Геометрическое построение векторного произведения.

1) Если ненулевые векторы a и b ортогональны, то для геометрического построения вектора a × b достаточно совместить их начала и в плоскости, перпендикулярной вектору b, повернуть вектор а на 90° вокруг вектора b по ходу часовой стрелки, а затем умножить повернутый вектор на | b |.

2) Чтобыгеометрически построить векторное произведение векторов a и b надо, совместив их начала, спроектировать вектор анна плоскость p, перпендикулярную вектору b. Полученную проекцию в плоскости, перпендикулярной вектору b, повернуть вокруг вектора b на 90°по ходу часовой стрелки, а затем умножить повернутый вектор на | b |.

Алгебраические свойства векторного произведения.

1) a × b=-(b × a) – антикоммутативность;

2) λ(a × b)=λa × b=a ×λ b сочетательное (ассоциативное) относительно числового множителя;

3) a ×(b + с)= a × b + a × с -распределительное (дистрибутивное ) относительно суммы векторов;

4) a × а = 0 (a × а = |а||а| sin 0=0);

Доказательства.

1) Пусть с = a × b, d =b × a. Если векторы a и b коллинеарны, то с = d =0.

Если a и b не коллинеарны, то векторы с и d имеют одинаковую длину (|а||b| sinφ) и коллинеарны (т.к. оба ортогональны плоскости, определяемой векторами a и b). Но тогда либо с = d, либо с =- d. Если бы с=d, то обе тройки abc и bac были бы правыми, но они противоположной ориентации. Поэтому c=-d.                      ч.т.д.

2) Положим с=λ(a × b), d = λa × b. Исключим тривиальные случаи, когда вектор а коллинеарен вектору b  или когда l=0. в этом случае с = d =0.

Обозначим j= , y= . По определению длины векторного произведения и произведения вектора на число можно утверждать, что

| с | = | l || a || b | sin y                | d | = | l || a || b | sin j                (10)

Возможны 2 случая 1) j=y (когда l>0 и векторы а и l а направлены в одну сторону).

2) y=p-j (когда l<0 и векторы а и l а направлены в одну сторону).

В обоих случаях sin y=sin j и в силу (10) |с|=|d|, т.е. векторы c и d имеют одинаковую длину.

Далее, очевидно, что векторы c и d коллинеарны, т.к. ортогональность к плоскости, определяемой векторами l а и b, означает ортогональность и к плоскости, определяемой векторами а и b.

Для доказательства равенства векторов c и d проверим, что эти векторы имеют одинаковое направление. Пусть l>0 (l<0), тогда векторы а и l а одинаково направлены (противоположно направлены), и, следовательно, векторы a × b и λa × b также одинаково (противоположно) направлены, а это означает, что векторы d =λ(a × b) и с= λa × b всегда одинаково направлены.                                                               ч.т.д.

3) – без доказательства.

4) – следует из того, что вектор а коллинеарен самому себе.

Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Теорема 7. Если два вектора определены своими декартовыми прямоугольными координатами а ={x₁, y₁, z₁ }, b ={x₂, y₂, z₂ }, то их векторное произведение имеет вид:

a×b ={y₁z₂-z₁y₂,z₁x₂-x₁z₂, x₁y₂-y₁x₂}              (11)

a×b =                                   (11¢)

Доказательство.

В частности, i × i = j × j = k × k =0.

i×i = j×j = k×k =0.

i × j = k      i × k =- j     j × i =- k     j×k = i    

k×i = j     k×j =- i

a×b =(x₁ i +y₁ j +z₁ k)×( x₂ i +y₂ j +z₂ k)= x₁x₂ i×i +x₁y₂ i×j +x₁z₂ i×k +y₁x₂ j×i +y₁y₂ j×j +y₁z₂ j×k +z₁x₂ k×i +z₁y₂ k×j +z₁z₂ j×j =0+x₁y₂ k +x₁z₂ (-j)+ y₁x₂ (-k)+ 0+y₁z₂ i+ z₁x₂ j+ z₁y₂ (- i)+ 0=

=(y₁z₂-z₁y₂) i - (x₁z₂- z₁x₂) j +(x₁y₂ - y₁x₂) k = = a×b

Если последний определитель равен 0, то либо один из векторов равен 0, либо векторы коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны.

Пример. Найти векторное произведение векторов а =(1;3;4), b =(2;1;0)

a×b =-4 i -8 j -5 k.

Следствие. Если два вектора а ={x₁, y₁, z₁ }, b ={x₂, y₂, z₂ } коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е. .

Доказательство. Из равенства нулю векторного произведения следует:

y₁z₂=z₁y₂, x₁z₂=z₁x₂, x₁y₂=y₁x₂, а это эквивалентно доказываемым пропорциям.