Умножение квадратных матриц.

В этом случае размеры всегда согласованы, и произведение - это тоже матрица .

 

1) Не выполняется закон коммутативности .

2) Ассоциативность выполняется .

(рассматривали на практике).

 

       Существует такая матрица, которая во множестве матриц обладает свойством, аналогичным 1 во множестве чисел, то есть .  Но, как мы видели, матрица из всех единиц этим свойством не обладает, а если единицы только по главной диагонали, а вокруг - нули, то такое свойство выполняется.

Единичная матрица Е. Строение:  ,  при .

2-го порядка: , 3 порядка:

= и = .

(Аналог среди матриц первого порядка: число 1). Итак, .

       Здесь может возникать естественный вопрос, зачем умножение ввели именно таким непростым образом, и почему нельзя было определить его тоже покомпонентно для пары матриц размера , как и для сложения. Это мы тоже сейчас обоснуем подробнее.

При таком способе умножения матриц, как мы ввели выше, выполняется важное свойство: , то есть определитель произведения матриц равен произведению определителей. А это связано с важными геометрическими свойствами в дальнейшем. Если же умножение ввести покомпонентно, это свойство не выполняется.

 

Свойства действий над матрицами:

Коммутативность:  (по сложению).

Коммутативность по умножению не выполняется (говорили ранее).

Свойства, связанные с ассоциативностью:

1.  

2.   

3.  

Свойства, связанные с дистрибутивностью:

1.     2.    

3.   4.   

Множество прямоугольных матриц образует линейное пространство над полем R.

Множество квадратных матриц порядка n можно умножать друг на друга, это множество образует кольцо. Таким образом, для квадратных матриц порядка n заданы 3 операции - сложение, умножение на константу, и умножение матриц. Такое множество с 3 операциями называют алгеброй матриц.

 

Определители.

Понятие определителя 2-го порядка. Если дана матрица , то число  называется определителем этой матрицы.

Обозначается: .

(произведение элементов главной диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали).

 

Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы.

 

Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2,1) и (1,2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче.

Пример. .   

 

Оказывается, что модуль этой величины соответствует площади параллелограмма, построенного на основе двух векторов , .

Докажем этот факт. Доказательство.

Построим чертёж.

Перенесём закрашенную зелёным часть вниз, теперь мы уже получили такой прямоугольник, у которого одна сторона лежит на оси. Его высота . Длина основания это разность , где абсциссу  можно найти, вычислив с помощью пропорции, ведь вектор  пропорционален вектору . . Тогда произведение основания на высоты равно  = .

Если векторы поменять местами, то определитель сменит знак,

, тогда не сама величина, а её модуль равен площади параллелограмма.

 

 

Заметим, что при введении определителя, умножаемые элементы всегда расположены так, что 2 из них не находятся в одной строке или в одном столбце. Кстати, кроме главной и побочной диагонали, в матрице порядка 2 таких наборов элементов больше нет.

           

       Если расположить первые n натуральных чисел 1,2,3,..., n в некотором порядке, возможно, не по возрастанию, а перепутать каким-то образом, то они образуют так называемую перестановку из n чисел. Каждый набор элементов, которые мы перемножаем в определителе 2 порядка, можно задать с помощью перестановки: главная диагональ (12) побочная диагональ (21). Большой прямоугольник в 1 строке, выбираем из 1 столбца, а когда он спустился во 2 строку, там из 2 столбца. Как на схеме:

 таким путём мы как раз и получаем главную диагональ с помощью перестановки (12).

Вспомним, что если большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее, то они образуют инверсию. В перестановке (12) инверсий нет, количество инверсий 0, то есть чётно. В перестановке (21) одна инверсия (то есть, их количество нечётно). Число , где k - число инверсий, определяет знак соответствующего произведения, участвующего в построении определителя.

 

Определитель 3 порядка. Примеры, методы вычисления.

 = .

В записи определителя 3 порядка  =  

каждому элементу соответствует перестановка из 3 чисел.

Представьте себе прямоугольник, который сначала в 1-й строке, а затем спускается ко 2-й и 3-й, внутри него вправо и влево может двигаться квадрат, указывающий на какой-то из элементов. Запишем, в каком № столбца взяли элемент, когда находились в 1-й строке, затем так же во 2-й и 3-й. Например, для  получится (231):

для  соответствует (123) и т.д. напишем под каждым элементом свою перестановку:

(123) (231) (312) (321) (132) (213)

Видим, что при этом учтены все возможные перестановки, количество которых 3! = 6. Рассмотрим подробнее, как знак определяется по перестановкам. Обозначим дугой каждую инверсию:

Если инверсий нечётное количество (1 или 3), то знак «-», если чётное (0 или 2) то «+». То есть, умножаем на , где k - число инверсий. Знак каждого произведения зависит от чётности или нечётности перестановки.

Если изначально записать элементы матрицы с помощью индексов, то определитель имеет вид:

Индексы на вторых местах образуют такие перестановки: 

       Все рассмотренные наборы элементов, которые перемножаются между собой, обладают тем свойством, что никакие 2 из них не находятся в одной и той же строке либо одном и том же столбце. Таких наборов всего 6, и они все учтены. А для матрицы порядка 2 таких наборов всего 2, поэтому там определитель состоит всего из 2 слагаемых. Они не могут быть в одной строке или одном столбце, ведь перестановка состоит из разных чисел, то есть там нет одинаковых на двух местах, поэтому из одного и того же столбца 2 раза мы не выберем. Из одной строки тем более: находясь в некоторой строке, мы выбираем элемент только 1 раз. 

 

       Для матрицы 4 порядка потребуется найти все четвёрки элементов, так чтобы никакие два не оказывались в одной строке или одном столбце. Их будет 24 = 4! 

 

Определители порядка n.

Рассмотрим определение из математической энциклопедии:

 

Существует метод вычисления определителей с помощью треугольников, например, элемент соответствует  треугольнику:

Обратите внимание, что главная диагональ  здесь - это средняя линия данного треугольника. Два треугольника, соответствующие произведениям со знаком плюс, это те, для которых главная диагональ является средней линией, а мо знаком минус - если побочная диагональ является средней линией.

 

       Запомнить метод вычисления определителей 3 порядка легче всего с помощью произведений по 3 параллельным линиям.

Надо дописать копии 1 и 2 столбца справа, и соединить по 3 параллельных линии: главная диагональ и параллельные ей (показаны зелёным цветом), затем побочная диагональ и параллельные ей (показаны красным). Умножить тройки чисел по 3 зелёным линиям, и взять их со знаком «+» а по красным прибавить со знаком «—». (Кстати, вместо столбцов справа можно дописать две строки снизу, и получится то же самое).

Пример.  .

Построим указанную схему (с помощью параллельных линий):

 + +  =  = 5.

Ответ. 5.