Сила лоренца. Движение частиц в магнитном и электрическом полях.

(Задачи № 75 —100)

Указания

При решении этих задач используются алгоритмы задач по механике с добавлением силы Лоренца.

Задача 9

Альфа-частица c кинетической энергией К = 500 эВ, влетает в од­нородное магнитное иоле перпендикулярно его силовым линиям, Индукция магнитного поля В = 0,1 Тл. Найти: 1) силу, действующую на частицу; 2) ра­диус окружности, по которой движется частица; 3) период обращения час­тицы.

 

 

Рис.9

Дано:                                                       Решение

К = 500 эВ =    Зная кинетическую энергию альфа-частицы, определим ее скорость v:

= 1,6·10^-19·500 Дж                                              К =                             (1)

В = 0,1 Тл              где m — масса альфа-частицы. 

F _л -? R -?Т -?

На движущуюся частицу с зарядом q в магнитном поле действует сила Ло­ренца (рис. 9)

F _л = qv B sinα

направленная всегда перпендикулярно скорости частицы (правило левой руки):.  В нашем случае угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции α = π/2, следовательно:     

               F _л =                                              (2)

Под действием силы Лоренца альфа-частица приобретает центростре­мительное ускорение

а _цс

 

По второму закону Ньютона:

=

                                                              (3)

Период обращения Т ─ это время, в течение которого альфа-частица совер­шит один оборот по окружности радиусом R:

Учитывая соотношения (1) и (3), получаем:

                                                                                        (4)

Ответ: R = 3,2• 10^{-2 м;} T = 1,3 • 10^-6 с; F _л =5·10^-15Н.

Задача 10

Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 10000 В, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл под углом 30° к направлению линий индукции. Определить радиус и шаг спирали, по кото­рой электрон будет двигаться в магнитном поле.

 

Рис.10

Дано:                                                            Решение

U = 10⁴В          Используя теорему о кинетической энергии, получаем, что электрон,

                               прошедший разность потенциалов U, приобрел скорость

В = 0,1 Тл            

α = 30°            v =  

R -?

L -?  

Представим скорость электрона как v = v _║ + v _┴ (рис.10). Составляющая v _║ = v cosα обеспечивает частице равномерное движение вдоль направле­ния поля.

Составляющая v _┴ = v sinα приводит к равномерному движению части­цы по окружности радиусом R [см. задачу 9 формулу (3)]

/

Период обращения [см. задачу 9 формулу (4)]:

Т =       = 3,58 • 10^-10 с.

Шаг спирали L найдем из условия: период обращения и время смещения на один шаг одинаковы, тогда

L = v _║ T = v cosα ▪ Т = 1, 86·10^-2(м).

 Ответ: R = 1,71·10^-3м; L = 1, 86·10^-2м.

Задачи для самостоятельного решения

Законы постоянного тока

1. Два резистора с равными сопротивлениями R подключили к источнику с напряжением U сначала параллельно, а затем последовательно. Найти отношение мощности тока на резисторах при параллельном соединении к мощности тока при последовательном соединении.

2. Внешняя цепь состоит из двух последовательно соединенных провод­ников, подключенных к источнику тока с внутренним сопротивлением r = 4 Ом и ЭДС ε = 24 В. Сопротивление первого проводника R ₁ = 6 Ом. Напряжение на концах второго проводника U ₂=4 В, Найти силу тока в цепи.

3. При подключении к батарее сопротивления 16 Ом сила тока в цепи рав­на 1А, а при подключении сопротивления 8 Ом — 1,8 А. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.

4. При параллельном соединении двух резисторов сопротивлением R ₁ =2 Ом и R ₂ =3 Ом на них выделяется общая мощность Р = 4,8 Вт. Какая мощность будет выделяться на каждом резисторе при их последо­вательном соединении? Общее напряжение на резисторах постоянно.

5. Найти внутреннее сопротивление источника тока с ЭДС, равной 4,5В, если напряжение на внешнем сопротивлении равно 4 В, а сила тока в це­пи равна 0,25 А.

6. Найти внутреннее сопротивление r источника тока с ЭДС ε = 18 В, ес­ли при силе тока I = 1 A на внешнем участке цепи выделяется мощность Р = 16 Вт.

7. Найти внутреннее сопротивление и ЭДС источника тока, если при внешнем сопротивлении R ₁ =0,2 Ом на нем выделяется мощность P _l = 180 Вт, а при внешнем сопротивлении R ₂ = 1 Ом — Р ₂= 100 Вт.

8. Электродвигатель подъемного крана работает под напряжением 380 В и потребляет ток 20 А. Каков КПД установки, если груз массой 1 т кран поднимает на высоту 19 м за 50 с?

9. В проводнике сопротивлением 2 Ом, подключенном к элементу с ЭДС равной 1,1 В, течет ток 0,5 А. Какова сила тока при коротком замыкании?

10. Лампочки, сопротивление которых 3 и 12 Ом, поочередно подключенные к некоторому источнику тока, потребляют одинаковую мощность. Опреде­лить внутреннее сопротивление источника и КПД цепи в каждом случае.

11. При внешнем сопротивлении 5 Ом по цепи течет ток 40 мА. При внеш­нем сопротивлении 10 Ом — ток 22 мА. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока.

12. Лифт массой 0,8 т поднимается на высоту 40 м за полминуты. Напря­жение на зажимах электромотора 120 В, КПД мотора 90 %. Определить мощность, потребляемую мотором и силу тока в нем.

13. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора, если при силе тока 5 А он отдает во внешнюю цепь 9,5 Вт, а при 7 А — 12,6 Вт.

14. Потребитель находится на расстоянии 20 км от источника тока. Между ними двухпроводная линия связи сопротивлением 400 Ом. На линии про­изошло короткое замыкание, причем у источника тока вольтметр показал 10 В, а миллиамперметр — 40 мА. На каком расстоянии от источника произошло короткое замыкание?

15. Электрический утюг, рассчитанный на напряжение 120 В, имеет мощ­ность 400 Вт. При включении утюга напряжение на розетке падает с 127 до 115 В. Определить сопротивление подводящих проводов.

16. Электрическая цепь составлена из двух кусков провода, соединенных последовательно, различной длины и материала, но одинакового сечения подключена к источнику. Известно, что тепловые потери проводников одинаковы. Определить соотношение между длиной и удельным сопро­тивлением проводников.

17. Электрический чайник имеет две обмотки. При подключении одной из них вода в чайнике закипает через 15 мин, а при подключении другой — через 30 мин. Через сколько времени закипит вода при параллельном включении двух обмоток?

18. Две электрические лампочки включены в сеть параллельно. Сопротив­ление первой лампочки 360 Ом, второй — 240 Ом. Найти отношение мощностей, выделяющихся на этих лампочках.

19. ЭДС батареи 240 В, внешнее сопротивление цепи — 23 Ом, внутреннее — 1 Ом. Определить общую мощность, полезную мощность и КПД источника тока.

1. 0т батареи с ЭДС 500 В требуется передать энергию на расстояние 2,5 км. Потребляемая мощность 10 кВт. Найти минимальные потери мощности, если подводящая цепь выполнена из медных проводов диа­метром 5 мм. Удельное сопротивление меди ρ = 1,7 • 10^-8 Ом • м.
2. Электрический чайник имеет две обмотки. При подключении одной из них вода в чайнике закипает через 15 мин, а при подключении другой — через 30 мин. Через сколько времени закипит вода при последовательном включении двух обмоток?
3. Троллейбус массой 11 т движется равномерно со скоростью 36 км/ч. Определить силу тока в обмотке электродвигателя, если напряжение равно 550 В и КПД—80 %. Коэффициент сопротивления движению равен 0,02.
4. Сколько времени потребуется для нагревания воды массой 2 кг от на­чальной температуры 10°С до кипения в электрическом чайнике мощно­стью 1 кВт, если КПД равен 90 %?
5. Сила тяги электровоза при скорости 13 м/с равна 380кН. Определить КПД электровоза, если напряжение в контактной сети 3кВ и сила тока в обмотке каждого из восьми двигателей равна 230 А.
6. Четыре электролампы, каждая из которых рассчитана на напряжение 3В и силу тока 0,3 А, надо включить параллельно и питать от источника на­пряжением 5,4 В, Какое дополнительное сопротивление надо включить последовательно лампам?

 

Индукция магнитного поля

26. На рис. 11 изображены сечения двух прямолинейных проводников с током. Расстояние АВ между проводниками рав­но 20 см, I ₁ = 20А, I ₂= 40А. Определить индукцию магнитного поля в точкахМ₂ и M₃.Расстояния АМ₂ = 6 см, ВМ₃ = 5 см.

 

 

 

Рис. 11

 

 

27. На рис. 12 изображены сечения двух прямолинейных проводников с током. Расстояние АВ между проводниками рав­но 20 см, I ₁ = 20А, I ₂= 40А. Определить индукцию магнитного поля в точках М₂, M₃.Расстояния АМ₂ = 6 см, ВМ₃ = 5 см.

 

Рис. 12

28. На рис. 12 изображены сечения двух прямолинейных проводников с током. Расстояние АВ между проводниками рав­но 20 см, I ₁ = 20А, I ₂= 40А. Определить индукцию магнитного поля в точках M₁ иМ₂. РасстоянияM₁А = 4 см,АМ₂ =6 см.

29. На рис. 13 изображены сечения двух прямолинейных проводников с током. Расстояние АВ между проводниками равно 20 см, I ₁ = 40А, I ₂= 40А. Определить индукцию магнитного поля в точке C. Расстояния AC = BC =20 см.

 

 

 

Рис. 13                               Рис. 14

30. На рис. 14 изображены сечения двух прямолинейных проводников с током. Расстояние АВ между проводниками равно 20 см,, I ₁ = 2 I ₂. Определить точку на оси ОХ, в которой индукция магнитного поля равна нулю.

31. На рис. 15 изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длин­ных проводников с током. Расстояние A В между проводниками равно 20 см, I ₁ =2 I ₂. Определить точку на оси ОХ, в которой индук­ция магнитного поля равна нулю.

 

Рис. 15                               Рис. 16

32. На рис. 16 изображены сечения трех прямолинейных бесконечно длин­ных проводников с током. Расстояние АВ=ВС = 10 см. Токи I ₁ =1₂= I, I ₃ = 21. Определить точку на оси ОХ, в которой индукция магнитного поля равна нулю.

33. На рис. 17 изображены два прямолинейных про­водника с током, лежащие в одной плоскости и расположенные перпен­дикулярно друг к другу. Расстояния М₁А = М₂А = 1 см и ВМ₁= СМ₂ =2см, I ₁ = 2А, I ₂ = 3А. Определить индукцию магнитного поля в точках M ₁, М₂.

 

 

Рис. 17                               Рис. 18

34. На рис. 18 изображены два прямолинейных бесконечно длинных про­водника с током, лежащие в одной плоскости и расположенные перпен­дикулярно друг к другу. Расстояние M ₁ N = M ₂ N =1 см, токи I ₁ =2A, I ₂ = 3 А. Определить индукцию магнитного поля в точке N.

35. По каждому из четырех прямых проводников, проходящих через вер­шины квадрата со стороной 30 см перпендикулярно к его плоско­сти, течет ток 10А, причем по трем проводникам ток течет в одном на­правлении, а по четвертому — в противоположном. Определить индук­цию магнитного поля в центре квадрата.

36. По каждому из четырех прямых проводников (рис.19), проходящих через вершины квадрата со стороной 30 см, течет ток 10А. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата.

 

 

 

Рис. 19

37. Два круговых витка расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпадают. Радиус каждого витка 2 см. По виткам протекают токи I ₁ = I ₂ = 5 А. Опре­делить индукцию магнитного поля в центре витков.

38. Два круговых витка расположены в параллельных плоскостях (рис. 20) на расстоянии 10 см друг от друга. Радиус каждого витка 4 см. По виткам в одном направлении протекают токи I ₁ = I ₂ =2 А. Определить индукцию магнитного поля в центре их общей оси.

1. Два круговых витка расположены в параллельных плоскостях (рис. 21) на расстоянии 10 см друг от друга. Радиус каждого витка 4 см. По виткам в противоположном направлении протекают токи I ₁ = I ₂ = 2А. Найти индукцию магнитного поля в центре их общей оси.

 

Рис. 20                               Рис. 21

1. Два круговых витка расположены в параллельных плоскостях на одной оси на расстоянии 5 см друг от друга. Радиус каждого витка 4 см. По виткам в одном направлении протекают токи I ₁ = I ₂ =4А. Определить индукцию магнитного поля в центре одного из витков.
2. Два круговых витка расположены в параллельных плоскостях на одной оси на расстоянии 5 см друг от друга. Радиус каждого витка 4 см. По виткам в противоположных направлениях протекают токи I ₁ = I ₂ =4А. Опре­делить индукцию магнитного поля в центре одного из витков.
3. На оси соленоида радиусом 3 см, намотанного в один слой проводом диаметром 0,5 мм, находится проводник с током 5А в виде кольца диа­метром 3 см. Ось кольца совпадает с осью соленоида. Определить индук­цию магнитного поля в центре кольца. Ток соленоида равен 1А и совпа­дает по направлению с током кольца.
4. На оси соленоида радиусом 3 см, намотанного в один слой проводом диаметром 0,5 мм, находится проводник с током 5А в виде кольца диа­метром 3 см. Ось кольца совпадает с осью соленоида. Определить индук­цию магнитного поля в центре кольца. Ток соленоида равен 1А и проти­воположен по направлению току кольца.
5. Ток I = 20 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением S = 1 мм², создает в центре кольца магнитное поле с индукцией В = 10^-5 Тл. Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки, образующей кольцо? Удельное сопротивление меди ρ = 1,7 • 10^-8 Ом • м.
6. В центре проволочного витка создается магнитное поле с индукцией В при разности потенциалов U ₁ на концах проводника. Какую надо прило­жить разность потенциалов U ₂, чтобы получить такую же индукцию в центре витка, сделанного из того же материала, но вдвое большего радиуса?
7. Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид, внутри которо­го должна быть индукция магнитного поля 0,03 Тл. По проволоке можно пропускать предельный ток 6 А. Сколько слоев должна содержать обмотка, если витки наматывать плотно друг к другу?
8. B соленоиде длиной 20 см и диаметром 5 см требуется получить индукцию магнитного поля 10^-3 Тл. Найти число ампер-витков, необходимое для этого соленоида, и разность потенциалов, которую необходимо приложить к концам обмотки з медного провода диаметром 0,5 мм. Удельное сопротивление меди ρ = 1,7 • 10^-8 Ом • м.
9. Вдоль оси соленоида радиусом 3 см, намотанного в один слой проводом диаметром 0,5 мм, проходит проводник с током 5 А. Определить индукцию магнитного поля в точке, отстоящей на 1 см от оси соленоида. Ток соленоида равен 1 А.

49. Два круговых витка диаметром 4 см и током 5 А расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях так, что их оси пересекаются в точке, отстоящей на 3 см от каждого витка. Определить индукцию магнитного поля в точке пересече­ния осей этих витков

50. На рис. 11 изображены сечения двух прямолинейных проводников с током. Расстояние АВ между проводниками рав­но 20 см, I₁ = 20А, I ₂= 40А. Определить индукцию магнитного поля в точках M₁ иМ₂. РасстоянияM₁А = 4 см,АМ₂ =6 см.