Задача 1-С: Плоская система сходящихся сил

СТАТИКА

Пример решения задачи

 

Задача. Кронштейн состоит из двух стержней, соединенных со стеной и друг с другом шарнирами (рис. 1).

 Определить усилия, возникающие в стержнях кронштейна, если к нему подвешен груз весом Q = 1 кН, а угол α=60°.

 

Решение. Изображаем на схеме две реакции связей S₁ и S₂. Реакции связей направлены по стержням в стороны, противоположные свободному перемещению груза. Реакция S₁ будет направлена к стене и стержень будет растянут. Реакция S₂ будет направлена от стены и стержень будет сжат.  

 

                          Рис. 1

Получаем плоскую систему сходящихся сил. 

Выбираем плоскую декартовую систему координат. Точка пересечения всех действующих сил расположена в начале координат. Записываем условие равновесия в аналитической форме, которое состоит из системы двух уравнений. 

 

∑ 𝑋_𝑖 = 0 – сумма проекций всех действующих сил на ось ОХ равна 0.

∑ 𝑌_𝑖 = 0 – сумма проекций всех действующих сил на ось ОY равна 0.

 

Проецируем действующие силы на координатные оси:

 

∑ 𝑋_𝑖 = −𝑆₁ + 𝑆₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 

∑ 𝑌_𝑖 = 𝑆₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑄 = 0 

 

Решаем систему уравнений:

           𝑆2 𝑐𝑜𝑠𝛼 0,5     кН

𝑆₁ = 𝑆₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 2 ∙ 0,866 = 1,732 кН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2-С: Плоская система произвольно расположенных сил

 

На жесткую раму действует пара сил с моментом M  60 Н  м и две силы (номера, величины, направление и точки приложения сил приведены в таблице 1, схемы рам показаны на рис. 1–6), a  0.5м.

Определить реакции связей (опорные реакции) в точках А и В с помощью аналитических условий равновесия. Убедиться в правильности решения, выполнив проверку.

 

Таблица 1.

№ вар.			Сила						№ рис.
	F 1 =10 Н		F 2 =20 Н		F 3 =30 Н		F 4 =40 Н
	Точка приложения	1o	Точка приложения	2o	Точка приложения	3o	Точка приложения	4o
1	-	-	D	60	E	45	-	-	1
2	K	30	-	-	-	-	H	60	1
3	-	-	H	45	K	30	-	-	1
4	D	60	-	-	-	-	E	30	1
5	H	60	-	-	D	30	-	-	2
6	-	-	E	30	-	-	K	45	2
7	D	45	-	-	H	60	-	-	2
8	-	-	H	60	-	-	D	30	2
9	-	-	D	60	E	45	-	-	3
10	K	30	-	-	-	-	H	60	3
11	-	-	H	45	K	30	-	-	3
12	D	60	-	-	-	-	E	30	3
13	H	60	-	-	D	30	-	-	4
14	-	-	E	30	-	-	K	45	4
15	D	45	-	-	H	60	-	-	4
16	-	-	H	60	-	-	D	30	4
17	-	-	D	60	E	45	-	-	5
18	K	30	-	-	-	-	H	60	5
19	-	-	H	45	K	30	-	-	5
20	D	60	-	-	-	-	E	30	5
21	H	60	-	-	D	30	-	-	6
22	-	-	E	30	-	-	K	45	6
23	D	45	-	-	H	60	-	-	6
24	-	-	H	60	-	-	D	30	6

                         Рис. 1                                       Рис. 2                                        Рис. 3

 

 

 

                         Рис. 4                                       Рис. 5                                        Рис. 6

 

 

Примечание. Задача 2-С – на равновесие тела под действием плоской системы сил. На исходном рисунке изображаем заданные для Вашего варианта силы. Изображаем оси координат xOy. Согласно аксиоме о связях в точках А и В вместо связей изображаем силы реакции связей. Неизвестную силу реакции

 

связи R _A раскладываем на составляющие, параллельные осям координат.

 

Неизвестную силу реакции связи R _B направляем по нормали к опорной поверхности или вдоль отрезка ВВ₁. Записываем условия равновесия для плоской системы сил. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При вычислении момента силы

 

 

F часто удобно разложить ее на составляющие F  и F , для которых плечи легко вычисляются, в частности. на составляющие, параллельные координатным

 

осям, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда M o  F  M o  F  M o  F .

 

 

 

 

 

Пример решения задачи

 

Задача. Жесткая рама, показанная на рис. 7, закреплена в точке А шарнирно-неподвижно, а в точке В шарнирно-подвижно. На раму действует

 

пара сил с моментом М и две силы (F ₁ и F ₄ ) в точках Н и К: M  60 Н  м; F ₁ 10 Н; F ₄  40 Н;  ₁  30^o; ₄  60^o , a  0. 5 м. Определить реакции связей в точках А и В.

 

 

Рис. 7

 

Решение. Рассмотрим равновесие рамы.

1. Вводим оси координат xOy.

2. Отбрасываем связи. Действие связей заменяем силами реакции связей. В

 

точке А шарнирно-неподвижная опора. Неизвестную силу реакции связи R _A раскладываем на составляющие, параллельные осям координат. 

R _A  X _A  Y _A . В точке В шарнирно-подвижная опора. Неизвестную силу реакции связи R _B направляем по нормали к опорной поверхности (рис. 8).

 

Рис. 8

 

3. Силы F ₁ и F ₄ раскладываем на составляющие, параллельные осям координат. F ₁  F ₁ F ₁; F ₄  F ₄  F ₄;        

F ₁ F ₁ cos ₁ 100. 8668. 66; F ₁ F ₁ sin ₁ 100. 55. 00;

 

         F ₄  F ₄  cos ₄  400. 5 20. 00;     F ₄ F ₄  sin ₄  400. 86634. 641.

4. Записываем условия равновесия плоской системы сил.
 F ix 0;       X A  F 1 F 4  0		(1)
 F iy  0;    Y A  R B  F 1 F 4 0		(2)
 M A  F i  0; R B 5 a  F 13 a  F 1 a  F 42 a  M  0		(3)

5. Решаем систему 3-х алгебраических уравнений.

Из уравнения (1) следует X _A   F ₁ F ₄; X _A  8. 6620.  20. 66 (Н) Из уравнения (3) следует R _B  M  F ⁴2 a  F ¹ a  F ¹3 a; 5 a

R _B    33. 124 (Н)

Из уравнения (2) следует Y _A  F ₄ R _B  F ₁; 

Y _A  34. 64133. 1245  3. 483 (Н)

R _A  X _A ²  Y _A ² ; R _A  20. 66² 3. 483²  20. 95 (Н)

Ответ: X _A  20. 66 Н; Y _A  3. 483 Н; R _A  20. 95 Н; R _B  33. 124 Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример решения задачи

 

Задача. На жесткую раму (рис. 4) весом G = 10 кН действуют силы: P = 5 кН, M = 8 кН·м, q = 0,5 кН/м, α=30°, размеры стержня указаны в м.  

Определить реакцию опоры А и реакцию стержня CD с помощью аналитических условий равновесия. Убедиться в правильности решения, выполнив проверку.

 

Решение. Рассмотрим систему уравновешивающих сил, приложенных к балке АВ.

Отбрасываем связи: шарнирно-неподвижную опору А, стержень CD и нить. Действие связей на балку заменяем их реакциями (рис. 5). 

Так как направление реакции шарнирно-неподвижной опоры А неизвестно, то

                                       _{Рис. 4}                                                                  определяем ее составляющие Х_А и

Y_A.

Покажем также    реакцию стержня CD и реакцию нити S, модуль которой равен P.

Равномерно-распределенную нагрузку q заменяем сосредоточенной силой Q, приложенной в центре тяжести эпюры этой нагрузки:

 

           𝑄 = 2𝑞 = 2 ∙ 0,5 = 1 кН                                     ^{Рис. 5}

 

Для плоской системы сил, приложенных к балке, составляем три уравнения равновесия:

 

                 ∑ 𝑋_𝑖 = 0 ∶ 𝑋_𝐴 − 𝑆_𝐶𝐷 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0                           (1)

       

                ∑ 𝑌_𝑖 = 0 ∶  𝑌_𝐴 − 𝑄 − 𝐺 + 𝑆_𝐶𝐷 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑆 = 0                  (2)

 

                ∑ 𝑀_𝑖𝐴 = 0 ∶ −𝑄 ∙ 1 − 𝐺 ∙ 3 + 𝑆_𝐶𝐷 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 4 − 𝑀 + 𝑆 ∙ 6 = 0       (3)

 

Из уравнения (3):

 

             𝑄 ∙ 1 + 𝐺 ∙ 3 + 𝑀 − 𝑆 ∙ 6 1 ∙ 1 + 10 ∙ 3 + 8 − 5 ∙ 6

𝑆_𝐶𝐷  кН  

 

 

Из уравнения (1):

 

𝑋_𝐴 = 𝑆_𝐶𝐷 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 4,5 ∙ 0,866 = 3,9 кН

 

Из уравнения (2):

 

𝑌_𝐴 = 𝑄 + 𝐺 − 𝑆_𝐶𝐷 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑆 = 1 + 10 − 4,5 ∙ 0,5 − 5 = 3,75 кН

 

Значения Х_А, Y_A и SCD получились положительными. Это указывает на то, что принятые направления этих сил совпадают с их действительными направлениями.

Пример решения задачи

 

Задача. На жесткую раму (рис. 4) действуют силы: P₁ = 10 кН, P₂ = 12 кН, M = 25 кН·м, q = 2 кН/м, α=60°, размеры стержня указаны в м.  

Определить реакции связей (опорные реакции) и давление в промежуточном шарнире составной конструкции с помощью аналитических условий равновесия. Убедиться в правильности решения, выполнив проверку.

 

Решение. Сначала рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции, что позволит определить вертикальные составляющие реакций опор А и В.

                             Рис. 4                                                                                

Для упрощения вычисления момента силы Р₁ раскладываем ее на составляющие (рис.5):

 

𝑃₁^/ = 𝑃₁𝑐𝑜𝑠𝛼 = 10 ∙ 0,5 = 5 кН

𝑃₁^// = 𝑃₁𝑠𝑖𝑛𝛼 = 10 ∙ 0,866 = 8,66 кН

 

Рис. 5

Уравнения равновесия имеют вид:

 

𝑋_𝐴 + 𝑋_𝐵 − 𝑃₁^/ + 𝑄 = 0                                (1)

 

  −𝑃₁^// + 𝑌_𝐴 − 𝑃₂ + 𝑌_𝐵 = 0                           (2)

 

 𝑀_𝑖𝐴  ; 𝑃^{/ //} ,       (3)

 

                    где        𝑄      кН;

 

Из уравнения (3):

 

        _𝑃 /         //

𝑌_𝐵  

 

 кН

Из уравнения (2):

 

𝑌_𝐴 = 𝑃₁^// + 𝑃₂ − 𝑌_𝐵 = 8,66 + 12 − 7,86 = 12,8 кН

 

Уравнение (1), содержащее два неизвестных, не позволяет определить их числовые значения и устанавливает лишь зависимость между ними.

Рассмотрим теперь систему уравновешивающихся сил, приложенных к правой части конструкции (рис. 6).

 

 

                                                                        𝑋_В + 𝑋_𝐶 = 0                (4)

 

                                                                          𝑌_𝐶 − 𝑃₂ + 𝑌_𝐵 = 0              (5)

 

 𝑀_𝑖𝐶  , (6)

 

Из уравнения (6):

                  Рис. 6                           

𝑀

𝑋_𝐵   кН

 

Из уравнения (4):

𝑋_𝐶 = −𝑋_В = −4,39 кН

 

Из уравнения (5):

𝑌_𝐶 = 𝑃₂ − 𝑌_𝐵 = 12 − 7,86 = 4,14 кН

 

Из уравнения (3):

𝑋_𝐴 = −𝑋_𝐵 + 𝑃₁^/ − 𝑄 = −4,39 + 5 − 8 = −7,39 кН

Для проверки правильности решения задачи убедимся в том, что соблюдается уравнение равновесия для сил, приложенных ко всей конструкции:

∑ 𝑀_𝑖𝐵 = 0; 𝑃₁^/ ∙ 4 + 𝑃₁^// ∙ 10 − 𝑄 ∙ 2 − 𝑌_А ∙ 7 − 𝑀 + 𝑃₂ ∙ 2 =

 

= 5 ∙ 4 + 8,66 ∙ 10 − 8 ∙ 2 − 12,8 ∙ 7 − 25 + 12 ∙ 2 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример решения задачи

 

Задача. Однородная прямоугольная плита весом P  3 кН со сторонами

AB  3 a, BC  2 a закреплена в точке А сферическим, а в точке В цилиндрическим шарниром и удерживается в равновесии невесомым стержнем 

CC  (рис. 7). 

                На плиту действует пара сил с моментом M = 5 кН  м, лежащая в

 

плоскости плиты, и две силы: в точке Н F = 4 кН, параллельная оси y, и в точке 1

 

D F = 6 кН, параллельная плоскости xAz. Точки приложения сил находятся на 2

серединах сторон,  90^o;  30^o, a  0. 8 м.

                                                  1               2

   Определить реакции связей в точках А, В и С.

 

 

Рис. 7

Решение. Рассмотрим равновесие рамы. На нее действуют заданные силы

 

P, F ₁ , F ₂ и пара сил с моментом M.

1. Отбрасываем связи. Действие связей заменяем силами реакции связей. В

 

точке А сферический шарнир. Неизвестную силу реакции связи R _A раскладываем на составляющие, параллельные осям координат. 

 

R _A  X _A  Y _A  Z _A . В точке В цилиндрический шарнир. Неизвестную силу реакции связи раскладываем на составляющие, параллельные осям координат

 

и лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. R _B  Y _B  Z _B . В

 

точке С реакция связи R _C направлена вдоль оси стержня CC  (рис. 8).

Силы F ₂ и R _C раскладываем на составляющие, параллельные осям

 

координат. F 2  F 2  F 2;	R C  R C   R C ;
F 2 sin 2  60. 5  3. 0;	F 2 F 2  cos 2  60. 866 5. 196;
R C   R C  cos 30^o R C 0. 866;	R C   R C  sin 30^o R C 0. 5.

 

Рис. 8

2. Записываем условия равновесия пространственной системы сил.

 F ix  0;	X A  F 2  R C 0. 866  0              (1)
 F iy  0;	Y A  Y B  F 1  0                      (2)
 F iz 0;	Z A  Z B  F 2 R C 0. 50              (3)
 M x  F i  0;	F 22 a  R C 0. 52 a  0              (4)
 M y  F i  0;	3 a  Z B 3 a  R C 0. 53 a  F 2      0                                              (5) 2
 M z  F i  0;	Y B 3 a  F 1 3 a  F 22 a  R C 0. 866 2 a  M  0
	(6)

3. Решаем систему из 6-ти линейных алгебраических уравнений.

Из уравнения (4) следует R _C   F 2; R C   5. 196  10. 392 (кН)

                                                                                      0. 5               0. 5

Из уравнения (5) следует Z _B   R ^C 0. 533 aa  F ²3 a ² _; Z _B  2. 598 (кН)

Из ур. (6) следует Y _B   R ^C 0. 866 2 a  M 3 a  F ¹ 3 a  F ²2 a; Y _B  9. 916 (кН)

Из уравнения (1) следует X _A  F ₂  R _C 0. 866; X _A  5. 999 (кН) Из уравнения (2) следует Y _A   Y _B  F ₁; Y _A  5. 916 (кН).

Из уравнения (3) следует Z _A   Z _B  F ₂ R _C 0. 5; Z _A  2. 598 (кН).

Ответ:    

X _A  5. 999 кН; Y _A  5. 916 кН; Z _A  2. 598 кН; Y_B 9. 916 кН; Z _B  2. 598 кН; R _C  10. 392 кН.

Знак минус указывает, что направление силы противоположно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример решения задачи

 

Задача. Плоский механизм (рис. 7) состоит из стержней 1 – 4 и ползуна В,

соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O и O шарнирами. 

                                                                                                                                                           1      2

Длины стержней равны: l ₁=0.4 м, l ^[1] =1.2 м, l ₃ =1.4 м, l ₄ =0.8 м. Положение механизма определяется углами 60^o,  60^o ,   60^o ,  90^o , 120^o. 

Точка D находится в середине соответствующего стержня. Угловая скорость стержня 4 равна ₄  3 1/с.

                Определить v _A , v _D , ₃.

 

Рис. 7

Решение. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. 7).

 

1. Определяем v _E . v _E ₄  l ₄; v _E  30. 8  2. 4 м/с. Скорость точки Е перпендикулярна стержню 4 (рис. 8)

                 

                                          Рис. 8                                                                 Рис. 9

 

3. Рассмотрим движение стержня 3 (рис.9). Движение плоское. Скорость v _B

 

известна, а направление скорости v _A также известно. Проводим перпендикуляры к этим скоростям и на их пересечении получаем мгновенный центр скоростей для стержня 3 (P ₃ ). Треугольник ABP ₃ равносторонний, поэтому AP 3  BP 3  AB  l 3.

                                                                          v ^B                    2. 4 1. 714 1/с.

4. Определяем ₃. ₃ ^ _{l 3} ; ₃ _{1. 4} 

5. Определяем v _A . v _A ₃  AP ₃ ₃  l ₃ ; v _A 1. 7141. 4  2. 4 м/с.

l ³ 0. 7 м.; 6. Определяем v _D . v _D ₃  DP ₃; AD  DB  ₂ 

DP ₃   AD ²  l ₃² 2 AD  l ₃  cos , DP ₃ 1. 212 м. v _D 1. 7141. 212  2. 077 м/с 

 

Ответ: ₃ 1. 714 1/с.; v _A 2. 4 м/с; v _D  2. 077 м/с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример решения задачи

 

Задача. Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью =4 1/с.  Ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (рис. 7).

 По пластине вдоль прямой BD движется точка М. Закон ее относительного движения задается уравнением s  AM  f  t  60 t 3  2 t 2; a =20 см; t 1=1 с.

 Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t. 1

Решение. Рассмотрим движение точки как

сложное: v M  v отн  v пер; a M  a отн  a пер  a кор.

7. Определим положение точки: s 1 AM  6012 60 (см. рис. 8).

8. Рассмотрим относительное движение s  AM  f  t  60 t ³ 2 t ².

_отн dsdt ² 4 t ; a _отн  ^ddt ²₂ ^s  606 t  4; v  603 t 

 

Рис. 7

        v 1 603460. см/с; a 1 6064120 см/с

           _отн        ds                                       _отн                                                           ²

dt

9. Рассмотрим переносное движение. Переносное движение это вращение пластины. Найдем расстояние OM. OM  OA ²  AM ² 100 см. 

Переносная скорость точки перпендикулярна отрезку OM и равна v  OM; v  4 100  400 см/с; Переносное ускорение точки пер  пер

 

       складывается из касательного и нормального:   a _пер  a ^ _пер  a _пер ⁿ    ;  

a ^ _пер  OM  0, так как  const; a _пер ⁿ _²  OM; a _пер ⁿ  4² 100 1600 см/с²  

Ускорение Кориолиса по величине равно a _кор  2 v _отн , a _кор  2604  480 см/с² Направление a _кор найдем повернув вектор v _отн на 90 градусов против часовой стрелки (рис. 9).

           

                                        Рис. 8                                                                 Рис. 9

 

10. Определим     абсолютную   скорость точки    М.     v _M  v _отн  v _пер.   

v _M  v _отн ²  v _пер ²  2 v _отн  v _пер  cos ; cos   cos  0. 8; v _M 353. 836 см/с

 

11. Определим абсолютное ускорение точки М. a _M  a _отн  a _пер  a _кор . Введем оси координат xMy. Спроектируем ускорения на эти оси.  

a Mx  a кор  a пер  cos ;	a Mx  800 см/с^2;
a My  a отн  a пер  sin ;	a My 1080 см/с^2;
a M  a Mx 2  a My 2;	a M 1786 см/с^2.

Ответ: v _M 353. 836 см/с; a _M 1786 см/с².

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1]. Определяем v _B . Направление скорости точки В известно, оно параллельно скорости точки Е, следовательно стержень 2 совершает мгновенно поступательное движение и v _B  v _E 2. 4 м/с (рис. 8).

СТАТИКА

Задача 1-С: Плоская система сходящихся сил

 

Плоская система сходящихся сил находится в равновесии. Определите усилия, возникающие в системе согласно вариантам, приведенным в таблице 1.

 

Таблица 1.

№ вар.	Расчетная схема	Условие задачи
1		Определить модуль силы F3 натяжения троса BC, если известно, что натяжение троса AC равно F2=15 H. В положении равновесия углы α=30° и β=75°.
2		Определить вес балки АВ, если известны силы натяжения веревок модуль силы F1=120 H и F2=80 Н. Заданы углы α=45° и β=30° между вертикалью и веревками АС и ВС соответственно.
3		Груз удерживается в равновесии двумя стержнями АС и ВС, шарнирно соединенными в точках А, В и С. Стержень ВС растянут силой F2=45 H, а стержень АС сжат силой F1=17 H. Определить вес груза, если заданы углы α=15° и β=60°.
4		Шарнирный трехзвенник АВС удерживает в равновесии груз, подвешенный к шарнирному болту С. Под действием груза стержень АС сжат силой F2=25 H. Заданы углы α=60° и β=45°. Считая стержни АС и ВС невесомыми, определить усилие в стержне ВС.
5		Груз 1 весом 2 Н удерживается в равновесии двумя веревками АС и ВС, расположенными в вертикальной плоскости. Определить натяжение веревки ВС, если угол α=30°.

 

6		Два невесомых стержня АС и ВС соединены в точке С и шарнирно прикреплены к полу. К шарниру С подвешен груз 1. Определить реакцию стержня ВС, если усилие в стержне АС равно 43 Н, углы α=60° и β=30°.
7		Определить реакцию стержня АС, удерживающего в равновесии груз 1 весом 14 Н с помощью цепи, намотанной на барабан D и перекинутой через блок С, если угол α=30°.
8		Груз 1 весом 20 Н, подвешенный на канате, удерживается в равновесии двумя стержнями ОА и ОВ, расположенными в вертикальной плоскости. Другой конец каната закреплен в точке С. Определить реакцию стержня ОА, если углы α=40° и β=45°.
9		Груз 1 весом 10 Н подвешен с помощью каната, перекинутого через блок С и намотанного на барабан лебедки D. Определить усилие в стержне АС, если углы α=45° и β=60°.
10		Шар 1 весом 16 Н и шар 2 связаны нитью, перекинутой через блок D, и удерживаются в равновесии. Определить вес шара 2, если угол α=30°.
11		Пластина весом G=8 H удерживается в равновесии двумя канатами АВ и CD, расположенными в вертикальной плоскости. Определить натяжение каната CD, если угол α=30°.
12		Два стержня АС и ВС соединены шарнирно в точке С, к которой через блок D подвешен груз 1 весом 12 Н. Определить реакцию стержня ВС, если угол α=60°.