Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интегрирование комплексных функций
Возможны разные подходы к определению понятия интеграла от комплексной функции. Так, например, - функции двух переменных, тогда можно вычислять двойные интегралы от них по некоторой плоской области, и объединять результаты в комплексное число вида . Однако в качестве основного всё же исторически был принят метод интегрирования по кривой, именно при таком подходе возможно введение понятия первообразной , а также получают применение многие факты из теории векторного поля. Итак, определение интеграла и метод его вычисления:
Определение. Пусть в области задана некоторая функция (не обязательно аналитическая), и в области расположена кусочно-гладкая кривая (не обязательно замкнутая). Введём разбиение кривой на n частей с помощью (n-1) внутренних точек. Таким образом, получилась последовательность точек , расположенных по порядку на кривой, где - начальная и конечная точки. Обозначим . Выберем на каждом участке дуги какую-то точку и составим интегральную сумму: . Предел интегральных сумм при измельчении разбиения, т.е. при , называется интегралом от функции по кривой и обозначается .
Метод вычисления. При вычислении необходимо разбить на действительную и мнимую части как функцию, так и дифференциал, затем раскрыть скобки и получить 4 слагаемых. Но их можно объединить по два, в двух из них нет мнимой единицы, а в двух она есть: = . Таким образом, при вычислении всё сводится к двум криволинейным интегралам 2-го рода от векторных полей и , а мнимая единица умножается на второй из них, при этом в самих вычислениях она фактически не участвует.
Некоторые свойства. 1. Линейность = . 2. Если кривая АС разбита на две части некоторой точкой В, то: 3. . 4. Если то , где - длина кривой АВ. Пример. Вычислить интеграл : А) по прямолинейному отрезку от 0 до . Б) по параболе от 0 до . Решение. А) = = , далее вычисляем 2 криволинейных интеграла по отрезку, на котором , заменяем , . При этом . = = . Б) Исходное раскрытие скобок происходит так же, как и в прошлом случае: но теперь линия это не отрезок, заданный явным уравнением , а парабола, заданная явным уравнением . Поэтому заменяем , . = = = . Ответ. по отрезку: 1, по параболе: .
Как видим, в зависимости от формы кривой могут получиться разные ответы, это потому, что функция не аналитическая, она содержит .
Вычислим интеграл от комплексной функции по замкнутому контуру. Пример. Вычислить , где - окружность радиуса вокруг точки .
Решение. Представим функцию в виде . Движение по такой окружности можно задать формулами: В этом случае . Тогда = = = домножим на сопряжённое, = , можно сократить , а также вместо суммы квадратов sin и cos будет 1. = = = = . Результат получился не зависящим от . Теорема 1. Если замкнутый контур, внутри которого во всех точках является аналитической, то 1) . 2) не зависит от пути, а только от точек А,В.
Доказательство. 1) = = в двух этих интегралах - циркуляция двух векторных полей и , они потенциальны по теореме 2 прошлого §, а тогда циркуляция равна 0, то есть получаем . 2) Криволинейные интегралы 2 рода от векторных полей и не зависят от пути.
Итак, для аналитической функции интеграл не зависит от пути, то для неё оказывается возможным ввести понятие первообразной. Введём в рассмотрение такую функцию: которая каждой точке ставит в соответствие интеграл до неё от некоторой фиксированной точки . Вводится по аналогии с вычислением потенциала поля, только в данном случае, вычисляются потенциалы двух полей и . Теорема 2. Функция является первообразной от функции . Теорема 3. Для функции, аналитической на кривой , верна формула Ньютона-Лейбница: . Доказательство. По построению первообразной, и . Но тогда = а тогда по 3-му свойству это , что равно интегралу по кривой, проходящей от до (через точку ). Тогда = = т.к. по свойству 2, их можно объединить. Итак, = . Замечание. Факт 1 из теоремы 1 о том, что интеграл по замкнутому контуру равен 0 (если внутри него функция аналитическая), также следует из формулы Ньютона-Лейбница, ведь на замкнутом контуре начальная и конечная точки - это одно и то же, и получится . Пример. Вычислить от 0 до двумя способами: А) без формулы Б) по формуле Ньютона-Лейбница. Решение. А) = = Пусть точки 0 и соединены по прямой (вспомним, что интеграл не зависит от пути, поэтому можем соединить их как удобнее для вычислений). Тогда , , и
= = = . Б) По формуле: = = = = = = . ЛЕКЦИЯ № 5. 30.09.2020 Интегральная формула Коши Заметим, что в примере = в прошлой лекции результат получился не зависящим от радиуса . То есть при уменьшении или увеличении окружности ничего не изменится, если та же самая точка разрыва остаётся внутри, а замкнутый контур стягивается к ней, оставляя снаружи область аналитичности. Этот факт докажем в общем случае. Теорема 1. (Интегральная теорема Коши). Пусть некоторый замкнутый контур, - n замкнутых непересекающихся контуров, лежащих внутри . Функция является аналитической на всех этих контурах, а также внутри , но вне . Тогда . Доказательство. Для того, чтобы лучше понять идею доказательства, рассмотрим сначала ситуацию, когда внутри расположен один контур , то есть область аналитичности - кольцо. Можно взять какую-либо пару точек на и соответственно (чтобы точкибыли максимально близко напротив друг друга) и соединить их отрезком. Тогда для комбинированого контура, состоящего из 4 частей: , , , внутренняя область, похожая на кольцо с разрезом, это область аналитичности. Мы один раз обходим этот контур, двигаясь по внешнему против часовой стрелки, поэтому и обозначено , затем переходя на внутренний контур по , затем двигаясь по внутреннему в противоположном направлении (), и возвращаясь по снова на внешний контур. Чертёж:
Но если комбинированный контур окружает область аналитичности, то интеграл по нему равен 0. Внутренняя область при этом фактически становится внешней (для нового контура, который с разрезом, на правом чертеже). . При этом интегралы по и и так взаимно уничтожаются, поэтому . Но если сменить направление движение по внутреннему контуру , то интеграл по нему сменил бы знак, тогда: . Таким образом, интегралы по и одинаковы, то есть можно без изменения результата уменьшить область, стянув её к точке разрыва, оставив снаружи какую-то часть области аналитичности.
Если внутри несколько контуров, внутри которых нарушена аналитичности или даже существование функции, то применяется похожая схема рассуждений, только надо поочерёдно соединить отрезком с , затем с и так далее, до номера n. Получится , откуда следует . Теорема 2. (Интегральная формула Коши). Пусть является аналитической на контуре и внутри него, точка лежит внутри . Тогда . Доказательство. В рассмотренном примере в конце прошлой лекции мы вычислили , то есть верно . Но мы можем домножить это равенство на любую комплексную константу, и тогда: . Впрочем, тогда это же верно и для константы : получаем . Мы получили выражение, очень похожее на то, которое надо доказать, но ещё не то: ведь здесь в числителе константа, а не функция. Вот если мы теперь ещё и докажем, что , или то же самое, что , то требуемое утверждение будет верно. Рассмотрим функцию . Это функция, которая участвует в определении производной, ведь . Таким образом, , то есть имеет конечный предел в точке , а это значит, что она ограничена в окрестности этой точки, . По теореме 1 (интегральная теорема Коши), интеграл по можно заменить на интеграл по любой малой окружности радиуса , лежащей внутри , результат при этом не изменится. Тогда = , где - максимальное значение модуля функции, - длина кривой, по которой происходит интегрирование. Но ведь по теореме 1 это должно быть верно для какого угодно малого . То есть меньше или равен любой бесконечно-малой величины. Тогда этот интеграл равен 0. То есть = = . Значит, , а тогда:
, т.е. доказано в итоге. Интегральная формула Коши позволяет быстро вычислять интегралы по контуру вокруг точки разрыва, фактически не проводя подробное интегрирование. Достаточно убрать из знаменателя ту скобку , которая соответствует этой точке разрыва, подставить в остальную функцию и домножить на . Обычно она применяется в таком виде: Ведь надо вычислить именно интеграл, который обычно дан без коэффициента, так что коэффициент пишется в другой части равенства.
Пример. Вычислить . Решение. Внутри окружности радиуса 1,5 всего одна из двух точек разрыва функции, вторая снаружи. Обозначим в качестве функцию без , как будто на делим чуть раньше, а на позже. = , где это то, что именно обозначается в интегральной формуле Коши. Тогда = = = . Ответ. . Теорема 3. (Обобщённая интегральная формула Коши). Пусть является аналитической на контуре и внутри него, точка лежит внутри . Тогда . Доказательство. Продифференцируем по параметру правую и левую часть равенства в исходной интегральной формуле Коши. . = = = = . Таким образом, . Следующая производная от равна = . Аналогично следующая (третья от исходной функции) равна , далее по индукции для n-й производной получим = . Тогда . Рассмотрим примеры, похожие на предыдущий, но в которых будет 2 или 3 степень скобки . По обобщённой интегральной формуле Коши, если скобка во 2 степени, надо не просто убрать её из знаменателя, а после этого ещё и один раз продифференцировать оставшуюся функцию, и лишь затем подставлять . А если 3 степень, то 2 раза продифференцировать, но с 3-й степени начинает ещё и изменяться коэффициент из-за того, что он уже не равен 1, а будет . Пример. Вычислить . Решение. Окружность радиуса 1,5. Следовательно, точка разрыва 1 внутри, а точка снаружи, поэтому для неё считать не надо. = = = = = . Ответ. .
ЛЕКЦИЯ № 6. 07.10.2020 Особые точки и вычеты Нули. Определение. Точка называется нулём функции , если .
Мы сначала изучим нули функции, для того, чтобы затем изучить более подробно типы точек разрыва. Если является нулём для то в этой же точке предел равен . Вспомним, что в 1 семестре было ещё название «бесконечно-малая» и «бесконечно-большая» функция в точке. Бесконечно-малые могли быть разных порядков. Есть и здесь аналогичное более подробное определение, различающее порядки бесконечно малых: Определение. Точка называется нулём порядка m функции , если и функция представима в виде , где . Особые точки. Определение. Точка называется правильной точкой функции , если является аналитической в , и особой точкой, если она не является аналитической в . Определение. Точка называется изолированной особой точкой, если в некоторой её окрестности нет других особых точек. Бывают и не изолированные особые точки, например, для функции последовательность особых точек сходится к 0, и 0 не является изолированной особой точкой.
Существует такая классификация особых точек в зависимости от предела .
Лемма. Точка является нулём функции она является полюсом функции . Док-во очевидно: является нулём функции функция представима в виде , причём . Это эквивалентно тому, что = , где , а предел знаменателя равен 0. Это означает, что . В связи с этим, естественным образом возникает определение полюса порядка : точка называется полюсом порядка m для функции , если для функции она является нулём порядка m. Замечание. Нуль и полюс функции соответствуют понятиям «бесконечно малая» и «бесконечно большая» функция в точке (из 1 семестра). Если даже бесконечно малая функция не была степенная, то выделяли главную часть вида . То есть, другими словами, как раз и находили, что точка является нулём порядка m. Пример. Указать тип всех особых точек для функции: . Решение. В знаменателе нули 1-го, 2-го и 3-го порядка, а именно, точки 2,3 и 4. Тогда для : полюс 1-го порядка, полюс 2-го порядка, полюс 3-го порядка.
Теорема. Если , причём точка является нулём порядка m для функции , и нулём порядка n для функции , то при точка устранимая или правильная точка, а при полюс порядка для функции . Доказательство. Если - нуль порядка m и n соответственно для числителя и знаменателя, то = = где для каждой из двух функций. Тогда можно обозначить и в итоге , это и означает, что полюс порядка . Пример. Определить тип особой точки для функции . Решение. Представим функцию в числителе в виде разложения в ряд Тейлора. = = в числителе нуль 1 порядка, а в знаменателе 4-го. Тогда точка полюс 3 порядка. = = . В числителе после сокращения осталась функция, имеющая ненулевой предел.
|
||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-22; просмотров: 209; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.128.203.143 (0.083 с.) |