Задача 3-С: Плоская система произвольно расположенных сил

 

На жесткую раму действуют силы, указанные в таблице 1. Схемы конструкции рам представлены на рис. 1–3. 

Определить реакции связей (опорные реакции) в конструкции с помощью аналитических условий равновесия. Убедиться в правильности решения, выполнив проверку.

 

 

                                                                                        Таблица 1. 

№ вар.	G, кН	P,  кН	M, кН·м	q,  кН/м	α, град.
1	10	5	20	1	30
2	12	8	10	4	60
3	8	4	5	2	60
4	14	-	8	3	30
5	-	6	7	1	45
6	-	10	4	2	60
7	-	6	5	1	45
8	16	7	6	2	60
9	6	6	4	2	30
10	10	8	9	1	30
11	-	4	7	0,5	45
12	10	6	8	-	45
13	12	10	6	2	30
14	10	6	10	1	45
15	4	4	4	2	60
16	20	10	-	2	45
17	25	5	-	0,5	45
18	20	10	10	-	30
19	-	4	8	1	45
20	-	10	6	0,5	45
21	-	8	7	0,5	30
22	-	10	8	1	30
23	-	7	10	2	30
24	-	6	7	1,5	30

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

Рис. 2

 

 

Рис. 3

 

 

 

Пример решения задачи

 

Задача. На жесткую раму (рис. 4) весом G = 10 кН действуют силы: P = 5 кН, M = 8 кН·м, q = 0,5 кН/м, α=30°, размеры стержня указаны в м.  

Определить реакцию опоры А и реакцию стержня CD с помощью аналитических условий равновесия. Убедиться в правильности решения, выполнив проверку.

 

Решение. Рассмотрим систему уравновешивающих сил, приложенных к балке АВ.

Отбрасываем связи: шарнирно-неподвижную опору А, стержень CD и нить. Действие связей на балку заменяем их реакциями (рис. 5). 

Так как направление реакции шарнирно-неподвижной опоры А неизвестно, то

                                       _{Рис. 4}                                                                  определяем ее составляющие Х_А и

Y_A.

Покажем также    реакцию стержня CD и реакцию нити S, модуль которой равен P.

Равномерно-распределенную нагрузку q заменяем сосредоточенной силой Q, приложенной в центре тяжести эпюры этой нагрузки:

 

           𝑄 = 2𝑞 = 2 ∙ 0,5 = 1 кН                                     ^{Рис. 5}

 

Для плоской системы сил, приложенных к балке, составляем три уравнения равновесия:

 

                 ∑ 𝑋_𝑖 = 0 ∶ 𝑋_𝐴 − 𝑆_𝐶𝐷 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0                           (1)

       

                ∑ 𝑌_𝑖 = 0 ∶  𝑌_𝐴 − 𝑄 − 𝐺 + 𝑆_𝐶𝐷 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑆 = 0                  (2)

 

                ∑ 𝑀_𝑖𝐴 = 0 ∶ −𝑄 ∙ 1 − 𝐺 ∙ 3 + 𝑆_𝐶𝐷 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 4 − 𝑀 + 𝑆 ∙ 6 = 0       (3)

 

Из уравнения (3):

 

             𝑄 ∙ 1 + 𝐺 ∙ 3 + 𝑀 − 𝑆 ∙ 6 1 ∙ 1 + 10 ∙ 3 + 8 − 5 ∙ 6

𝑆_𝐶𝐷  кН  

 

 

Из уравнения (1):

 

𝑋_𝐴 = 𝑆_𝐶𝐷 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 4,5 ∙ 0,866 = 3,9 кН

 

Из уравнения (2):

 

𝑌_𝐴 = 𝑄 + 𝐺 − 𝑆_𝐶𝐷 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑆 = 1 + 10 − 4,5 ∙ 0,5 − 5 = 3,75 кН

 

Значения Х_А, Y_A и SCD получились положительными. Это указывает на то, что принятые направления этих сил совпадают с их действительными направлениями.

Задача 4-С: Плоская система произвольно расположенных сил

 

На жесткую раму действуют силы, указанные в таблице 1. Схемы конструкции рам представлены на рис. 1–3. 

Определить реакции связей (опорные реакции) и давление в промежуточном шарнире составной конструкции (система двух тел) с помощью аналитических условий равновесия. Убедиться в правильности решения, выполнив проверку.

 

 

                                                                                Таблица 1. 

№ вар.	P1,  кН	P2,  кН	M, кН·м	q,  кН/м
1	6	-	25	0,8
2	5	8	26	-
3	8	10	33	1,1
4	10	-	25	1,3
5	12	-	27	1,0
6	14	12	-	0,9
7	16	8	18	1,4
8	12	6	20	1,0
9	14	-	28	1,4
10	8	-	26	0,9
11	15	10	29	1,0
12	15	8	28	1,5
13	7	6	15	1,1
14	5	-	30	0,9
15	6	10	24	1,5
16	8	11	31	0,8
17	9	15	26	1,1
18	7	16	27	0,8
19	6	18	35	1,4
20	7	16	32	0,8
21	8	17	30	1,2
22	5	6	34	1,5
23	14	10	36	1,2
24	10	13	28	1,3

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

Рис. 2

 

 

 

Рис. 3

 

 

 

 

 

Пример решения задачи

 

Задача. На жесткую раму (рис. 4) действуют силы: P₁ = 10 кН, P₂ = 12 кН, M = 25 кН·м, q = 2 кН/м, α=60°, размеры стержня указаны в м.  

Определить реакции связей (опорные реакции) и давление в промежуточном шарнире составной конструкции с помощью аналитических условий равновесия. Убедиться в правильности решения, выполнив проверку.

 

Решение. Сначала рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции, что позволит определить вертикальные составляющие реакций опор А и В.

                             Рис. 4                                                                                

Для упрощения вычисления момента силы Р₁ раскладываем ее на составляющие (рис.5):

 

𝑃₁^/ = 𝑃₁𝑐𝑜𝑠𝛼 = 10 ∙ 0,5 = 5 кН

𝑃₁^// = 𝑃₁𝑠𝑖𝑛𝛼 = 10 ∙ 0,866 = 8,66 кН

 

Рис. 5

Уравнения равновесия имеют вид:

 

𝑋_𝐴 + 𝑋_𝐵 − 𝑃₁^/ + 𝑄 = 0                                (1)

 

  −𝑃₁^// + 𝑌_𝐴 − 𝑃₂ + 𝑌_𝐵 = 0                           (2)

 

 𝑀_𝑖𝐴  ; 𝑃^{/ //} ,       (3)

 

                    где        𝑄      кН;

 

Из уравнения (3):

 

        _𝑃 /         //

𝑌_𝐵  

 

 кН

Из уравнения (2):

 

𝑌_𝐴 = 𝑃₁^// + 𝑃₂ − 𝑌_𝐵 = 8,66 + 12 − 7,86 = 12,8 кН

 

Уравнение (1), содержащее два неизвестных, не позволяет определить их числовые значения и устанавливает лишь зависимость между ними.

Рассмотрим теперь систему уравновешивающихся сил, приложенных к правой части конструкции (рис. 6).

 

 

                                                                        𝑋_В + 𝑋_𝐶 = 0                (4)

 

                                                                          𝑌_𝐶 − 𝑃₂ + 𝑌_𝐵 = 0              (5)

 

 𝑀_𝑖𝐶  , (6)

 

Из уравнения (6):

                  Рис. 6                           

𝑀

𝑋_𝐵   кН

 

Из уравнения (4):

𝑋_𝐶 = −𝑋_В = −4,39 кН

 

Из уравнения (5):

𝑌_𝐶 = 𝑃₂ − 𝑌_𝐵 = 12 − 7,86 = 4,14 кН

 

Из уравнения (3):

𝑋_𝐴 = −𝑋_𝐵 + 𝑃₁^/ − 𝑄 = −4,39 + 5 − 8 = −7,39 кН

Для проверки правильности решения задачи убедимся в том, что соблюдается уравнение равновесия для сил, приложенных ко всей конструкции:

∑ 𝑀_𝑖𝐵 = 0; 𝑃₁^/ ∙ 4 + 𝑃₁^// ∙ 10 − 𝑄 ∙ 2 − 𝑌_А ∙ 7 − 𝑀 + 𝑃₂ ∙ 2 =

 

= 5 ∙ 4 + 8,66 ∙ 10 − 8 ∙ 2 − 12,8 ∙ 7 − 25 + 12 ∙ 2 = 0