I . Вычисление пределов функции

Введение

    В начале обучения студенты экономических и организационно – управленческих специальностей изучают курс высшей математики, который служит фундаментальной базой экономического и управленческого образования. Поэтому преподавание математических дисциплин для экономических и организационно – управленческих специальностей имеет следующие цели: ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических экономических и организационно – управленческих задач; привить умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести экономическую и организационно – управленческую задачу на язык математики. Кроме того, изучение курса математики имеет важное значение и для последующей практической работы экономиста и управленца, а также является необходимым для успешного изучения естественнонаучных, общепрофессиональных и специальных дисциплин.

    Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения. Оно содержит более 400 задач по основным вопросам математического анализа: предел функции одной, производная функции, частные производные функции многих переменных, понятие градиента, исследование функций и построение графиков, неопределенный интеграл, определенный интеграл и геометрические приложения определенного интеграла, понятие несобственного интеграла, числовые ряды, дифференциальные уравнения. Подробно рассмотрены примеры решения некоторых типовых задач и представлены варианты контрольных заданий.

 

 

    При подготовке настоящего пособия использованы примеры и задачи из следующих литературных источников:

    - Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1964.

    - Бохан К.А. и др. Курс математического анализа. Т.1.: Учебное пособие / Под ред. проф. Б.З. Вулиха. – М.: Просвещение, 1965.

    - Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1975.

    - Кундышева Е.С.   Математика: Учебное пособие для экономистов. – 2-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков К^о», 2006.

    - Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2008.

    - Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

 

Пример 4.2.

  

                

5. Случай, когда при  или  функция  представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности (случай ).

В данном случае для нахождения предела функции используется 2-й замечательный предел:

е = 2,7182818… - основание натурального логарифма ln.

Пример 5.1.

Решение.  При указанном изменении аргумента функция представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности (случай ). Преобразуем функцию таким образом, чтобы использовать 2-й замечательный предел. Полагаем , получим, что при :

Пример 5.2.        

Решение. Полагаем  получим, что при .

так как

 

6. Вычисление предела функции по правилу Лопиталя.

Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если он существует, или равен бесконечности.

Правило Лопиталя можно применять последовательно несколько раз, если это полезно, до получения результата.

Пример 6.1.

Пример 6.2.

В примере 6.2 правило Лопиталя  применено дважды.

 

Найти следующие пределы:

1.1.                    1.2.     

1.3.                              1.4.

1.5.                                             1.6.

1.7.                                    1.8.

1.9.                                              1.10.

1.11.                                   1.12.

1.13.                           1.14.

1.15.                                         1.16.

1.17.                                        1.18.

1.19.                                   1.20.

1.21.                                        1.22.

1.23.                             1.24.

1.25.                                1.26.

1.27.                      1.28.

1.29.                              1.30.

1.31.                          1.32.

1.33.                     1.34.

1.35.                                1.36.

1.37.                                    1.38.

1.39.            1.40.

1.41.                                 1.42.

1.43.                                          1.44.

1.45.                                    1.46.

1.47.           1.48.

1.49.                                1.50.

1.51.                                 1.52.

1.53.                        1.54.

1.55.                                 1.56.

1.57.                           1.58.

1.59.                             1.60.

1.61.                         1.62.

1.63.                                          1.64.

1.65.                                         1.66.

1.67.                                         1.68.

1.69.                                    1.70.

1.71.                                   1.72.

1.73.                                         1.74.

1.75.                                       1.76.

1.77.  (k >0, n – натуральное число);      1.78.

1.79.                                       1.80.

1.81.                                         1.82.

1.83.                                   1.84.

1.85.                                       1.86.

1.87.                                       1.88.

1.89.                                   1.90.

Таблица основных производных

№ п / п	Функция y	Производная y’	№ п / п	Функция y	Производная y’
1	c	0	14
2	x	1	15
3			16
4			17
5			18
6			19
7			20
8			21
9			22
10			23
11			24
12			25
13			26

Пользуясь формулами и общими правилами дифференцирования, найти производные следующих функций:

2.1.                           2.2.

2.3.                              2.4.

2.5.                                        2.6.

2.7.                              2.8.

2.9.                                      2.10.

2.11.                              2.12.

2.13.                         2.14.

2.15.                           2.16.

2.17.                              2.18.

2.19.                 2.20.

2.21.                            2.22.

2.23.                        2.24.

2.25.                               2.26.

2.27.                                       2.28.

2.29.                                        2.30.

2.31.                                   2.32.

2.33.                                       2.34.

2.35.                    2.36.

2.37.                          2.38.

2.39.                2.40.

2.41. ;                           2.42.

2.43.                       2.44.

2.45.                                     2.46.

2.47.                               2.48.

Для нахождения производных показательно-степенных и некоторых алгебраических функций полезно бывает предварительно прологарифмировать функцию.

Пример 2.1.  

Решение. Прологарифмируем заданную функцию, а затем найдем ее производную:

откуда

Пример 2.2.

Решение.

;

;

.

2.49.                                 2.50.

2.51.                               2.52.

2.53.

Пример 4.1.

Пример 4.2.

 Так как ,  то

Метод замены переменной

Пример 4.3.

Пример 4.4.

 

Формула Ньютона – Лейбница

  Теорема. Пусть функция  непрерывна на отрезке  и - любая первообразная для  на . Тогда определенный интеграл от функции  на  равен приращению первообразной  на этом отрезке, т.е.

  Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона – Лейбница осуществляется в два этапа: 1) используя методы вычисления неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); 2) применяя собственно формулу Ньютона – Лейбница, находят приращение первообразной, равное искомому интегралу.

    Пример 5.1.     Вычислить

Признак  Коши

    Пусть для знакоположительного ряда  существует предел   Тогда:

а) если  то ряд сходится;

б) если  то ряд расходится;

Примечание. Если  то теорема не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

 

Признак Даламбера

    Пусть для знакоположительного ряда существует предел  Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если , то ряд  сходится;

б) если , то ряд  расходится.

Примечание. Теорема не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, если

 

Интегральный признак Коши

     Пусть члены ряда  положительны и убывают, т.е.  и пусть  - непрерывная положительная убывающая функция, определенная при  такая, что

 тогда интеграл  и ряд сходятся или расходятся одновременно.

    Пример 7.1. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда

 

    Решение. Зная, -й член ряда, находим следующий за ним ()-й член, заменяя в выражении -го члена  через (). Затем ищем предел отношения последующего члена  к предыдущему  при неограниченном возрастании

  

Здесь,  следовательно, согласно признаку Даламбера данный ряд сходится.

    Пример 7.2. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда

    Решение.

Здесь  следовательно, согласно признаку Коши данный ряд сходится.

    Пример 7.3. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:

   

    Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом:

   

Каждый член  данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена  гармонического ряда:  и, так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.

    Пример 7.4. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:

   

    Решение. Сравним данный ряд с бесконечной геометрической прогрессией: , которая представляет сходящийся ряд. Каждый член исследуемого ряда , начиная с третьего, меньше соответствующего члена  бесконечной геометрической прогрессии:

 следовательно, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд является сходящимся.

 

    Пример 7.5. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

 

    Решение.  Заменяем в заданном выражении общего члена ряда  номер  непрерывной переменной  и убеждаемся, что полученная функция  является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения . Затем находим несобственный интеграл от   с бесконечным верхним пределом.

Здесь несобственный интеграл расходится. Следовательно, согласно интегральному признаку, и данный ряд также расходится.

 

    Исследовать на сходимость следующие ряды:

7.1.                                                  7.2.

7.3.                                               7.4.

7.5.                                             7.6.

7.7.                                                  7.8.

7.9.                                                   7.10.

7.11.                                              7.12.

7.13.                                               7.14.

7.15.                                                    7.16.

7.17.                                                    7.18.

7.19.                                                 7.20.

7.21.                                                7.22.

7.23.                                            7.24.

 

Уравнение Бернулли.

  Уравнение вида

где

называется уравнением Бернулли. Данное уравнение приводится к линейному с помощью подстановки . Также можно использовать подстановку  или метод вариации произвольных постоянных.

  Пример 8.4. Решить дифференциальное уравнение

  Решение. Сделаем замену  и получим

Сгруппируем второе слагаемое с третьим:

                                                                                  ()

Приравняем к нулю выражение в квадратных скобках и найдем функцию :

Подставив  в (), находим :

Отсюда

 

Варианты контрольных заданий

Вычислить предел функции:

Вариант	Предел	Вариант	Предел
1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

 

2. Исследовать функцию и построить её график:

Вариант	Функция	Вариант	Функция
1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

 

3. Найти неопределенный интеграл:

Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1		16