VIII . Решение дифференциальных уравнений

     Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение

которое связывает независимый аргумент x, неизвестную функцию y и ее производные   Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в уравнение.

     Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой.

Уравнения с разделяющимися переменными

    Дифференциальное уравнение вида:  

называется уравнением с разделенными переменными. Уравнение, которое приводится к данному виду, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

    Пример 8.1. Решить дифференциальное уравнение:

    Решение.

  

Таким образом, получаем общий интеграл:

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

    Дифференциальное уравнение вида:

где  и  – однородные функции одинакового измерения, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Данное уравнение можно привести к виду  где  – однородная функция нулевого измерения. С помощью замены  где  – новая неизвестная функция, рассматриваемое уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

    Пример 8.2.  Решить дифференциальное уравнение:

    Решение.  Сделаем замену  и получим:

;

Сделав обратную замену  получим общий интеграл:

Линейные  дифференциальные уравнения первого порядка

  Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

где  и  – некоторые (непрерывные) функции переменной . В случае, когда функция  тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

  Будем искать решение в виде . Очевидно, что здесь искомыми становятся функции  и . Так как , то из определения следует  или  

  Найдем сначала какое-либо частное решение  уравнения

  Тогда функция  – решение уравнения

  Таким образом, решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

  Пример 8.3.  Решить уравнение

  Решение. Разделив обе части уравнения на , получим линейное неоднородное уравнение:

  Пусть , т.е. , тогда исходное уравнение примет вид  или

  Положим  или , откуда . Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при  и . При  равенство  обратится в уравнение , или . Решая данное уравнение с разделяющимися переменными, получаем . Тогда окончательно имеем:

Уравнение Бернулли.

  Уравнение вида

где

называется уравнением Бернулли. Данное уравнение приводится к линейному с помощью подстановки . Также можно использовать подстановку  или метод вариации произвольных постоянных.

  Пример 8.4. Решить дифференциальное уравнение

  Решение. Сделаем замену  и получим

Сгруппируем второе слагаемое с третьим:

                                                                                  ()

Приравняем к нулю выражение в квадратных скобках и найдем функцию :

Подставив  в (), находим :

Отсюда