Расчет плиты по предельным состояниям первой группы

РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ МНОГОПУСТОТНОЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ПЛИТЫ ПЕРЕКРЫТИЯПРИ ВРЕМЕННОЙ ПОЛЕЗНОЙ

НАГРУЗКЕ V =1,5 кН/м ²

Исходные данные

Нагрузки на 1 м² перекрытия

 

                                                                                               Таблица 1

 

Вид нагрузки	Нормативная нагрузка, кН/м^2	Коэффициент надежности по нагрузке γf	Расчетная нагрузка, кН/м^2
1	2	3	4
Постоянная:	0,20   0,54     3,4	1,3   1,3     1,1	0,26   0,70     3,74
Полы – паркет на мастике, δ = 20 мм Цементно-песчаная стяжка, δ = 30 мм (g   = 18 кН / м 3) Многопустотная сборная плита перекрытия с омоноличиванием швов, δ = 220 мм
Итого постоянная нагрузка g	4,14		4,7
Временная:
Перегородки, δ = 120 мм (приве- денная нагрузка, длительная) V р	0,5	1,2	0,6
Полезная (из задания)	1,5	1,3	1,95
в том числе кратковременная Vsh	1,2	1,3	1,56
длительная Vlon	0,3	1,3	0,39
Итого временная нагрузка V	2,0		2,55
Временная нагрузка без учета перегородок V 0	1,5		1,95
Полная нагрузка g + V	6,14		7,25

Примечание: коэффициент надежности по нагрузке γ_f для временной (полезной) нагрузке принимается:

1,3 – при полном нормативном значении нагрузки менее 2 кПа (кН/м²);

1,2 – при полном нормативном значении нагрузки 2 кПа (кН/м²) и более [1]. Нагрузка на 1 погонный метр длины плиты при номинальной её ширине 1,5 м

с учетом коэффициента надежности по ответственности здания γ_п = 1,0: −расчетная постоянная g = 4,7·1,5·1,0 = 7,05 кН/м;

−расчетная полная (g + V) = 7,25·1,5·1,0 = 10,88 кН/м;

− нормативная постоянная g_п = 4,14·1,5·1,0 = 6,21 кН/м;

−нормативная полная (g_п + V _п) = 6,14·1,5·1,0 = 9,21 кН/м;

− нормативная постоянная и длительная (g_п + V _lon,п) = (4,14 + 0,8) ·1,5·1,0 = 7,41 кН/м.

Конструктивный размер плиты: l=6-0,1-0,1-0,01-0,01=5,78м;

Материалы для плиты

Бетон тяжелый класса по прочности на сжатие В20:

R_b,n = R_b,ser = 15,0 МПа; R_bt,n = R_bt,ser = 1,35 МПа (табл. 6.7[2], Приложение 3), R_b = 11,5 МПа; R_bt = 0,9 МПа (табл.6.8 [2], Приложение 4),

γ _{b 1} = 0,9 (п. 6.1.12[2]).

Начальный модуль упругости бетона Еb = 27,5·10³ МПа (табл. 6.11 [2], При-ложение 5).

Технология изготовления плиты-агрегатно-поточная. Плита подвергается тепловой обработке при атмосферном давлении. Натяжение напрягаемой арматуры осуществляется электротермическим способом.

Арматура:

−продольная напрягаемая класса А600:

R_s,n = R_s,ser = 600 МПа (табл. 6.13 [2], Приложение 6); R_s = 520 МПа (табл.6.14 [2], Приложение 7);

Е_s = 2,0 ·10⁵ МПа (пункт6.2.12 [2]).

− ненапрягаемая класса В500:

Rs = 435 МПа (табл.6.19 [2], Приложение 7);

R_sw = 300 МПа. (табл.6.15 [2], Приложение 8)

 

Расчет плиты по предельным состояниям первой группы

Определение внутренних усилий

 

Расчетный пролет плиты в соответствии с рис.2.

 

                     l₀=6,0-0,1-0,1-0,01-0,01-  -  =(l-0,31)м=5,69 м.

Поперечное конструктивное сечение плиты заменяется эквивалентным двутавро-вым сечением (рис.3). Размеры сечения плиты h = 22 см;

 

h ₀= h – a = 22 – 3 = 19 см; h ′ _f = h_f = (22 – 15,9) ·0,5 = 3,05 см; b_f = 149 см; b ′ _f = 149 – 3 = 146 см; b = 149 – 15,9·7 = 37,7 см.

Плита рассчитывается как однопролетная шарнирно-опертая балка, загру-женная равномерно-распределенной нагрузкой (рис.4).

 

Усилия от расчетной полной нагрузки:

− изгибающий момент в середине пролета:

 

М=  =  = 44,03 кН·м

− поперечная сила на опорах:

 

Q= = =30,95Н·м;

Усилия от нормативной нагрузки (изгибающие моменты)

− полной:

М_n=  =  = 37,27 кН·м;

 

− постоянной и длительной:

        М_nl=  =  = 29,99 кН·м

Момента

При расчете по прочности расчетное поперечное сечение плиты принимается тавровым с полкой в сжатой зоне (свесы полок в растянутой зоне не учитывают-ся).

 

При расчете принимается вся ширина верхней полки b ′ _f = 146 см, так как

 =  = 54,15< =

 

где l – конструктивный размер плиты.

 

Положение границы сжатой зоны определяется из условия:

 

M ≤ M _{x = h ′ f} = γ _{b 1} R_b ⋅ b ′ _f ⋅ h ′ _f (h ₀−0,5 h ′ _f),

где М – изгибающий момент в середине пролета от полной нагрузки

(g + V); M _{x = h ′ f} − момент внутренних сил в нормальном сечении плиты, при

 

котором нейтральная ось проходит по нижней грани сжатой полки; R_b – расчетное сопротивление бетона сжатию; остальные обозначения приняты в соответствии с рис.3.

 

Если это условие выполняется, граница сжатой зоны проходит в полке, и площадь растянутой арматуры определяется как для прямоугольного сечения ши-риной, равной b ′ _f.

4403 кН·см ≤ 0,9·1,15·146·3,05(19 – 0,5·3,05) = 8054 кН·см; R_b = 11,5 МПа = 1,15 кН/см².

44,03 кН·м < 80,54 кН·м – условие выполняется, т.е. расчет ведем как для пря-моугольного сечения. Далее определяем:

α_m =

α_m ); ξ=1-  = 0,0843

  ξ =  – относительная высота сжатой зоны бетона; должно выполняться условие ξ ≤ ξ_R, где ξ_R – граничная относительная высота сжатой зоны.

Значение ξ_R определяется по формуле:

ξ _{R= =} (32[4])

 

 

где ε_s,el – относительная деформация арматуры растянутой зоны, вызванная внеш-ней нагрузкой при достижении в этой арматуре напряжения, равного R_s;

 

ε_b2 –относительная деформация сжатого бетона при напряжениях,равных R_b,принимаемая равной 0,0035. (п. 6.1.20[2]).

Для арматуры с условным пределом текучести значение ε_s,el определяется по формуле:

ε _s,el=

(арматура А600 имеет условный предел текучести) (п. 9.16[2])

где σ*_sp – предварительное напряжение в арматуре с учетом всех потерь и ко-эффициентом γ_sp = 0,9.

Предварительное напряжение арматуры σ_sp принимают не более 0,9 R_sn для горячекатаной и термомеханически упрочненной арматуры (А600) и не более 0,8Rsn для холоднодеформированной арматуры и арматурных канатов (9.1.1[2]).

Принимаем σ*_sp = 0,8R_sn = 0,8·600 = 480 МПа.

При проектировании конструкций полные суммарные потери следует прини-

мать не менее 100 МПа (п. 2.2.3.9 [4]),

При определении ε_s,el :

σ_sp=0,9∙480-100=332 МПа;

ε_s,el=  = 0,00294;

ξ_R = 0,435; ξ ≤ ξ_R

Площадь сечения арматуры определяем по формуле:

А_sp,ef = ;

Если соблюдается условие ξ ≤ ξ_R, расчетное сопротивление напрягаемой ар-матуры R_s допускается умножать на коэффициент условий работы γ_{s 3}, учитываю-щий возможность деформирования высокопрочных арматурных сталей при напряжениях выше условного предела текучести и определяемый по формуле:

γ_s3=1,25-0,25   ≤1,1 (3.2 [5]),

Если <0,6, что для плит практически всегда соблюдается, можно принимать максимальное значение этого коэффициента, т.е. γ_s3 = 1,1.

         А_sp,ef = =4,23см²;

R_s =520 МПа =52 кН / см ².

Принимаем 6Ø10 А600; А_sp,ef = 4,71 см².

         Напрягаемые стержни должны располагаться симметрично и расстояние между ними должно быть не более 400 мм и не более 1,5h, при h > 150 мм              (п. 10.3.8[2]).

       Расчет по прочности при действии поперечной силы

Поперечная сила от полной нагрузки Q = 30,95 кН.

Расчет предварительно напряженных элементов по сжатой бетонной полосе между наклонными сечениями производят из условия:

Q ≤ φ_{b 1}· γ _{b 1}· R_b · b · h ₀ (8.55 [2])

φ_b1 - коэффициент, принимаемый равным 0,3 (п. 8.1.32 [2]);

b - ширина ребра, b = 37,7 см;

Q ≤ 0,3 ·0,9·1,15·37,7·19 = 222,4;

30,95 кН < 222,4 кН;

Расчет предварительно напряженных изгибаемых лементов по наклонному сечению производят из условия:

Q ≤ Q_b + Q_sw (8.56[2]);

Q - поперченная сила в наклонном сечении;

Q_b - поперечная сила,воспринимаемая бетоном в наклонном сечении;

 

Q_sw - поперечная сила,воспринимаемая поперечной арматурой в наклонномсечении;

 

                  Q_b = , принимаем не более 0,25   и не менее 0,5

φ_b2 - коэффициент, принимаемый равным 0,3 (п. 8.1.33 [2]);

R_bt = 0,9 МПа = 0,09 кН/см²;

Q_b = 0,5 γ _{b 1}· R_bt · b · h ₀= 0,5·0,9·0,09·37,7·19 = 29,01 кН.

Действующая в сечении поперченная сила Q = 30,95 кН > 29,01 кН, следова-тельно необходимо установка поперечной арматуры по расчету. (Если поперечная сила, действующая в сечение меньше чем Q _b,min, то поперечную арматуру можно не устанавливать.

Допускается производить расчет прочности наклонного сечения из условия:

Q₁≥Q_b1+Q_sw1 (8.60[2]);

Q_b1=0,5 · γ_b1 · R_b · b · h₀ (8.61[2]);

Q_sw1=q_sw · h₀ (8.62[2]);

Q_b1=Q_b,min=29,01 кН;

Q_sw1=Q₁-Q_b1=30,95 - 29,01=1,94 кН;

q_sw=Q_sw1/h₀=1,94/19=0,102 кН / см, поперченая арматура учиты-

вается в расчете, если q_sw ≥ q_sw,min.

q_sw,min=0,25 · γ_b1 · R_bt · b=0,25 ·0,9·0,09·37,7=0,763кН/см;

Принимаем q_sw = q_sw,min=0,763 кН/см.

q_sw=  (8.59 [2]);

Назначаем шаг хомутов =10 см ≤ 0,5h₀ (п. 10.3.13[2]), получаем

=  =  = 0,254 см², ²;

Принимаем на приопорных участках плиты по четыре каркаса длинной рав-ной 1/4 продольного размера плиты с поперечной рабочей арматурой, располо-женной с шагом S_w = 10 см. Для 4Ø4B500C в одном сечение имеем

 

А_sw,ef = 0,5 см² > А_sw, проверяем прочность сечения  = 1,5 см² ,

Q_sw1=1,5 ·19 = 28,5;

Q₁ < Q_b1 + Q_sw1, 30,95кН < 29,01кН+28,5кН;

 

30,95кН < 57,51кН так как условие выполняется,то прочность по наклонному сечению обеспечена.

Расчет прогиба плиты

Расчет изгибаемых элементов по прогибам производят из условия:

f ≤ f _ult (8.139 [2]);

 

где f – прогиб элемента от действия внешней нагрузки;

f _ult –значение предельно допустимого прогиба.

При действии постоянных, длительный и кратковременных нагрузок прогиб балок или плит во всех случаях не должен превышать 1/200 пролета.

Для свободно опертой балки максимальный прогиб определяют по формуле:

 

       f=Sl²(  )_max

где S – коэффициент, зависящий от расчетной схемы и вида нагрузки; при действии равномерно распределенной нагрузки S = 5/48; при двух равных момен-тах по концам балки от силы обжатия – S = 1/8.
()_max- полная кривизна в сечении с наибольшим изгибающим моментом от нагрузки, при которой определяется прогиб.

Полную кривизну изгибаемых элементов определяют для участков без тре-щин в растянутой зоне по формуле:

 = )₁ - )₂+()_3,

где )₁-кривизна от непродолжительного действия кратковременных нагрузок

)₂ - кривизна от продолжительного действия постоянных и длительных нагрузок

 

 

)₃-кривизна от непродолжительного действия усилия предварительного  обжатия Р ₍₁₎,вычисленного с учётом только первых потерь, т.е. при действии момента M = P ₍₁₎ ⋅ e _{0 p}.

Кривизну элемента на участке без трещин определяют по формуле:

 =  ,

 

где М – изгибающий момент от внешней нагрузки или момент усилия пред-варительного обжатия относительно оси, проходящей через центр тяжести приве-денного сечения;

I_red –момент инерции приведенного сечения;

E_{b 1}–модуль деформации сжатого бетона,определяемый по формуле:

E_{b 1}=  ,

где φ_b,cr – коэффициент ползучести бетона, принимаемый:

− φ _{b , cr} = 0,18 − при непродолжительном действии нагрузки;

− по табл.6.12[2] или по Приложению15 в зависимости от класса бетона на сжатие и относительной влажности воздуха окружающей среды − при продолжительном действии нагрузки;

− при непродолжительном действии нагрузки, E_b1=0,85E_b, (8.146[2]).

 Прогиб определяется с учетом эстетико-психологических требований, т.е. от действия только постоянных и временных длительных нагрузок [1]:

)₂=  ,

M _n1 –изгибающий момент от продолжительного действия постоянных и дли-тельных нагрузок, равный М_n1 = 29,9 кН·м (см. п.2.2)

E_{b 1}=  =  = 7,24 ³ МПа=7,24 ² кН/см²;

)₂=  = 3,827 ^-5 .

В запас жёсткости плиты оценим её прогиб только от постоянной и длитель-ной нагрузок (без учёта выгиба от усилия предварительного обжатия):

f=( 10^-5) ²=1,29см<2,845 см;

Допустимый прогиб f = (1/200) l = 569/200 = 2,845 см. Так как f < f _ult можно выгиб в стадии изготовления не учитывать.

ВАРИАНТ РАСЧЕТА МНОГОПУСТОТНОЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ПЛИТЫ ПЕРЕКРЫТИЯПРИ ДЕЙСТВИИ ВРЕМЕННОЙ

 

НАГРУЗКИ, РАВНОЙ 4,5кН/м ²

Исходные данные

Постоянная нагрузка та же, что при расчете плиты перекрытия на действие нагрузки V =1,5 кН/м ² (см. п. 2.1).

Нагрузки на 1м ² перекрытия

 

			Таблица 2
Вид нагрузки	Нормативная	Коэф-т	Расчетная
	нагрузка, кН/м ^2	надежности	нагрузка,
		по нагрузке	кН/м ^2
		γ f
1	2	3	4
Постоянная нагрузка g	4,14		4,7
Временная:
Перегородки, δ = 120 мм (при-	0,5	1,2	0,6
веденная нагрузка, длитель-
ная) V p	4,5	1,2	5,4
Полезная (из задания)
в том числе:
кратковременная V sh	2,9	1,2	3,48
длительная V lon	1,6	1,2	1,92
Итого временная нагрузка V	5,0		6,0
Временная нагрузка без учета	4,5		5,4
перегородок V 0
Полная нагрузка g + V	9,14		10,7

 

Нагрузка на 1 погонный метр длины плиты при номинальной ее ширине 1,5 м:

- расчетная постоянная g = 4,7·1,5·1,0 = 7,05 кН/м;

- расчетная полная (g + V) = 10,7·1,5·1,0 = 16,05 кН/м;

- нормативная постоянная g _п = 4,14·1,5·1,0 = 6,21 кН/м;

- нормативная полная (g _п + V _п) = 9,14·1,5·1,0 = 13,71 кН/м;

- нормативная постоянная и длительная (g _п + V _lon,п) = (4,14 + 2,1)·1,5·1,0 = 9,36 кН/м.

 

Расчет прогиба плиты.

 

Расчет изгибаемых элементов по прогибам производят из условия

f ≤ f_ult (8.139[2]);

где f – прогиб элемента от действия внешней нагрузки;

f_ult –значение предельно допустимого прогиба(см.п.2.3).

Полная кривизна для участков с трещинами определяется по формуле (102)[4] без учета кривизны от непродолжительного действия усилия обжатия и кривизны вследствие усадки и ползучести бетона.

 = )₁ - )₂+()_3;

где )₁-кривизна от непродолжительного действия всей нагрузки;

  )₂ - кривизна от непродолжительного действия постоянных и временных длительных нагрузок;

)₃-кривизна от продолжительного действия постоянных и временных длительных нагрузок.

Так как прогиб плиты ограничивается эстетико-психологическими требованиями,

)₁ - )₂ – кривизна, вызванная непродолжительным действием кратковременной нагрузки, не учитывается.

Таким образом, кривизна в середине пролета определяется только от про-

должительного действия постоянных и длительных нагрузок, т.е. при действии изгибающего момента М_nl = 37,88 кН·м.

Для элементов прямоугольного и таврового сечений при h_f ^' ≤ 0,3 h ₀ кривизну допускается определять по формуле (4.40 [5])

=  ,

где  – коэффициент, определяемый по табл. 4.5[5] или по Приложению 15 в зависимости от параметров:

                    ϕ_f = , μ _s2 и е_s/h₀, μ =  ,  α_s2 = , 

При определении α _{s 2}допускается принимать ψ _s  1. Если при этом условие

f ≤ f_ult не удовлетворяется,то расчет производят с учетом коэффициента ψ_s, опреде-ляемого по формуле:

 

Ψ_s=1-0,8 (8.138[2]);

где σ_s,crc – приращение напряжений в растянутой арматуре в сечении с трещиной сразу после образования нормальных трещин при М = М_crc.

σ_s –то же,при действии рассматриваемой нагрузки:

σ_s= (4.12 [5]),        σ_s,crc=  ,

 

z –расстояние от центра тяжести арматуры,расположенной в растянутой зонесечения до точки приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне эле-мента.

E_b,red –приведенный модуль деформации сжатого бетона, принимаемый равным

             Е _b,red =  ,

где ε_{b 1 ,red} =28⋅10^-4 при продолжительном действии нагрузки при относительной влажности воздуха окружающей среды 75 % ≥ W ≥ 40%(табл.6.10[2])

                   e_s=  , M_S=M_nl=37,88 кН ∙ м

Р₍₂₎ –усилие предварительного обжатия с учетом всех потерь, Р₍₂₎ = 249,87 кН.

Определяем величины, необходимые для нахождения φ _с:

ϕ_f =  = 0,442, μ =  =  = 0,00779.

Коэффициент приведения арматуры к бетону

α_s2 = (117[4]),   E_s,red =  (118 [4]), α_s2 = , принимаем ;

Приведенный модуль деформаций сжатого бетона

             Е _{b , red} = =  = 5357 МПа=535,7 кН/см²;

             α_s2 =  = 37,33; μ _s2= 0,00779  37,33=0,291; e_s=

                e_s = =15,16 см;

                    = =0,798;

Теперь по табл. 4.5[5] или по таблице Приложения 15 путем интерполяции находим φ_с=0,603.

Определяем кривизну, имея все данные:

=  = 3,72 ^-5  ;

f= l₀²;

f= 10^-5 569²=1,26 см < f_ult=2,845 см.

Условие 8.139[2] удовлетворяется, т.е. жесткость плиты достаточна

РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ МНОГОПУСТОТНОЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ПЛИТЫ ПЕРЕКРЫТИЯПРИ ВРЕМЕННОЙ ПОЛЕЗНОЙ

НАГРУЗКЕ V =1,5 кН/м ²

Исходные данные

Нагрузки на 1 м² перекрытия

 

                                                                                               Таблица 1

 

Вид нагрузки	Нормативная нагрузка, кН/м^2	Коэффициент надежности по нагрузке γf	Расчетная нагрузка, кН/м^2
1	2	3	4
Постоянная:	0,20   0,54     3,4	1,3   1,3     1,1	0,26   0,70     3,74
Полы – паркет на мастике, δ = 20 мм Цементно-песчаная стяжка, δ = 30 мм (g   = 18 кН / м 3) Многопустотная сборная плита перекрытия с омоноличиванием швов, δ = 220 мм
Итого постоянная нагрузка g	4,14		4,7
Временная:
Перегородки, δ = 120 мм (приве- денная нагрузка, длительная) V р	0,5	1,2	0,6
Полезная (из задания)	1,5	1,3	1,95
в том числе кратковременная Vsh	1,2	1,3	1,56
длительная Vlon	0,3	1,3	0,39
Итого временная нагрузка V	2,0		2,55
Временная нагрузка без учета перегородок V 0	1,5		1,95
Полная нагрузка g + V	6,14		7,25

Примечание: коэффициент надежности по нагрузке γ_f для временной (полезной) нагрузке принимается:

1,3 – при полном нормативном значении нагрузки менее 2 кПа (кН/м²);

1,2 – при полном нормативном значении нагрузки 2 кПа (кН/м²) и более [1]. Нагрузка на 1 погонный метр длины плиты при номинальной её ширине 1,5 м

с учетом коэффициента надежности по ответственности здания γ_п = 1,0: −расчетная постоянная g = 4,7·1,5·1,0 = 7,05 кН/м;

−расчетная полная (g + V) = 7,25·1,5·1,0 = 10,88 кН/м;

− нормативная постоянная g_п = 4,14·1,5·1,0 = 6,21 кН/м;

−нормативная полная (g_п + V _п) = 6,14·1,5·1,0 = 9,21 кН/м;

− нормативная постоянная и длительная (g_п + V _lon,п) = (4,14 + 0,8) ·1,5·1,0 = 7,41 кН/м.

Конструктивный размер плиты: l=6-0,1-0,1-0,01-0,01=5,78м;

Материалы для плиты

Бетон тяжелый класса по прочности на сжатие В20:

R_b,n = R_b,ser = 15,0 МПа; R_bt,n = R_bt,ser = 1,35 МПа (табл. 6.7[2], Приложение 3), R_b = 11,5 МПа; R_bt = 0,9 МПа (табл.6.8 [2], Приложение 4),

γ _{b 1} = 0,9 (п. 6.1.12[2]).

Начальный модуль упругости бетона Еb = 27,5·10³ МПа (табл. 6.11 [2], При-ложение 5).

Технология изготовления плиты-агрегатно-поточная. Плита подвергается тепловой обработке при атмосферном давлении. Натяжение напрягаемой арматуры осуществляется электротермическим способом.

Арматура:

−продольная напрягаемая класса А600:

R_s,n = R_s,ser = 600 МПа (табл. 6.13 [2], Приложение 6); R_s = 520 МПа (табл.6.14 [2], Приложение 7);

Е_s = 2,0 ·10⁵ МПа (пункт6.2.12 [2]).

− ненапрягаемая класса В500:

Rs = 435 МПа (табл.6.19 [2], Приложение 7);

R_sw = 300 МПа. (табл.6.15 [2], Приложение 8)

 

Расчет плиты по предельным состояниям первой группы