платежная матрица

 

Альтерна тивы	Выигрыши					Потери			Максималь ные потери
	N1	N2	N3	N4	N1	N2	N3	N4
S1	6	6	6	4	19	14	10	5	19
S2	25	7	-15	7	0	13	31	2	31
S3	20	20	7	-1	5	0	9	10	10
S4	19	-2	16	9	6	22	0	0	22
S5	20	15	15	-3	5	5	1	12	12

 

Это стратегия минимизации потерь (отказ от максимального выигрыша).

 

5. КРИТЕРИЙ ЛАПЛАСА

 

Критерий Лапласа – предполагается, что в условиях неопределенности вероятности состояний внешней среды равны между собой, тем самым выбор оптимальной альтернативы основан на выборе альтернативы с максимальным ожидаемым выигрышем с учетом риска (как при принятии решения в условиях риска).

Рассмотрим на примере.

 

                     Платежная матрица

 

Альтерна Состояния внеш. Среды E  C тивы N1(1/4) N2(1/4) N3(1/4) N4(1/4)



  S1     6   6   6   4   5,5   0,85   0,15

  S2     25   7  -15   7    6     14,3   2,4

  S3     20   20   7  -1   11,5   9      0,8

  S4     19  -2   16   9   10,5   7,8   0,7

  S5     20   15   15  -3  11,75   8,8   0,7

 

Критерий хорош при долгосрочном прогнозировании.

Основная проблема принятия решения в условияхнеопределенности – это проблема выбора критерия!