Смешанное произведение векторов.

О4. Смешанным произведением векторов ,  и   называется число равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , т. е. .

Получим формулу для вычисления смешанного произведения

.

Обменяв местами первую строку со второй, а затем и с третьей, получим окон-чательную формулу . Таким образом, смешанное произведение векторов представляет собой определитель III порядка, откуда следуют его свойства:

1. , т.е. вектора, входящие в смешанное произведение, можно циклически переставлять местами, поэтому зачастую смешанное произведение пишут без знаков .

2. Смешанное произведение векторов ,  и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком «+», если тройка векторов правая, и со знаком «-», если тройка векторов левая (рис. 14):

.

 

                                                           

                                               

                                           

                                                    

     Рис. 14. Объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и .

Так как , то

.

3. Если вектора ,  и компланарны (лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях), то их смешанное произведение равно нулю, т. е. .

Свойство 3 определяет условие компланарности трех векторов, т.е если , то вектора ,  и  лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Пример 4. Доказать, что вектора ,  и  компланарны.

Согласно формуле, определяющей смешанное произведение векторов, имеем

.

Пример 5. Даны четыре точки , ,  и . Вычислить объем параллелепипеда.

Составим вектора ,  и . Вычислим объем параллелепипеда

.

Положительность вычисленного объема указывает на то, что вектора ,  и образуют правую тройку.

Самостоятельная работа № 2 Основы векторной алгебры

Даны четыре точки , , , . Варианты точек

1)                            

2)                          

3)                                

4)                         

5)                        

6)                           

7)                            

8)                              

9)                         

10)                     

11)                     

12)                           

13)                             

14)                            

15)                       

16)                                 

17)                                 

 

18)                         

19)                       

20)                        

21)                       

22)                                

23)                            

24)                             

1. Найти вектора  и . Имеются ли среди них коллинеарные? Построить вектора ,  и вектора  и  на плоскости , положив аппликаторную координату вектора равной нулю. Записать разложение векторов  и  по декартовому базису .

2. Найти единичный вектор того же направления что и вектор .

3. Найти направляющие косинусы вектора . Сравнить с ответом в предыдущем пункте. Сделать выводы.

4. Найти .

5. Определить координаты вектора , коллинеарного вектору , зная, что и он направлен в сторону, противоположную вектору .

6. Вычислить скалярные произведения  и . Перпендикулярны ли вектора  и ,  и  между собой?

7. Найти работу, совершенную материальной точкой, к которой приложена сила , при перемещении ее из т.  в  т. .

8. Найти внутренний угол при вершине  и внешний угол при вершине  треугольника .

9. Найти  и .

10. Вычислить ,  и угол .

11. Найти площадь  и длину его высоты, опущенной из т. .

12. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам  и .

13. Найти величину и направляющие косинусы момента силы , приложенной к т.  относительно т. .

14. Лежат ли вектора ,  и  в одной плоскости? Могут ли эти вектора образовать базис пространства и почему? Если могут, то разложить по этому базису вектор .

15. Чему равен объем пирамиды с вершинами , , ,  и ее высоту, опущенную из т.  на основание ?

16. Вычислить  и .

17. Вычислить .

18. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам  и , а его проекция на вектор  равна 6.

19. Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .