Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрические свойства векторного произведения.
Теорема 4. Два вектора являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю. Доказательство. Необходимость. Следует из определения векторного произведения, т.к. если векторы а и b коллинеарные, то угол между ними равен 0, а sin 0=0. Достаточность. Пусть a × b =0. покажем, что векторы а и b коллинеарные. Исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов или равен 0. Если оба вектора ненулевые, то >0, >0Þиз равенства a × b =0 и (7) следует, что sin j=0, т.е. векторы и коллинеарны. Ч.т.д. Теорема 5. Длина (модуль) векторного произведения a × b равна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b. Доказательство. Следует из (7), т.к. площадь параллелограмма равна S= |а||b| sin(a^b) =| a × b|. Ч.т.д. Площадь соответствующего треугольника: SΔ=1/2 | a × b|. Определение. Ортом произвольного ненулевого вектора с называется единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одинаковое с ним направление. Следствие. Если е – орт векторного произведения a × b, а S – площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b, то для векторного произведения a × b справедлива формула: a × b= S е (8). Замечание. Из определений орта и векторного произведения вытекает, что тройка abe является правой (т.к. тройка ab a × b является правой). Теорема 6. Если с – некоторый вектор, p - любая содержащая его плоскость, е – единичный вектор, лежащий в плоскости p и ортогональный к с, g – единичный вектор, ортогональный к плоскости p и направленный так, что тройка ес g является правой, то для любого лежащего в плоскости p вектора а справедлива формула a × с =пре а ×| с | g (9) Доказательство. Достаточно доказать, что векторы, стоящие в левой и правой частях (9): 1) имеют одинаковую длину, 2) коллинеарны, 3) имеют одинаковое направление.
S=| a × с| - площадь построенного на приведенных к общему началу векторах а и с параллелограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (9), равна |пре а | ×| с |, т.е. тоже равна S, т.к. если за основание указанного параллелограмма принять вектор с, то высота его h будет равна |пре а |.
Коллинеарность векторов, стоящих в левой и правой частях (9), вытекает из того, что оба эти вектора ортогональны плоскости p (вектор a × с в силу определения векторного произведения, а вектор пре а ×| с | g в силу того, что вектор g по условию ортогонален к плоскости p). Проверим, что векторы, стоящие в левой и правой частях (9) имеют одинаковое направление. Векторы a × с и g одинаково направлены (противоположно направлены), когда тройка a с g является правой (левой), т.е. когда векторы а и е лежат по одну сторону (по разные стороны) от с и проекция пре а является положительной (отрицательной), но это и означает, что векторы a × с ипре а ×| с | g всегда одинаково направлены. Ч.т.д.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 62; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.14.130.24 (0.005 с.) |