Свойства смешанного произведения.

1) Смешанное произведение не меняется при циклических перестановках векторов:

(a×b) c =(b×c) a =(c ×a) b.

2) Смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух сомножителей:

(a×b) c=-(a ´ c)b=-(b ´ a)c=-(c ´ b)a

Доказательство.  Все произведения по абсолютной величине дают объем одного и того же параллелепипеда, а знак произведений определяется ориентацией тройки сомножителей. При циклической перестановке векторов в тройке ориентация не меняется, при перестановке местами двух векторов в тройке ориентация меняется на противоположную                                                                                            ч.т.д.

Доказанное свойство позволяет записывать смешанное произведение в виде abc.

3) Три вектора a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Необходимость следует из теоремы. Достаточность – тоже из теоремы, т.к. смешанное произведение некомпланарных векторов равно отличному от нуля объему параллелепипеда.

4) Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Т.к. такие векторы компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты векторов.

а =а_х i +a_y j +a_z k, b = b_х i +b_y j +b_z k, c = c_х i +c_y j +c_z k

abc =(a×b) c= (c_x i +c_y j +c_z k)=

=( i- j+ k) (c_x i +c_y j +c_z k) = c_x- c_y + c_z

abc=

Т.о. объем параллелепипеда: V =±

V_пир.= S_{осн. пир.} Н=  S_{осн. парал.}Н= ±

 

Следствие. Критерий компланарности: три вектора a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда abc = = 0 (в частности, любые два из них коллениарны).

Приложение смешанного произведения.

1. Определение ориентации тройки векторов. Если abc>0, то тройка векторов, которая его образует, является правой.

Если abc<0, то тройка векторов, которая его образует, является левой.

2. Определение компланарности векторов.

3. Вычисление объемов параллелепипеда и тетраэдра, построенного на векторах.

Пример. Определить ориентацию тройки векторов ijk.

ijk= = 1>0 – правая тройка векторов.

Двойное векторное произведение.

Пусть даны три произвольных вектора a, b и c. Если вектор b векторно умножается на вектор с, а вектор а также векторно умножается на векторное произведение b ´ c, то полученный при этом вектор а ´ (b ´ c)=[ a [ bc ]] называется двойным векторным произведением.

Теорема. (Док-во на с.79). Для любых векторов a, b и c справедлива формула:

а ´ (b ´ c)=[a[bc]]=b(ac)-c(ab)               (13)

Из формулы (13) Þ (а ´ b) ´ c =[[ ab ] c ]= b (ac)- a (bc)         (13 ¢)

(Т.е. средний вектор, умноженный на скалярное произведение двух остальных, минус другой вектор внутреннего произведения, умноженный на скалярное произведение двух остальных.)