Теорема 2. Интегральный признак Коши.

Если дан ряд  и при этом существует функция , такая, что при целых значениях она совпадает с членами этого ряда, т.е. , то ряд  сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл .

Доказательство. Рассмотрим чертёж. Высоты столбцов, расположенных выше графика (включающие в себя и зелёную и красную часть), это числа ., так как эти высоты и т.д. Сумма площадей этих столбцов, как раз и есть сумма ряда. И это больше, чем несобственный интеграл. В то же время столбцы, расположенные ниже графика (только красная часть на чертеже), имеют высоту  так как у первого из них высота . Сумма их площадей это сумма остатка ряда без 1-го слагаемого. Но они все ниже графика, то есть их суммарная площадь меньше, чем несобственный интеграл.

Итак, получили:

Правое неравенство означает: из того, что ряд сходится, следует, что несобственный интеграл сходится. А левое неравенство значит, что из сходимости интеграла следует сходимость остатка ряда, начиная со 2-го элемента. Но ведь сходимость остатка ряда равносильна сходимости самого ряда. Поэтому в итоге получается такой факт: ряд сходится тогда и только тогда, когда несобственный интеграл сходится.

Фактически, с помощью этой теоремы можно во многих случаях как бы заменять n на x, и исследовать не дискретные, а непрерывные величины, а это удобнее, т.к. можно интегрировать, применять первообразные, то есть гораздо больше способов для исследования.  

Следствие. Ряды вида , сходятся при .

Доказательство очевидно: они эквивалентны интегралам , про которые известно, что при  есть сходимость. Итак, , ,   сходятся, а вот ,  расходятся, здесь степень меньше или равна 1.

Но не всегда удаётся подобрать такую функцию, чтобы применить интегральный признак Коши. Например, в ряде может содержаться n!

Поэтому нужны и другие признаки.

 

Если исследовать внутреннюю структуру ряда, а именно отношение следующего слагаемого к предыдущему, то например, для геометрической прогрессии это число всегда одно и то же  (знаменатель прогрессии). А вот если ряд не является прогрессией, то оно как-то варьируется, для сходимости важно, чтобы оно оказалось меньше какого-то , то есть было меньше сходящейся прогрессии.

Теорема 3. Признак Даламбера в конечной (не-предельной) форме.

Если при всех  (то есть начиная с некоторого номера) выполняется условие , то ряд абсолютно сходится.

Доказательство. Во-первых, сходимость ряда равносильна сходимости его остатка, т.е. можем рассмотреть остаток ряда и заново перенумеровать члены ряда, начиная с , поэтому можно доказывать даже при том условии, что  верно, даже начиная с первого номера. Обратите внимание, что условие  это не то же самое что . В нашем случае все они меньше , которое само меньше 1, т.е. отделено от 1 некоторым расстоянимем на числовой прямой, т.е. предел этих величин не может быть равен 1, от любой из них до 1 остаётся некоторое расстояние !

,

.

Продолжая таким образом, можно модуль каждого члена ряда оценить с помощью  и какой-то степени числа .

Итак,  =

 получилось, что ряд, состоящий из модулей, меньше некоторой убывающей геометрической прогрессии.

 = .

Итак, сумма меньше некоторого конечного числа, т.е. ряд  сходится, а значит, исходный ряд сходится абсолютно.

 

 

Теорема 4. Признак Даламбера в предельной форме.

Если  то ряд абсолютно сходится, если при этом  то ряд расходится.

Доказательство. Следует из предыдущей теоремы таким образом. Если предел равен  и оно строго меньше 1, то для всякого , начиная с некоторого номера, все отношения вида  входят в окрестность , а если заранее возьмём , то все эти элементы окажутся левее, чем , при этом .

То есть, они всё равно будут отделены от 1 неким расстоянием. А тогда выполняются условия прошлой теоремы, и ряд абсолютно сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Поделим n+1 й член ряда на n-й. На практике лучше пользоваться предельным признаком, т.е. сразу перейти к пределу и получить .

 =  = . Ответ: ряд сходится. Замечание. Сходимость здесь сразу абсолютная, так как все слагаемые и так положительны.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

 =  =  =

. Итак, , ряд сходится.

Теорема 5. Радикальный признак Коши в конечной форме. 

Если при всех  выполнено условие , то ряд абсолютно сходится.

Доказательство. Если , то . Таким образом, начиная с некоторого номера, остаток ряда меньше или равен, чем убывающая геометрическая прогрессия.

. Эта сумма конечна, то есть ряд абсолютно сходится.

 

Теорема 6. Радикальный признак Коши в предельной форме.

Если  то ряд абсолютно сходится, если  расходится.

Доказательство следует из предыдущей теоремы, аналогично тому, как Т.4 из Т.3.

Пример.  Выяснить сходимость ряда .

Рассмотрим  =  (использовали 2-й замеч. предел) ряд расходится.

 

Замечание. При  признак Даламбера и радикальный признак Коши не дают никакого ответа, в этом случае надо применять какие-либо другие признаки.

 

Далее следует серия признаков, основанных не на внутренней структуре ряда, а на сравнении с каким-то внешним, «эталонным» рядом.