Теорема 1 (критерий подгруппы).

Непустое подмножество   группы  является подгруппой

 выполняется: . 

Доказательство.

1. Необходимость - очевидно, по определению, если  сама является группой, то , . 

2. Достаточность. Если , то . 

Тогда для всякого , обратный также принадлежит, ведь .                       □

Примечание. Этот критерий - фактически эквивалентное свойство, которое могло бы быть принято в качестве определения подгруппы.

Теорема 2. Если  - подгруппы группы , то их пересечение

 тоже подгруппа.

Доказательство.   Если , то  всем . 

Но каждая  подгруппа, так что  (всем), а значит, их пересечению. Кроме того,  для всех номеров , а значит, тоже . В итоге,   подгруппа.              □

 

Пример.  Подгруппы  и , а их пересечение  - все числа, кратные 6.

Пример. Группа подстановок  называется симметрической группой степени n. Число элементов  

1) Ассоциативность есть. 

, , .

 а затем   переходит в , в итоге .

С другой стороны,  а  в результате композиции 2-й и 3-й подстановок, в итоге опять . 

2) Нейтральный элемент .

3) Обратный элемент.

Если  то обратный , где в верхней строке все n разных чисел и их можно расставить по порядку. 

Пример. Подгруппа  - группа всех чётных подстановок. Кол-во элементов .

Пример. Подмножество всех нечётных подстановок - не образует подгруппу, потому что: произведение подстановки и обратной к ней (обе нечётные) это тождественная подстановка, а она содержит 0 инверсий, значит - чётная, но тогда она не принадлежит этому подмножеству.

 

Пример. Группы движений и симметрий правильных n-угольников.

Например, для треугольника. Каждый поворот или зеркальное отражение, при котором 3 вершины переходят в какие-то другие, соответствует подстановке.

  вращения

  зеркальные отражения

Но при этом можно заметить, что всякое отражение может быть получено как композиция какого-то одного базового отражения (например, где меняются вершины 1 и 2) и поворота.

 называется группой Диэдра. Для  (в случае треугольника) она совпадает с группой всех подстановок,

Для , уже . 

 

ЛЕКЦИЯ 2. 14.11.2020

Кольца

       Теперь рассмотрим множества не с одной, а с двумя различными операциями. Интуитивно вам уже известны такие примеры: сложение и умножение на множестве чисел, к тому же, для них известен закон дистирибутивности: , .

Определение. Пусть  - множество, на котором заданы две бинарные операции (как правило, сложение и умножение), удовлетворяющие условиям:

1)  абелева группа 

2)  полугруппа (т.е. только ассоциативность)

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности: , .

Тогда  называется кольцом.

Если существует нейтральный элемент по умножению, то кольцо называется кольцом с единицей. Если операция умножения коммутативна, то называется «коммутативное кольцо».

Примеры.

1)Числовые кольца. , ,   коммутативные кольца с единицей.

2) Кольцо функций. Функции, заданные на , можно поточечно складывать и умножать.

 , .

 по сложению - тождественно нулевая функция .  

По сложению есть противоположный элемент.

 по умножению - тождественная .

3) Множество векторов в 3-мерном пространстве относительно операции векторного умножения. Это пример некоммутативного кольца, и без единицы.

Лемма.

1. При умножении любого элемента на   по сложению получится . То есть, . 

2. Произведение 1-го элемента на противоположный ко 2-му это то же самое, что произведение противоположного 1-му на 2-й, и равно противоположному к их суммарному произведению, т.е. .

Доказательство.     

1.  = , вычтем  из обеих частей равенства, получим . 

2.  =  =

.

 

Определение. Непустое подмножество  называется подкольцом, если оно само образует кольцо относительно операций, заданных в кольце .

Примеры.  подкольцо в , , .

Все непрерывные на  функции - подкольцо в кольце всех (по поточечному умножению, см. пример был выше).

Теорема 1. (критерий подкольца).

Непустое множество  является подкольцом :

1)   2) . 

Доказательство.

Необходимость - очевидно. Если подкольцо, то произведение принадлежит, кроме того,  является подгруппой по сложению, тогда для любого элемент , а значит и .

Достаточность. Если  для любой пары элементов  то и для пары одинаковых , а тогда и , то есть для каждого элемента противоположный тоже , т.е.  подгруппа по сложению (логика док-ва как в док. критерия подгруппы, только там общий вид операции ).

Операция ассоциативна и на подмножестве, поэтому  полугруппа.

Дистрибутивность также сохраняется на подмножестве.

Вывод:  подкольцо.

 

Обратимые элементы.

Определение.  называется обратимым, если . 

Пример. В кольце  обратимые элементы только 1 и .

В кольцах  или  обратимые элементы все, кроме 0.

В кольце функций (с поточечным умножением) обратимые элементы это те функции, которые ни в одной точке не обращаются в 0.

 

Делители нуля

Определение. Если , , , но при этом , то  называются делителями нуля.

Пример в кольце функций.    только на  на . Тогда  на всей числовой оси.

В числовых множествах делителей нуля нет. В кольце матриц есть, например, .

 

Теорема 2. Обратимый элемент кольца не может являться делителем нуля.

Доказательство. Пусть  обратим, и пусть всё же он является делителем 0, тогда есть какой-то , что . Но тогда

,

но с другой стороны, , тогда .

Значит,  не делитель нуля.

 

Замечание. Обратное утверждение к теореме 2 неверно, т.е. из того, что он не делитель нуля, не следует, что обратимый. Пример: в кольце  все не делители нуля, но из этого не следует, что они обратимы, там обратимы только 1 и  (выше был пример).

 

Теорема 3. О мультипликативной группе кольца.

Все обратимые элементы кольца  с единицей образуют группу по умножению. (Обозначается ).  

Доказательство.

Докажем, что если  то тоже обратим, т.е. . Докажем, что обратный имеет такой вид: .

 =  =  =  = 1.

Кроме того, , ведь сам элемент 1 обратим, и обратный к нему тоже 1.

Обратный к любому элементу также , ведь если он обратный к какому-то, и равен  , то он автоматически обратим, обратный к нему это исходный .                                                         □

Идеал кольца.   

Определение. Подкольцо  называется идеалом, если . 

Пример во множестве функций. Все функции, обращающиеся в 0 в точке , образуют идеал. Если умножить произвольную функцию на такую, то произведение приобретает свойство .    

 

Кольца вычетов.

Определение. Два целых числа называются сравнимыми по модулю n, если при делении на n они дают одинаковые остатки, т.е. если их разность делится на n: . 

Обозначается . 

Например, числа 1, 4, 7, 10, 13,... дают при делении на 3 остаток 1. При этом разность любых из них делится на 3.

Таким образом, множество  распадается на n непересекающихся классов.  - класс вычетов по модулю n.   

 означает, что . 

Свойства сравнимости.

1. . Рефлексивность

2. .   Симметричность

3.  и .  Транзитивность

Из этих 3 свойств следует, что сравнимость является отношением эквивалентности в , и  распадается на непересекающиеся классы.

Свойство 4.  и

Докажем это свойство, оно не очевидно.

,    тогда   =

, то есть снова делится на n. 

Пример. 4 и 7 5 и 8 разность 3 тогда 9 и 15 разность кратна 3 тоже.

Свойство 5.  и

Докажем это свойство. 

,    тогда ,

 =

, это делится на n.

Пример. 4 и 7 5 и 8 разность 3 тогда 20 и 56 разность 36, кратна 3.

 

 называется представителем класса . 

Если  то .

Классы вычетов попарно не пересекаются:

Обозначим  - множество всех классов вычетов по модулю n. Введём на этом конечном множестве из n элементов операции сложения и умножения: , .

Это можно сделать, так как из свойств 4 и 5, ранее доказанных, следует, что произведение не зависит от выбора представителя класса.

Итак, на конечном множестве из n элементов заданы 2 операции, сложение и умножение. Множество классов вычетов тоже образует кольцо . Это коммутативное кольцо с единицей.

Другое обозначение класса вычетов: . 

Например,  = . 

 

- - - Перерыв - - -

Очевидно,  в , так как  само делится на  с остатком 0. 

Составим таблицы сложения. Первый пример - для

+

Обратите внимание, 3 простое число, и при умножении в каждой строке есть все классы. 

Составим таблицы сложения и умножения для кольца .

+

 

Так, к примеру, 2+3=5, но число 5 превосходит 4 на 1, то есть попадает в класс . 

, но 4 эквивалентно 0, поэтому . Как видим, в этой системе могут быть и делители нуля, а в строке, соответствующей , присутствуют не все классы вычетов.

 

Далее для доказательства свойств колец вычетов нам понадобятся некоторые факты из теории чисел (доказывали их на практике).

Лемма. Если  НОД чисел , то существуют такие , что .    

Следствие. Если  взаимно просты, то существуют такие , что .

Теорема 4. Пусть  - кольцо вычетов, . Эквивалентны следующие условия:

(1)  является обратимым элементом в .

(2) числа ,   взаимно просты. 

Доказательство.

(1)  (2). Пусть  является обратимым в , докажем, что ,   взаимно просты. Пусть НОД чисел ,  равен . Тогда  делится на , т.е. . Обратимость означает, что . То есть, остаток от деления  на  должен быть 1, то есть  имеет вид . Докажем, что это невозможно. Пусть , тогда . Левая часть равенства делится на , тогда и правая должна делиться на , но там только в первом слагаемом есть , делящееся на , а 1 не делится. Таким образом,  невозможно, и  не обратимый. Противоречие. Таким образом, ,  должны быть взаимно просты.

(2)  (1). Докажем, что если взаимно просты, то обратимый. Взаимно просты означает, что существуют , такие что . Тогда , но ведь , так что , так что  является обратимым элементом в .

 

Теорема 5. Пусть  - кольцо вычетов, .  

 не делитель нуля ,  взаимно просты.  

Доказательство.   

(1)  (2). Пусть НОД чисел ,  равен . Тогда , , очевидно . Рассмотрим  =  =  = . То есть,  делится на . А значит,  = , то есть  делитель нуля. Итак, если он не делитель нуля, то ,  взаимно просты.

(2)  (1). Если ,  взаимно просты, то по прошлой теореме 4,  является обратимым элементом в . По теореме 2, если какой-то элемент обратим, то он не может быть делителем нуля.

 

Следствие. Пусть  - кольцо вычетов, .  

Эквивалентны 3 факта:

1) ,  взаимно просты. 

2)  не делитель нуля

3)  является обратимым элементом в .

 

Следствие. Если n простое число, то подкольцами в  являются только { } и само  (нетривиальных подколец нет).

(Идея док-ва. Так как, если n простое число, то оно взаимно-просто относительно любого из чисел , и в каждой строке в таблице умножения - некая перестановка из всех элементов). 

В кольце  есть подкольцо, а именно, состоящие из  и , так как 4 не простое число. В таблице видно, что результаты сложения и умножения  и  принадлежат только этому же подмножеству:

ЛЕКЦИЯ 3. 16.11.2020

Поля

       Определение. Пусть  - коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим. В таком случае  называется полем.

Отличие от кольца:  - абелева группа, она называется мультипликативной группой поля.

Примеры.  

 не поле, так как почти все элементы не обратимы (кроме 1 и ).

 поле  n простое число. 

 поле рациональных чисел.

 поле действительных чисел.   

 = , где  расширение поля  иррациональным числом . Произведение пары таких чисел тоже имеет данный вид.

 = . 

Каждое такое число обратимо, и обратное имеет тот же вид.

 =   (домножили на «сопряжённое», чтобы использовать формулу разности квадратов). Далее,

 = . 

Аналогично существуют ,  и т.д. Но все эти расширения поля  - лишь часть поля . 

Кольцо классов вычетов  является полем  простое число (тогда нет делителей нуля, каждый элемент обратим).

 

Определение. Подмножество  называется подполем, если оно само является полем относительно введённых в  операций.

Примеры. , , но при этом сами  не являются одно подполем другого.

Теорема 1. (Критерий подполя).

Пусть  поле, .  является подполем  выполнены условия:

1) : ,

2) :

Доказательство.     Если  подполе, значит оно само есть поле, тогда это абелева группа по сложению, а значит , и тогда . А также это группа по умножению, т.е.  обратим, тогда

, а тогда .

 и  то  группа по сложению, а  группа по умножению. Тогда , а значит . 

 

Определение. Поле  называется простым, если оно не содержит подполей, кроме самого .

Теорема 2.  и  являются простыми полями.

1) Пусть . Тогда . , ,... .

 и для всякого  противоположное .

Кроме того, любой элемент обратим, т.е.  : .

Теперь, для любого ,  целые, тогда  по критерию подполя , то есть .  Итак, .

2) Если .