Свойства проекции вектора на ось.

Понятие базиса.

Определение. Три линейно независимых вектора ,  и  образуют в пространстве базис, если любой вектор  может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов ,  и , т.е. если для вектора  найдутся такие вещественные числа l, m, n, что справедливо равенство: =l +m +n                  (1)

Определение. Два лежащих в плоскости p линейно независимых вектора  и  образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости p вектор  может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов  и , т.е. если для любого лежащего в плоскости p вектора  найдутся такие вещественные числа l и m, что справедливо равенство:   =l +m                 (2)

Утверждения.

1) любая тройка некомпланарных векторов ,  и  образует базис в пространстве;

2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов  и  образует базис на этой плоскости.

В дальнейшем для определенности будем рассматривать базис в пространстве.

Пусть ,  и  - произвольный базис в пространстве (т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов). Тогда равенство =l +m +n  называется разложением вектора  по базису , , , а числа l, m, n - координаты вектора  относительно базиса , , .

Покажем единственность разложения вектора  по базису , , . Допустим противное, что наряду с разложением (1), справедливо еще и другое разложение по этому же базису: =l¢ +m¢ +n¢                         (3)

Вычитая из (1) из (3) получаем:

(l-l¢) +(m-m¢) +(n-n¢) =0

В силу линейной независимости базисных векторов , ,  последнее соотношение приводит к равенству: l-l¢=0, m-m¢=0, n-n¢=0 или l=l¢, m=m¢, n=n¢.

Теорема. При сложении двух векторов  и  их координаты (относительно любого базиса , , ) складываются. При умножении вектора  на любое число a все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть =l₁ +m₁ +n₁ , =l₂ +m₂ +n₂ . Тогда в силу свойств линейных операций:

+ =(l₁+l₂) +(m₁+m₂) +(n₁+n₂) ,

a =(al₁) +(am₁) +(an₁)

В силу единственности разложения по базису                                          ч.т.д.

Проекция вектора на ось.

(Ортогональная) проекция точки на ось – основание перпендикуляра, опущенного из точки на данную ось. (рисунок)

l

Проекцией вектора  на ось u называется величина (длина) вектора , проведенного из проекции начала в проекцию конца вектора , взятая со знаком “+”, если направление вектора  совпадает с направлением оси u и со знаком “-” в противном случае.

 

Направляющие косинусы.

Обозначим буквами a, b, g углы наклона вектора  к осям Ox, Oy и Oz соответственно.

Числа cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора . С учетом формулы  и предыдущей теоремы, получаем формулы для координат вектора :

Х=| | cosα, Y=| | cosβ, Z=| | cosγ                       (3)

Т.к. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств ОА=Х, ОВ=Y, OC=Z, получим выражение для длины вектора :

               (4)

Из (3) и (4) получаем:

; ;   (5)

Возводя в квадрат и складывая равенства (5), получаем:

cos²α+cos²β+cos²γ=1.

Т.к. вектор  однозначно определяется заданием координат, то из (3) следует, что вектор  однозначно определяется заданием его длины и направляющих косинусов.

 Действия над векторами.

={а_х,а_у,а_z}={x,y,z}

Пусть ={х₁,у₁,z₁}, ={х₂,у₂,z₂},

1) =  когда равны их соотв. координаты: х₁=х₂; y₁=y₂; z₁=z₂.

2) Сумма (разность) векторов - вектор. Пусть , тогда

={х₁+х₂,у₁+у₂,z₁+z₂}, ={х₁-х₂,у₁-у₂,z₁-z₂}.

3) Умножение вектора на число- вектор: ={λх₁,λу₁,λz₁}.

Примеры. а ={2; -3;0}, b ={1;3;-2}. a+2b={4;3;-4}.

 

 

.

Приложение смешанного произведения.

1. Определение ориентации тройки векторов. Если abc>0, то тройка векторов, которая его образует, является правой.

Если abc<0, то тройка векторов, которая его образует, является левой.

2. Определение компланарности векторов.

3. Вычисление объемов параллелепипеда и тетраэдра, построенного на векторах.

Пример. Определить ориентацию тройки векторов ijk.

ijk= = 1>0 – правая тройка векторов.

Двойное векторное произведение.

Пусть даны три произвольных вектора a, b и c. Если вектор b векторно умножается на вектор с, а вектор а также векторно умножается на векторное произведение b ´ c, то полученный при этом вектор а ´ (b ´ c)=[ a [ bc ]] называется двойным векторным произведением.

Теорема. (Док-во на с.79). Для любых векторов a, b и c справедлива формула:

а ´ (b ´ c)=[a[bc]]=b(ac)-c(ab)               (13)

Из формулы (13) Þ (а ´ b) ´ c =[[ ab ] c ]= b (ac)- a (bc)         (13 ¢)

(Т.е. средний вектор, умноженный на скалярное произведение двух остальных, минус другой вектор внутреннего произведения, умноженный на скалярное произведение двух остальных.)

 

Понятие базиса.

Определение. Три линейно независимых вектора ,  и  образуют в пространстве базис, если любой вектор  может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов ,  и , т.е. если для вектора  найдутся такие вещественные числа l, m, n, что справедливо равенство: =l +m +n                  (1)

Определение. Два лежащих в плоскости p линейно независимых вектора  и  образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости p вектор  может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов  и , т.е. если для любого лежащего в плоскости p вектора  найдутся такие вещественные числа l и m, что справедливо равенство:   =l +m                 (2)

Утверждения.

1) любая тройка некомпланарных векторов ,  и  образует базис в пространстве;

2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов  и  образует базис на этой плоскости.

В дальнейшем для определенности будем рассматривать базис в пространстве.

Пусть ,  и  - произвольный базис в пространстве (т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов). Тогда равенство =l +m +n  называется разложением вектора  по базису , , , а числа l, m, n - координаты вектора  относительно базиса , , .

Покажем единственность разложения вектора  по базису , , . Допустим противное, что наряду с разложением (1), справедливо еще и другое разложение по этому же базису: =l¢ +m¢ +n¢                         (3)

Вычитая из (1) из (3) получаем:

(l-l¢) +(m-m¢) +(n-n¢) =0

В силу линейной независимости базисных векторов , ,  последнее соотношение приводит к равенству: l-l¢=0, m-m¢=0, n-n¢=0 или l=l¢, m=m¢, n=n¢.

Теорема. При сложении двух векторов  и  их координаты (относительно любого базиса , , ) складываются. При умножении вектора  на любое число a все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть =l₁ +m₁ +n₁ , =l₂ +m₂ +n₂ . Тогда в силу свойств линейных операций:

+ =(l₁+l₂) +(m₁+m₂) +(n₁+n₂) ,

a =(al₁) +(am₁) +(an₁)

В силу единственности разложения по базису                                          ч.т.д.

Проекция вектора на ось.

(Ортогональная) проекция точки на ось – основание перпендикуляра, опущенного из точки на данную ось. (рисунок)

l

Проекцией вектора  на ось u называется величина (длина) вектора , проведенного из проекции начала в проекцию конца вектора , взятая со знаком “+”, если направление вектора  совпадает с направлением оси u и со знаком “-” в противном случае.

 

Свойства проекции вектора на ось.

1) Проекция суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) проекций векторов на ось

пр_u()=

2) Постоянный множитель можно выносить за знак проекции:

Угол наклона вектора =  к оси u определяется как угол j между двумя выходящими из произвольной точки М лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора = , а другой – направление, совпадающее с направлением оси u. (Рисунок)

 

На величину угла наклона вектора  к оси u не влияют выбор точки М выхода указанных лучей и замена оси u любой другой осью v, имеющей то же направление, что и ось u.

Теорема. Проекция вектора  на ось u равна произведению длины  на косинус угла φ наклона вектора  к оси u: .

Доказательство. Обозначим через v ось, проходящую через начало А вектора  и имеющую то же направлении, что ось u, и пусть С – проекция В на ось v. Тогда ÐВАС=j, где j - угол наклона вектора =  к любой из осей u или v, причем точка С лежит в указанной проецирующей плоскости b(т.е. в плоскости, перпендикулярной оси u и проходящей через точку В). (Рисунок)

А₁В₁=АС (А₁В₁–величина вектора  оси u, а АС–величина вектора  оси v), т.к. оси u и v параллельны и одинаково направлены и отрезки этих осей заключенные между параллельными плоскостями a и b, равны. Т.к. по определению , то получаем равенство:                    =АС                  (1)

Но величина АС представляет собой проекцию вектора  на ось v и

АС= =                   (2)

Сопоставляя 91) и (20, получим                         ч.т.д.

Аффинные координаты (от лат. affinis – соседний, смежный).

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , ,   и некоторой точкой О, называемой началом координат.

Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора  (относительно базиса , , ). Т.к. каждый вектор  может быть единственным образом разложен по базису , , , то каждой точке пространства М однозначно соответствует тройка аффинных координат l, m, n.

Декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы координат, отвечающей тройке взаимно ортогональных единичных базисных векторов.

Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Базисные векторы принято обозначать  - три взаимно ортогональных единичных вектора.

Любой вектор  () можно единственным образом разложить по декартовому базису с коэффициентами а_х, a_y, a_z (X,Y,Z):

.

Коэффициенты а_х, a_y, a_z называются декартовыми прямоугольными координатами вектора  в базисе .

Если М – любая точка пространства, то декартовы координаты этой точки совпадают с декартовыми координатами вектора .

Координатами вектора  называют координаты его конечной точки. (на рис. коорд. вектора =  на плоскости ={х,у}, в пространстве - ={x,y,z}).

Теорема. Декартовы прямоугольные координаты X,Y,Z вектора  равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz.

(Доказательство на стр. 61)

Направляющие косинусы.

Обозначим буквами a, b, g углы наклона вектора  к осям Ox, Oy и Oz соответственно.

Числа cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора . С учетом формулы  и предыдущей теоремы, получаем формулы для координат вектора :

Х=| | cosα, Y=| | cosβ, Z=| | cosγ                       (3)

Т.к. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств ОА=Х, ОВ=Y, OC=Z, получим выражение для длины вектора :

               (4)

Из (3) и (4) получаем:

; ;   (5)

Возводя в квадрат и складывая равенства (5), получаем:

cos²α+cos²β+cos²γ=1.

Т.к. вектор  однозначно определяется заданием координат, то из (3) следует, что вектор  однозначно определяется заданием его длины и направляющих косинусов.

 Действия над векторами.

={а_х,а_у,а_z}={x,y,z}

Пусть ={х₁,у₁,z₁}, ={х₂,у₂,z₂},

1) =  когда равны их соотв. координаты: х₁=х₂; y₁=y₂; z₁=z₂.

2) Сумма (разность) векторов - вектор. Пусть , тогда

={х₁+х₂,у₁+у₂,z₁+z₂}, ={х₁-х₂,у₁-у₂,z₁-z₂}.

3) Умножение вектора на число- вектор: ={λх₁,λу₁,λz₁}.

Примеры. а ={2; -3;0}, b ={1;3;-2}. a+2b={4;3;-4}.

 

 

.