Задача 10. Статистическое изучение потерь товара в пути и обоснование страховых платежей

Предприятие отправило заказчику партию изделий. Изделия могут быть потеряны или испорчены в пути с определенной вероятностью. Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 10.1. Необходимо определить, сколько изделий может быть потеряно в пути и с какой вероятностью? На какую сумму стоит рассчитывать данную партию изделий для возмещения возможных потерь в пути? Норму страховой компании принять 28%.

 

РЕШЕНИЕ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ

Предприятие отправило заказчику партию из 500 изделий. Вероятность потерь изделий в пути составляет 0,2%. Сколько изделий может быть потеряно в пути и с какой вероятностью? На какую сумму следует застраховать данную партию изделий для возмещения возможных потерь в пути? Норму страховой компании принять 36%.

Вероятность наступления редкого события определяется по закону распределения вероятностей дискретной случайной величины - закону Пуассона:

,                                       (10.1)

где k	– число появления независимых событий
l	– среднее число или средняя интенсивность появления события в n наблюдениях
p	– вероятность появления события

 

    

     n =500

Средняя интенсивность потерь на одну партию изделий:

      шт.

Вероятность отсутствия потерь изделий в пути:

    

Вероятность потери одного изделия в пути:

    

Вероятность потери двух изделий в пути:

    

Вероятность потери трех изделий в пути:

    

Вероятность потери четырех изделий в пути:

    

Вероятность потери пяти изделий в пути:

    

Вероятность потери шести изделий в пути:

    

Вероятность потери семи изделий в пути:

    

Вероятность потери восьми изделий в пути:

    

 

Составляется расчетная таблица, в которую вносятся рассчитанные вероятности, среднее число теряемых изделий, путем перемножения вероятности потерь на число потерянных изделий, по рядам и накопленное число теряемых изделий, путем последовательного суммирования:

Таблица 10.2

Расчет теряемых изделий в пути

Число теряемых изделий	Вероятность потери соответствующего количества, pn(k)	Среднее число теряемых изделий, k × pn(k)	Накопленное число теряемых изделий, S k × pn(k)
0	0,36788	0	0
1	0,36788	0,36788	0,36788
2	0,18394	0,36788	0,73576
3	0,06131	0,18393	0,91969
4	0,01533	0,06132	0,98101
5	0,00307	0,01535	0,99636
6	0,000511	0,00307	0,99943
7	0,000073	0,00051	0,99994
8	0,000008	0,00006	1,00000

 

Поскольку накопленное число теряемых изделий S k × p_n(k) стало численно равным l - среднему числу или средней интенсивности появления события в n наблюдениях дальнейшие расчеты останавливаются.

Накопленное число изделий, теряемых в процессе транспортировке равно средней интенсивности потерь:

S k × p_n(k) = l =1,0

Норма дохода страховой компании а =36% устанавливается относительно стоимости среднего количества потерь данного товара в пути. Поэтому страховая сумма составит не менее S.

      ед. стоимости изделия.

ЗаданИя по варИантаМ К задачАМ рАздЕлА ІІ

Задача 3

Таблица 3.1

Номер варианта	Номер рынка	Количество реализованной продукции, шт.	Средняя цена продажи,   ден.ед.	Дисперсия цены
1	2	3	4	5
1	1 2	22 26	195,2 201,7	35,3 63,4
2	1 2	18 14	33,6 37,5	9,4 4,6
3	1 2	25 35	225,3 230,6	80,2 42,5
4	1 2	13 15	8,1 12,5	5,2 2,7
5	1 2	31 18	101,0 110,2	22,4 10,3
6	1 2	10 11	28,4 25,6	7,2 3,5
7	1 2	28 19	170,8 178,9	42,5 28,6
8	1 2	10 8	142,3 145,9	37,0 22,1
9	1 2	19 22	19,8 22,4	6,2 3,7
10	1 2	16 10	68,3 54,1	18,5 8,8
11	1 2	17 21	127,3 143,8	32,0 53,9
12	1 2	22 18	214,6 228,1	24,1 19,7
13	1 2	14 16	89,4 79,6	24,7 29,3
14	1 2	25 16	145,2 157,2	32,7 29,8
15	1 2	20 17	178,2 184,4	39,0 37,7
16	1 2	12 14	135,6 128,9	4,7 5,4
17	1 2	15 21	124,3 119,4	14,1 15,5
18	1 2	19 16	89,6 99,1	18,6 16,3
19	1 2	28 24	97,6 105,3	26,1 27,7
20	1 2	32 35	104,3 92,1	32,5 34,0
21	1 2	28 24	147,5 149,1	9,5 12,3
22	1 2	18 21	64,9 59,4	11,7 13,4
23	1 2	25 26	81,1 80,7	13,3 12,8
24	1 2	31 36	94,1 87,2	29,6 27,9
25	1 2	27 22	143,2 154,2	31,3 32,9

Продолжение табл. 3.1

1	2	3	4	5
26	1 2	12 17	106,7 89,4	12,6 14,6
27	1 2	15 17	127,0 116,8	10,6 9,8
28	1 2	16 19	154,3 147,1	12,2 11,0
29	1 2	12 9	80,4 96,8	15,7 18,3
30	1 2	19 14	94,1 107,8	18,2 15,8

 

Задача 4

Таблица 4.1

Номер варианта	Условное обозначение	Значение переменных
1, 11, 21	Х, %	100,5	101	101,5	102	102,5	103	103,5	104
	Y, тыс.шт.	200	220	200	210	190	180	170	160
		190	200	180	190	180	170	160	150
		-	-	-	-	170	160	150	140
2, 12, 22	Х, %	101	102	103	104	105	106	107	108
	Y, тыс.шт.	150	160	150	155	145	135	140	130
		145	150	140	140	135	130	135	125
		-	-	-	135	-	125	125	120
3, 13 23	Х, %	100,4	100,8	101,2	101,6	102	102,4	102,8	103,2
	Y, тыс.шт.	250	270	250	260	240	230	220	210
		240	250	240	245	230	225	215	205
		-	-	235	-	-	215	205	200
4, 14, 24	Х, %	100,8	101,6	102,4	103,2	104	104,8	105,6	106,4
	Y, тыс.шт.	180	190	180	180	170	160	150	140
		170	180	170	165	160	155	140	130
		-	-	-	-	150	145	130	120
5, 15, 25	Х, %	100,3	100,6	100,9	101,2	101,5	101,8	102,1	102,4
	Y, тыс.шт.	90	100	90	95	85	80	75	70
		85	90	80	80	75	70	65	60
		-	-	-	75	-	65	60	55
6, 16, 26	Х, %	100,6	101,2	101,8	102,4	103	103,6	104,2	104,8
	Y, тыс.шт.	140	150	140	145	135	130	125	120
		135	145	130	130	125	120	120	115
		-	-	-	135	-	115	115	110
7, 17, 27	Х, %	100,9	101,8	102,7	103,6	104,5	105,4	106,3	107,2
	Y, тыс.шт.	230	240	230	230	225	220	215	210
		225	230	220	235	220	215	210	205
		-	-	-	220	-	210	205	200
8, 18, 28	Х, %	100,7	101,4	102,1	102,8	103,5	104,2	104,9	105,6
	Y, тыс.шт.	300	320	300	310	290	280	270	260
		290	300	280	280	280	270	260	250
		-	-	-	270	-	260	250	240
9, 19, 29	Х, %	101,1	102,2	103,3	104,4	105,5	106,6	107,7	108,8
	Y, тыс.шт.	280	290	280	280	270	260	250	240
		270	280	270	260	250	250	240	230
		-	-	260	-	-	240	230	220
10, 20, 30	Х, %	100,2	100,4	100,6	100,8	101	101,2	101,4	101,6
	Y, тыс.шт.	320	340	320	310	300	290	280	270
		310	320	310	305	290	285	270	265
		-	-	305	-	-	280	265	260

 

Задача 5

 

 

Таблица 5.1

 

Номер варианта	Вероятность покупки предлагаемого товара		Вероятность количества покупок
	при отсутствии рекламы	при наличии рекламы со стороны продавца и вежливого обслуживания
1	0,46	0,71	145
2	0,47	0,73	150
3	0,48	0,75	120
4	0,49	0,77	160
5	0,39	0,79	135
6	0,40	0,80	105
7	0,52	0,75	70
8	0,50	0,70	115
9	0,47	0,65	80
10	0,50	0,65	95
11	0,51	0,66	110
12	0,52	0,67	140
13	0,53	0,68	125
14	0,54	0,69	135
15	0,55	0,70	130
16	0,56	0,71	140
17	0,57	0,72	130
18	0,58	0,73	150
19	0,59	0,74	155
20	0,40	0,75	165
21	0,41	0,76	160
22	0,42	0,77	175
23	0,43	0,78	170
24	0,44	0,79	126
25	0,45	0,81	95
26	0,50	0,80	100
27	0,45	0,75	85
28	0,50	0,76	120
29	0,55	0,70	75
30	0,50	0,85	60

 

 

Задача 6

Таблица 6.1

Номер варианта	Номер эксперта	Фирмы – участники конкурса
		А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З
1, 11, 21	I II	1-2-3 1-2	1-2-3 1-2	1-2-3 3	4 4	5 5	6 6	7 7-8	8 7-8
2, 12, 22	I II	1 1	2 2-3	3 2-3	4-5-6 4	4-5-6 5	4-5-6 6	7 7-8	8 7-8
3, 13, 23	I II	1 1-2-3	2-3 1-2-3	2-3 1-2-3	4-5-6 4	4-5-6 5	4-5-6 6	7 7-8	8 7-8
4, 14, 24	I II	1 1	2 2	3-4-5 3	3-4-5 4	3-4-5 5-6-7	6 5-6-7	7 5-6-7	8 8
5, 15, 25	I II	1-2-3 1	1-2-3 2-3	1-2-3 2-3	4 4-5	5-6 4-5	5-6 6-7-8	7 6-7-8	8 6-7-8
6, 16, 26	I II	1-2 1-2-3	1-2 1-2-3	3-4 1-2-3	3-4 4-5	5 4-5	6-7 6	6-7 7	8 8
7, 17, 27	I II	1 1-2	2-3-4 1-2	2-3-4 3-4	2-3-4 3-4	5-6 5	5-6 6-7	7 6-7	8 8
8, 18, 28	I II	1 1-2	2-3 1-2	2-3 3	4 4	5 5-6-7	6 5-6-7	7-8 5-6-7	7-8 8
9, 19, 29	I II	1-2 1	1-2 2	3 3	4 4-5-6	5 4-5-6	6-7-8 4-5-6	6-7-8 7	6-7-8 8
10, 20 30	I II	1 1	2-3-4 2	2-3-4 3-4-5	2-3-4 3-4-5	5 3-4-5	6 6	7 7-8	8 7-8

 

Задача 7

 

Таблица 7.1

Номер варианта	Номер эксперта	Модели товаров
		А	Б	В	Г	Д	Е	Ж
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1, 11, 21	I II III IY Y	7 5 7 6 7	3 3 4 2 3	6 7 6 5 6	2 1 2 3 1	4 4 3 4 5	1 2 1 1 2	5 6 5 7 4
2, 12, 22	I II III IY Y	2 6 4 3 7	6 1 2 4 1	1 4 6 1 5	5 3 1 6 2	7 7 3 2 6	4 5 5 7 3	3 2 7 5 4
3, 13, 23	I II III IY Y	7 7 6 4 4	1 3 2 1 3	2 2 1 3 2	4 5 4 6 5	3 1 3 2 1	5 6 7 5 7	6 4 5 7 6
4, 14, 24	I II III IY Y	7 7 6 7 5	4 6 7 6 7	5 2 4 4 3	3 3 1 1 1	2 5 5 3 6	6 4 2 5 4	1 1 3 2 2
5, 15, 25	I II III IY Y	2 1 3 2 1	4 2 1 3 3	1 5 2 4 2	3 5 4 1 5	7 3 6 6 4	5 6 7 5 7	6 7 5 7 6

Продолжение табл. 7.1

1	2	3	4	5	6	7	8	9
6, 16, 26	I II III IY Y	6 7 6 6 4	7 5 4 7 5	1 4 2 4 3	2 1 5 3 6	5 6 7 5 7	4 3 1 1 2	3 2 3 2 1
7, 17, 27	I II III IY Y	4 6 2 1 3	2 3 5 4 1	3 1 4 3 2	1 4 1 2 5	6 2 3 6 4	7 5 7 5 7	5 7 6 7 6
8, 18, 28	I II III IY Y	5 7 6 7 7	7 6 7 6 4	1 1 4 3 2	2 2 2 2 3	4 5 1 4 6	3 4 5 1 5	5 3 3 5 1
9, 19, 29	I II III IY Y	3 6 5 7 4	2 1 3 6 6	5 2 1 4 2	6 4 6 2 1	1 3 2 1 3	7 7 4 3 5	4 6 7 5 7
10, 20, 30	I II III IY Y	2 1 2 5 1	1 3 1 4 2	7 6 6 1 4	5 7 4 6 6	4 2 3 2 3	3 5 7 7 5	6 4 5 3 7

 

Задача 8

 

Таблица 8.1

Номер варианта	Вероятность поставки материала в результате одного посещения поставщика, Рt	Количество посещений разных поставщиков одним агентом, m	Гарантированная вероятность поставки материала, Р(А)
1	2	3	4
1	0,45	2	0,90
2	0,55	1	0,91
3	0,58	2	0,92
4	0,50	3	0,95
5	0,66	1	0,97
6	0,40	3	0,90
7	0,42	2	0,91
8	0,44	1	0,92
9	0,46	2	0,93
10	0,48	3	0,94
11	0,50	3	0,96
12	0,65	1	0,95
13	0,50	2	0,90
14	0,45	3	0,89
15	0,52	1	0,88
16	0,55	2	0,87
17	0,57	3	0,86
18	0,62	2	0,85
19	0,51	1	0,84
20	0,56	2	0,85
21	0,54	3	0,70

Продолжение табл. 8.1

1	2	3	4
22	0,30	3	0,68
23	0,45	2	0,85
24	0,55	2	0,95
25	0,35	3	0,90
26	0,70	1	0,99
27	0,65	2	0,83
28	0,63	3	0,82
29	0,61	2	0,81
30	0,45	3	0,80

 

Задача 9

Таблица 9.1

Номер варианта	Номер партии	Крепость материала, шт.
		1 образец	2 образец	3 образец	4 образец	5 образец
1	2	3	4	5	6	7
1,11, 21	1	100	70	85	75	80
	2	95	75	105	75	75
	3	115	95	100	95	100
	4	75	85	75	85	90
2, 12, 22	1	450	420	300	220	-
	2	355	320	405	385	-
	3	405	380	330	365	-
	4	425	440	485	320	-
	5	390	320	308	340	-
3, 13, 23	1	820	1070	910	1050	-
	2	1080	880	1190	990	-
	3	950	1020	1060	1100	-
	4	850	890	960	1010	-
4, 14, 24	1	900	1370	1660	990	1420
	2	1520	1100	970	1800	1350
	3	1220	1730	1150	950	1000
5, 15, 25	1	480	710	550	-	-
	2	620	510	810	-	-
	3	500	780	590	-	-
	4	750	490	630	-	-
6, 16, 26	1	120	165	210	-	-
	2	180	150	145	-	-
	3	200	160	180	-	-
	4	155	170	195	-	-
	5	185	130	175	-	-
7, 17, 27	1	50	70	60	40	50
	2	30	50	30	60	60
	3	60	70	60	50	40
	4	40	60	50	70	50
	5	70	40	60	50	70
8, 18, 28	1	2850	1910	2440	-	-
	2	1760	2620	2110	-	-
	3	2370	1640	2730	-	-
9, 19, 29	1	2850	1220	1470	1730	-
	2	1760	1410	1620	1280	-
	3	2370	1370	1540	1690	-
10, 20, 30	1	415	385	510	430	-
	2	360	420	485	395	-
	3	520	470	375	425	-
	4	475	435	380	410	-

 

 

Задача 10

Таблица 10.1

Номер варианта	Размер партии изделий n, шт.	Вероятность потери изделий в пути Р, (%)
1	1600	0,25
2	750	0,6
3	100	0,5
4	560	0,4
5	880	0,3
6	820	0,35
7	745	0,45
8	780	0,55
9	698	0,65
10	259	0,8
11	625	0,4
12	400	0,75
13	500	0,7
14	690	0,63
15	400	0,125
16	2000	0,1
17	750	0,2
18	650	0,35
19	580	0,2
20	1540	0,25
21	1125	0,32
22	710	0,42
23	960	0,45
24	640	0,57
25	590	0,53
26	580	0,37
27	600	0,25
28	700	0,28
29	980	0,36
30	650	0,4

 

 

Задача 11. Ряды статистического распределения

 

Методические рекомендации к решению

 

1. Плотность распределения:

а) абсолютная

                                         (11.1)

б) относительная

                                      (11.2)

Симметричное распределение

Правосторонняя асимметрия

Левосторонняя ассиметрия

Коэффициент ассиметрии:

                                     (11.3)

Асимметрия:

                                  (11.4)

 

Момент третьего порядка

                         (11.5)

 

A <0,25; 0,25 <A <0,5; A> 0,5

 

Эксцесс

                                       (3.6)

Момент четвертого порядка

 

                               (11.7)

Пример решения типового задания

Распределение рабочих предприятия по уровню заработной платы в подразделении приведена в таблице 11.1. Определить показатели характера распределения единиц в совокупности: плотность распределения, асимметрию, эксцесс.

Таблица 11.2-Расчетная таблица

Количество поставок в год, ед.	Размер партии поставок материалов, т	Xj	Кумул.частота	Xjfj
10-12 12-14 14-16 16-18 18-20	0,17 0,20 0,27 0,23 0,13	11 13 15 17 19	0,17 0,37 0,64 0,87 1	11,87 2,60 4,05 3,91 2,47	-1,95 -0,95 0,05 1,05 2,05	0,6464 0,1805 0,0007 0,2536 0,5436	-1,2605 -1,1715 0,00 0,2662 1,1200	2,4580 0,1629 0,00 0,2796 2,2959
Итого	1,00			14,9		1,6275	-0,0458	5,1964

 

Рассчитаем среднее значение, среднее квадратическое отклонение, момент третьего и четвертого порядков, ассиметрию и эксцесс:

Ассимметрия:

 

Ассиметрия меньше 0, следовательно ассиметрия левосторонняя и незначительна. Эксцесс нормального распределения больше 3, значит распределение островершинное.

Модальное значение:

 

Медианное значение:

 

 

15,27>14,96>14,9(,) что свидетельствует о левосторонней ассиметрии.

Коэффициент ассиметрии

A <0,25; 0,25 <A <0,5; A> 0,5

 

В нашем случае А>0,25, что свидетельствует о сильном асимметричном распределении, плосковершинном с сильной правосторонней асимметрией. Ассиметрия меньше 0 и по модулю значение больше 0,5, следовательно ассиметрия левосторонняя и значительна.

 

Задача 12. Проверка гипотезы нормального распределения

 

Методические рекомендации к решению

 

Критерии согласия:

1) Пирсона (χ ²)

2) Колмогорова (λ)

3) Ястремского (L)

4) Романовского (R)

 

 

1) Критерий Пирсона

                                      (12.8)

                                (12.9)

 (табличные значения см. Приложение Г)

 

()                         (12.10)

Если , то распределение по х можно считать нормальным с вероятностью 0,99.

 

 

2) Критерий Колмогорова

                               (12.11)  

                          (12.12)

С вероятностью Р можно утверждать, что распределение х соответствует закону нормального распределения (приложение Д).

 

3) Критерии Романовского

                            (12.13)

В соответствии с критерием Романовского при R<3, распределение х соответствует закону нормального распределения, так как фактическое распределение приближается к теоретическому.

4) Критерий Ястремского

                                 (12.14)

 

при n<20 Q = 0,6       (12.15)

Если , то с вероятностью Р можно утверждать, что распределение соответствует нормальному распределению.

 

 

Пример решения типового задания

По данным таблицы 11.1 проверить гипотезу нормального распределения по критериям согласия: Пирсона, Колмагорова, Ястремского, Романовского. Сделать выводы о характере распределения единиц в изучаемой совокупности.

1) Критерий Пирсона

 

Таблица 12.1 -Расчетная таблица

Объем дневного потребления материалов, тыс. д.ед.	Количество заказов, шт. (f)	, тыс. д.ед.	Хf		Ф(t) ^*	f^/	(f-f^/)^2
40-42 42-44 44-46 46-48 48-50 50-52 52-54	4 7 28 35 16 6 4	41 43 45 47 49 51 53	164 301 1260 1645 784 306 212	2,22 1,44 0,67 0,11 0,88 1,66 2,43	0,0339 0,1415 0,3187 0,3965 0,2709 0,1006 0,0208	2 11 25 31 21 8 2	4 16 9 16 25 4 4	2,00 1,45 0,36 0,52 1,19 0,50 2,00
Итого	100	-	4672	-	-	-	-	8,02

^* значение Ф(t) определяется по таблице приложения Г

 

 тыс.д.ед.                     

                    

По данным таблицы в приложении Д

Т.к.  < , то распределение по объему дневного потребления материалов можно считать нормально распределенным с вероятностью 0,99.

Рис. Распределение количества заказов по объему потребления материалов

 

2) Критерий Колмогорова

 

Таблица 12.2 -Расчетная таблица

Номер группы	Кумулятивные частоты		Отклонения
	Фактические	Теоретические
1 2 3 4 5 6 7	4 11 39 74 90 96 100	2 13 38 69 90 98 100	2 2 1 5 0 2 0

→ Р(t)=0,9639 (приложение Е)

 

С вероятностью 0,9639 можно утверждать, что распределение объемов дневного потребления материалов соответствует закону нормального распределения.

 

3) Критерии Романовского

В соответствии с критерием Романовского распределение объемов дневного потребления материалов соответствует закону нормального распределения, так как фактическое распределение приближается к теоретическому.

 

4) Критерий Ястремского

 

При n<20 Q = 0,6

 

Поскольку , то с вероятностью 0,997 можно утверждать, что распределение соответствует нормальному распределению. Таким образом, все рассмотренные критерии свидетельствуют о практически полном соответствии распределения совокупности дневного потребления материалов закону нормального распределения.

 

 

Задание 13. Виды распределения в совокупности

1. Уравнение двухфакторной регрессии:

 

                 (13.1)

 

Таблица 13.1-Исходные данные

 

№ п/п	Показатель 1, (Х1)	Показатель 2, (Х2)	Показатель 3, (У)	УХ1	УХ2	Х1^2	Х2^2	У^2	Х1Х2
1
2
3
4
5
Итого