Отрицательное биномиальное распределение

 

ДСВ x имеет отрицательное биномиальное распределение (m, p), если: x e {0,1,…}, P {x = i } = Параметры распределения: m – натуральное число, p e (0,1).

Характеристики распределения    (x e {0,1,…}): 

 

Описываемый тест используется для проверки гипотезы Н₀ о равномерности двухмерного распределения векторов  и представляет собой следующее решающее правило:

   принимается                                                (11)

 

где в случае истинной гипотезы H₀ и  статистика

 

                                                                                                (12)

 

имеет x ² – распределение с k – 1 степенями свободы, а порог Δ определяется как квантиль этого распределения: , где ε – заданный уровень значимости.

В пакете СТАТМОД предполагается использование эквивалентной формы правила (11):

принимается

 

где Р - значение вычисляется по формуле: P=1-F(x ² ), здесь F(.) - функция распределения статистики (12).

 

Графический анализ точности моделирования

 

Тесты проверки точности моделирования БСВ допускают графическую интерпретацию, удобную для быстрого визуального анализа качества смоделированной выборки  реализаций БСВ.

В пакете СТАТМОД реализованы следующие графики:

· диаграмма рассеяния (иллюстрирует зависимость между a_i и a_t-1 ; для проверки факта наличия зависимости используется тест «ковариация»);

 

· гистограмма и плотность распределения (позволяет осуществить сравнительный анализ теоретического и эмпирического распределения выборки А; для проверки согласия распределения А с равномерным законом используются критерии согласия);

 

· график корреляционной функции с указанием доверительных границ (служит для графической поддержки теста «ковариация»);

 

· визуализация выборки (иллюстрирует зависимость a_i от t  и может использоваться для графической поддержки критериев серий).

 

 

Задания

Осуществить моделирование n=1000 реализаций БСВ с помощью мультипликативного конгруэнтного метода (МКМ-датчика) при следующих значениях параметров датчика:

(т.е. β e {19, 259, 4099, 65539, 1048979, 16777219, 268435459})

Сравнить эти датчики по точности, используя тесты проверки точности моделирования. Найти значение m^*, при котором достигается максимальная точность моделирования.

Выполнить задание 1 при следующих значениях параметров датчика:

(т.е. b e {5, 125, 3125, 78125, 1953125, 48828125, 1220703125})  

Для МКМ-датчика при b = 65539 исследовать зависимость точности моделирования и величины периода Т от «стартового» числа a₀^*_00000000 . Положить a₀^* e {3, 19, 259, 4099, 65539, 1048979, 2147483647}

Сравнить по точности датчики, реализующие МКМ при b = 65539 и b = 78125 (a₀^* = b).    

Сравнить по точности МКМ-датчики при различных значениях b из заданного в пакете множества возможных значений. Положить a₀^* = b.

Датчики Макларена-Марсальи (ММ-датчики) М₁ и М₂ используют в качестве простейших датчики D₁ и D₂, реализующие МКМ при следующих значениях параметров:

М₁.     D₁:  b = a₀^* = 65539 ,                

D₂: b = 65539, a₀^* = 256959681;     

М₂ .    D₁: b = a₀^* = 1078318301,      

D₂: b = 1078318301, a₀^* = 860574881;       

Сравнить по точности датчики М₁ и М₂.

Сравнить по точности и быстродействию ММ-датчик М₁ из задания 6 и МКМ-датчик с параметрами b = a₀^* = 65539.

 

 Осуществить моделирование M = 100 реализаций СВ . Исследовать точность моделирования с помощью тестов и графического анализа. Рассмотреть случаи: N = 100, m = 5, 10, 25, 50, n = 10, 20.

 

 С помощью моделирования СВ с законами распределения , , , ,  исследовать возможность и точность аппроксимации гипергеометрического распределения другими законами: биномиальным (14.1), Пуассона (14.2), нормальным (14.3):

 

 N = 1000, m = 100, 50, 25, 10, 5;

 N = 1000, m =100, n = 10;

 N = 1000, m =50, n = 20;

 N = 2000, m = 100, n = 200;

 N = 3000, m = 150, n = 300;

 N = 4000, m = 200, n = 300.

 

 

Распределение Пуассона

 

1. Осуществить моделирование M = 100 реализаций СВ . Исследовать точность моделирования с помощью тестов и графического анализа. Рассмотреть случаи: .

 

2. С помощью моделирования M = 100 реализаций СВ  и СВ  исследовать возможность и точность аппроксимации распределения Пуассона нормальным. Рассмотреть случаи: .

 

3. С помощью моделирования M = 100 реализаций СВ  и СВ  проиллюстрировать соотношение между распределениями:

 

.

Положить: .

 

4. Сравнить по точности и быстродействию методы моделирования СВ , реализованные в ППП СТАТМОД.