Интегрирование комплексных функций

       Возможны разные подходы к определению понятия интеграла от комплексной функции. Так, например,  - функции двух переменных, тогда можно вычислять двойные интегралы от них по некоторой плоской области, и объединять результаты в комплексное число вида . Однако в качестве основного всё же исторически был принят метод интегрирования по кривой, именно при таком подходе возможно введение понятия первообразной , а также получают применение многие факты из теории векторного поля. Итак, определение интеграла и метод его вычисления:

 

       Определение. Пусть в области  задана некоторая функция  (не обязательно аналитическая), и в области  расположена кусочно-гладкая кривая  (не обязательно замкнутая). Введём разбиение кривой на n частей с помощью (n-1) внутренних точек. Таким образом, получилась последовательность точек , расположенных по порядку на кривой, где  - начальная и конечная точки. Обозначим . Выберем на каждом участке дуги какую-то точку  и составим интегральную сумму: . Предел интегральных сумм при измельчении разбиения, т.е. при , называется интегралом от функции  по кривой  и обозначается .

 

       Метод вычисления. При вычислении необходимо разбить на действительную и мнимую части как функцию, так и дифференциал, затем раскрыть скобки и получить 4 слагаемых. Но их можно объединить по два, в двух из них нет мнимой единицы, а в двух она есть:

= .

Таким образом, при вычислении всё сводится к двум криволинейным интегралам 2-го рода от векторных полей  и , а мнимая единица умножается на второй из них, при этом в самих вычислениях она фактически не участвует.

 

Некоторые свойства.

1. Линейность  = .

2. Если кривая АС разбита на две части некоторой точкой В, то:

3. .

4. Если  то , где  - длина кривой АВ.

Пример. Вычислить интеграл : 

А) по прямолинейному отрезку от 0 до .

Б) по параболе от 0 до .

Решение.

А) =  = , далее вычисляем 2 криволинейных интеграла по отрезку, на котором , заменяем , .

При этом .  =  = .

Б) Исходное раскрытие скобок происходит так же, как и в прошлом случае:   но теперь линия  это не отрезок, заданный явным уравнением , а парабола, заданная явным уравнением . Поэтому заменяем , .

 =  =

 = .

Ответ. по отрезку: 1, по параболе: .

       Как видим, в зависимости от формы кривой могут получиться разные ответы, это потому, что функция не аналитическая, она содержит .

 

Вычислим интеграл от комплексной функции по замкнутому контуру. 

Пример. Вычислить , где  - окружность радиуса  вокруг точки .

 

Решение. Представим функцию в виде . Движение по такой окружности можно задать формулами: 

В этом случае . Тогда

=  =  =

домножим на сопряжённое,  =

, можно сократить , а также вместо суммы квадратов sin и cos будет 1.

 =

= =  = .

Результат получился не зависящим от .

Теорема 1. Если  замкнутый контур, внутри которого во всех точках  является аналитической, то

1) .

2)  не зависит от пути, а только от точек А,В.

 

Доказательство.

1)   = =  в двух этих интегралах - циркуляция двух векторных полей  и , они потенциальны по теореме 2 прошлого §, а тогда циркуляция равна 0, то есть получаем .

2) Криволинейные интегралы 2 рода от векторных полей  и  не зависят от пути.

 

       Итак, для аналитической функции интеграл не зависит от пути, то для неё оказывается возможным ввести понятие первообразной. Введём в рассмотрение такую функцию:  которая каждой точке ставит в соответствие интеграл до неё от некоторой фиксированной точки . Вводится по аналогии с вычислением потенциала поля, только в данном случае, вычисляются потенциалы двух полей  и .  

Теорема 2. Функция  является первообразной от функции .

Теорема 3. Для функции, аналитической на кривой , верна формула Ньютона-Лейбница: .

Доказательство. По построению первообразной,

 и . 

Но тогда  =  а тогда по 3-му свойству

это , что равно интегралу по кривой, проходящей от  до  (через точку ).

Тогда  =  =  т.к. по свойству 2, их можно объединить. Итак,  = .

Замечание. Факт 1 из теоремы 1 о том, что интеграл по замкнутому контуру равен 0 (если внутри него функция аналитическая), также следует из формулы Ньютона-Лейбница, ведь на замкнутом контуре начальная и конечная точки - это одно и то же, и получится .

Пример. Вычислить  от 0 до  двумя способами:

А) без формулы Б) по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

А)  =  =

Пусть точки 0 и  соединены по прямой  (вспомним, что интеграл не зависит от пути, поэтому можем соединить их как удобнее для вычислений). Тогда , , и

 =  =  = .

Б) По формуле:  =  =  =  =  = = .

ЛЕКЦИЯ № 5. 30.09.2020

Интегральная формула Коши

Заметим, что в примере =  в прошлой лекции 

результат получился не зависящим от радиуса . То есть при уменьшении или увеличении окружности ничего не изменится, если та же самая точка разрыва остаётся внутри, а замкнутый контур стягивается к ней, оставляя снаружи область аналитичности. Этот факт докажем в общем случае.

Теорема 1. (Интегральная теорема Коши).

Пусть  некоторый замкнутый контур,  - n замкнутых непересекающихся контуров, лежащих внутри . Функция  является аналитической на всех этих контурах, а также внутри , но вне . Тогда .

Доказательство.

       Для того, чтобы лучше понять идею доказательства, рассмотрим сначала ситуацию, когда внутри  расположен один контур , то есть область аналитичности - кольцо. Можно взять какую-либо пару точек  на  и  соответственно (чтобы точкибыли максимально близко напротив друг друга) и соединить их отрезком. Тогда для комбинированого контура, состоящего из 4 частей: , , ,  внутренняя область, похожая на кольцо с разрезом, это область аналитичности. Мы один раз обходим этот контур, двигаясь по внешнему против часовой стрелки, поэтому и обозначено , затем переходя на внутренний контур по , затем двигаясь по внутреннему в противоположном направлении (), и возвращаясь по  снова на внешний контур. Чертёж:

Но если комбинированный контур окружает область аналитичности, то интеграл по нему равен 0. Внутренняя область при этом фактически становится внешней (для нового контура, который с разрезом, на правом чертеже).

.

При этом интегралы по  и  и так взаимно уничтожаются, поэтому . Но если сменить направление движение по внутреннему контуру , то интеграл по нему сменил бы знак, тогда: .

Таким образом, интегралы по  и  одинаковы, то есть можно без изменения результата уменьшить область, стянув её к точке разрыва, оставив снаружи какую-то часть области аналитичности.

Если внутри  несколько контуров, внутри которых нарушена аналитичности или даже существование функции, то применяется похожая схема рассуждений, только надо поочерёдно соединить отрезком  с , затем  с  и так далее, до номера n.

Получится , откуда

следует . 

Теорема 2. (Интегральная формула Коши).

Пусть  является аналитической на контуре  и внутри него, точка  лежит внутри . Тогда .

Доказательство.

В рассмотренном примере в конце прошлой лекции мы вычислили , то есть верно . Но мы можем домножить это равенство на любую комплексную константу, и тогда: . Впрочем, тогда это же верно и для константы : получаем . Мы получили выражение, очень похожее на то, которое надо доказать, но ещё не то: ведь здесь в числителе константа, а не функция. Вот если мы теперь ещё и докажем, что , или то же самое, что , то требуемое утверждение будет верно.

Рассмотрим функцию . Это функция, которая участвует в определении производной, ведь .

Таким образом, , то есть  имеет конечный предел в точке , а это значит, что она ограничена в окрестности этой точки, . По теореме 1 (интегральная теорема Коши), интеграл по  можно заменить на интеграл по любой малой окружности  радиуса , лежащей внутри , результат при этом не изменится. Тогда  = , где  - максимальное значение модуля функции,  - длина кривой, по которой происходит интегрирование. Но ведь по теореме 1 это должно быть верно для какого угодно малого . То есть  меньше или равен любой бесконечно-малой величины. Тогда этот интеграл равен 0. То есть  =  = . Значит, , а тогда: 

, т.е.  доказано в итоге.

Интегральная формула Коши позволяет быстро вычислять интегралы по контуру вокруг точки разрыва, фактически не проводя подробное интегрирование. Достаточно убрать из знаменателя ту скобку , которая соответствует этой точке разрыва, подставить в остальную функцию  и домножить на .

Обычно она применяется в таком виде:

Ведь надо вычислить именно интеграл, который обычно дан без коэффициента, так что коэффициент пишется в другой части равенства. 

 

Пример. Вычислить .

Решение. Внутри окружности радиуса 1,5 всего одна из двух точек разрыва функции, вторая снаружи. Обозначим в качестве  функцию без , как будто на  делим чуть раньше, а на  позже.

 = , где  это то, что именно обозначается  в интегральной формуле Коши.

Тогда  =  =  = .

Ответ. .

Теорема 3. (Обобщённая интегральная формула Коши).

Пусть  является аналитической на контуре  и внутри него, точка  лежит внутри . Тогда .

Доказательство.

Продифференцируем по параметру  правую и левую часть равенства в исходной интегральной формуле Коши.

.

 =  =  =  = .

Таким образом, .

Следующая производная от  равна

 = . Аналогично следующая (третья от исходной функции) равна , далее по индукции для n-й производной получим  = . Тогда .

Рассмотрим примеры, похожие на предыдущий, но в которых будет 2 или 3 степень скобки . По обобщённой интегральной формуле Коши, если скобка во 2 степени, надо не просто убрать её из знаменателя, а после этого ещё и один раз продифференцировать оставшуюся функцию, и лишь затем подставлять . А если 3 степень, то 2 раза продифференцировать, но с 3-й степени начинает ещё и изменяться коэффициент из-за того, что он уже не равен 1, а будет .

Пример. Вычислить .

Решение. Окружность радиуса 1,5. Следовательно, точка разрыва 1 внутри, а точка  снаружи, поэтому для неё считать не надо.  =  =  =  =  = .

Ответ. .

 

ЛЕКЦИЯ № 6. 07.10.2020

Особые точки и вычеты

Нули.

Определение. Точка  называется нулём функции , если .

       Мы сначала изучим нули функции, для того, чтобы затем изучить более подробно типы точек разрыва. Если  является нулём для  то в этой же точке предел   равен .

       Вспомним, что в 1 семестре было ещё название «бесконечно-малая» и «бесконечно-большая» функция в точке. Бесконечно-малые могли быть разных порядков. Есть и здесь аналогичное более подробное определение, различающее порядки бесконечно малых:

       Определение. Точка  называется нулём порядка m функции , если  и функция представима в виде , где .

Особые точки.

Определение. Точка называется правильной точкой функции , если  является аналитической в , и особой точкой, если она не является аналитической в .

Определение. Точка называется изолированной особой точкой, если в некоторой её окрестности  нет других особых точек.

Бывают и не изолированные особые точки, например, для функции  последовательность особых точек сходится к 0, и 0 не является изолированной особой точкой.

 

Существует такая классификация особых точек в зависимости от предела .

 

 

Название	Устранимая особая точка	Полюс	Существенно-особая точка
При каком условии			не существует
Пример ()	=	=	=

 

Лемма. Точка  является нулём функции  она является полюсом функции .

Док-во очевидно:  является нулём функции  функция  представима в виде , причём

. Это эквивалентно тому, что  =

, где , а предел знаменателя равен 0. Это означает, что .

В связи с этим, естественным образом возникает определение полюса порядка : точка  называется полюсом порядка m для функции , если для функции  она является нулём порядка m.

Замечание.  Нуль и полюс функции соответствуют понятиям «бесконечно малая» и «бесконечно большая» функция в точке (из 1 семестра). Если даже бесконечно малая функция не была степенная, то выделяли главную часть вида . То есть, другими словами, как раз и находили, что точка является нулём порядка m.

Пример. Указать тип всех особых точек для функции:

.

Решение.  В знаменателе нули 1-го, 2-го и 3-го порядка, а именно, точки 2,3 и 4. Тогда для :  полюс 1-го порядка,

 полюс 2-го порядка,     полюс 3-го порядка.

 

Теорема. Если , причём точка  является нулём порядка m для функции , и нулём порядка n для функции , то при  точка  устранимая или правильная точка, а при  полюс порядка  для функции .

Доказательство. Если  - нуль порядка m и n соответственно для числителя и знаменателя, то  =  =  где  для каждой из двух функций. Тогда можно обозначить  и в итоге , это и означает, что полюс порядка .

Пример. Определить тип особой точки  для функции .

Решение. Представим функцию в числителе в виде разложения в ряд Тейлора.

 =  =  в числителе нуль 1 порядка, а в знаменателе 4-го. Тогда точка  полюс 3 порядка.

 =  = . В числителе после сокращения осталась функция, имеющая ненулевой предел.