Понятие несобственного интеграла

     Несобственным интегралом  от функции  на полуинтервале  называется предел функции  при , стремящемся к , т.е.

     Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся. Работая с несобственными интегралами, обычно выделяют две задачи:

     - исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

     - вычисление значения интеграла в случае, если он является сходящимся.

     Пример 6.4.    Вычислить

     Решение.   По определению  

     Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, используем формулу Ньютона – Лейбница:

     Тогда

     Таким образом, искомый несобственный интеграл сходится к 1.

     Если рассматривать несобственный интеграл на интервале , то его можно представить как сумму двух интегралов, т.е.

     Если интегралы, входящие в правую часть равенства, сходятся, то рассматриваемый интеграл называется сходящимся, а если хотя бы один из интегралов правой части расходится, то – расходящимся.

     Пример 6.5. Вычислить

     Представим интеграл в виде суммы двух интегралов и исследуем их на сходимость, полагая .

т.е. первый интеграл сходится к 1.

 т.е. второй интеграл расходится, а, следовательно,  расходящимся будет и несобственный интеграл

     Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость):

6.34.                                                         6.35.

6.36.                                                 6.37.

6.38.                                                       6.39.

6.40.                                                  6.41.

6.42.                                                 6.43.

6.44.                                                    6.45.

6.46.                                                    6.47.

6.48.                                                      6.49.

 

VII.  Исследование на сходимость числовых  рядов

Общие признаки сходимости ряда:

    1. Критерий Коши сходимости числового ряда. Для того, чтобы ряд  сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого  нашелся номер , такой, что для любых  выполнялось условие .

    2. Необходимое условие сходимости ряда.

Если ряд  сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Признаки сходимости знакоположительных рядов

    Ряд  в котором все  называется знакоположительным.

 

Общий признак сходимости знакоположительных рядов

    Для того, чтобы знакоположительный ряд  сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

 

Признаки сравнения знакоположительных рядов

    Пусть даны два знакоположительных ряда  и  Тогда:

1) если  при всех  то из сходимости ряда следует сходимость ряда  а из расходимости ряда  следует расходимость ряда

2) если существует  не равный нулю и конечный, то ряды и  сходятся и расходятся одновременно;

3) если  при всех , то из сходимости ряда  вытекает сходимость ряда  а из расходимости ряда  вытекает расходимость ряда

 

Признак  Коши

    Пусть для знакоположительного ряда  существует предел   Тогда:

а) если  то ряд сходится;

б) если  то ряд расходится;

Примечание. Если  то теорема не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

 

Признак Даламбера

    Пусть для знакоположительного ряда существует предел  Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если , то ряд  сходится;

б) если , то ряд  расходится.

Примечание. Теорема не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, если

 

Интегральный признак Коши

     Пусть члены ряда  положительны и убывают, т.е.  и пусть  - непрерывная положительная убывающая функция, определенная при  такая, что

 тогда интеграл  и ряд сходятся или расходятся одновременно.

    Пример 7.1. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда

 

    Решение. Зная, -й член ряда, находим следующий за ним ()-й член, заменяя в выражении -го члена  через (). Затем ищем предел отношения последующего члена  к предыдущему  при неограниченном возрастании

  

Здесь,  следовательно, согласно признаку Даламбера данный ряд сходится.

    Пример 7.2. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда

    Решение.

Здесь  следовательно, согласно признаку Коши данный ряд сходится.

    Пример 7.3. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:

   

    Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом:

   

Каждый член  данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена  гармонического ряда:  и, так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.

    Пример 7.4. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:

   

    Решение. Сравним данный ряд с бесконечной геометрической прогрессией: , которая представляет сходящийся ряд. Каждый член исследуемого ряда , начиная с третьего, меньше соответствующего члена  бесконечной геометрической прогрессии:

 следовательно, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд является сходящимся.

 

    Пример 7.5. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

 

    Решение.  Заменяем в заданном выражении общего члена ряда  номер  непрерывной переменной  и убеждаемся, что полученная функция  является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения . Затем находим несобственный интеграл от   с бесконечным верхним пределом.

Здесь несобственный интеграл расходится. Следовательно, согласно интегральному признаку, и данный ряд также расходится.

 

    Исследовать на сходимость следующие ряды:

7.1.                                                  7.2.

7.3.                                               7.4.

7.5.                                             7.6.

7.7.                                                  7.8.

7.9.                                                   7.10.

7.11.                                              7.12.

7.13.                                               7.14.

7.15.                                                    7.16.

7.17.                                                    7.18.

7.19.                                                 7.20.

7.21.                                                7.22.

7.23.                                            7.24.