Определение скоростей и ускорений структурных групп

3.5.1. Группа Ассура 1-го вида (рис. 3.7, а)

Дано: скорости точек  и . Определить: скорости точек , , ; угловые скорости звеньев , .

Выразим скорость точки В в виде суммы векторов переносного и относительного движения

;                             (3.31)

     Рис. 3.7. Построение плана скоростей структурной группы 1-го вида.

Скорость точки В неизвестна ни по величине, ни по направлению. Относительные скорости  и  неизвестны по величине, но известны по направлению: ; .   

Система векторных уравнений определима, если число уравнений равно числу неизвестных, умноженному на 2. Наша система содержит два векторных уравнения и четыре неизвестных, то есть является определимой.

Строим план скоростей (рис. 3.7, б). Откладываем произвольный отрезок ра в направлении вектора , определяем масштабный коэффициент

.

С учетом масштабного коэффициента откладываем отрезок рс в направлении вектора

.

Через точку а проводим прямую, перпендикулярную АВ, через точку с —прямую, перпендикулярную ВС. Точка пересечения этих прямых (направлений относительных скоростей) определяет общее решение двух уравнений (3.31).

Скорость точки D определяем по принципу подобия. Для этого строим на отрезке bс подобный и сходственный треугольник ( ~ ). Соединяем полюс с точкой d и определяем скорость точки D

Скорость точки Е определяем также по принципу подобия

                                                  (3.32)

отсюда

                                                  (3.33)

Отложив на отрезке аb плана скоростей длину отрезка ае, со­единяем точку е с полюсом и определяем скорость точки Е:

Далее определяем угловые скорости звеньев

                     (3.34)   

где — угловая скорость звена АВ;

 — угловая скорость звена ВС;

АВ, ВС — отрезки на   плане механизма, изображающие длины звеньев в масштабе;

 — масштабный коэффициент длин.

Для того, чтобы определить направления угловых скоростей, векторы относительных скоростей  и  следует мысленно перенести в точ­ку В плана механизма. Вектор относительной скорости  вращает звено АВ по часовой стрелке, вектор  вращает звено ВС против часовой стрелки (см. рис. 3.7).

Аналогичным образом строится план ускорений. Разница заклю­чается лишь в том, что относительные ускорения раскладываются на две составляющие: нормальную и касательную.

Дано: ускорения точек ,   (рис. 3.8, а). Известны все ско­рости, т. к. план скоростей уже построен (см. рис. 3.7, б).

Определить: ускорения точек , , ; угловые ускорения звеньев , .

Векторные уравнения для построения плана ускорений

 ;                            (3.35) 

Векторы ,  известны по величине и направлению. Величину векторов ,   можно определить, а направления их известны: ;    (вектор направлен от точки В к точке А);
      (вектор направлен от точки В к точке С).

Касательные составляющие относительных ускорений известны только по направлению:   ,         .

Таким образом, имеется два векторных уравнения с четырьмя неизвестными, решая которые, определяем абсолютное ускорение .

 

Рис. 3.8. Построение плана ускорений структурной группы 1-го вида

 

Из полюса  (рис. 3.8, б) откладывается в направлении вектора

отрезок произвольной длины .

Определяем масштабный коэффициент плана ускорений 

.

С учетом масштаба строим все остальные векторы. Ускорение точки С — в виде отрезка

,  вектор πс направлен параллельно а_С.

Из точек а и с откладываем в масштабе векторы   и    параллельно отрезкам АВ и ВС, соответственно.

,      .

Через точки n и n ₁ проводим прямые, соответствующие направ­лениям касательных ускорений (через точку n — перпендикуляр к звену АВ, через точку n ₁ — перпендикуляр к звену ВС).

Точка пересечения этих двух прямых определяет ускорение точки В

Ускорения точек D и Е определяются по правилу подобия; для этого на отрезке bc, изображающем полное относительное ускоре­ние строится треугольник bdc подобный и сходственный с тре­угольником BDC. Находим ускорение точки D

Из пропорционального деления отрезков определяют отрезок, изображающий ускорение точки Е:

,

а затем длину отрезка πе умножают на масштабный коэффициент

Величину и направления угловых ускорений находят по касательным составляющим относительных ускорений (см. рис. 3.8, б)

;                           (3.36)

 

Направления угловых ускорений звеньев определяют, мысленно перенося векторы  и nb с плана ускорений в точку В. Первый вектор вращает звено ВС против часовой стрелки, второй вращает звено АВ по часовой стрелке. Направления угловых ускорений показаны круговыми стрелками (см. рис. 3.8,а).

Группа Ассура 2-го вида

Построение планов скоростей и ускорений рассмотрим на примере кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.9). Порядок построения, обозначения, формулы аналогичны рассмотренным выше, поэтому этот и последующий разделы даны в сокращенной форме, без повторения ранее изложенных правил.

Дано: кинематическая схема механизма; угловая скорость кривошипа .

Определить: скорость и ускорение точки В; угловую ско­рость и угловое ускорение звена АВ.

Механизм образован присоединением к ведущему звену груп­пы Ассура II класса 2-го вида. Выделим эту группу и построим для нее план скоростей (рис. 3.9, б). Скорость точки В определит­ся уравнением:

Известны величина и направление скорости точки А

;     .

Известны также направления скоростей   : ; .

Отрезок ра, изображающий скорость точки А на плане, выби­раем произвольным по величине. Масштабный коэффициент .

Через точку А проводим направление относительной скорости ; через полюс проводим направление абсолютной скорости точки В — горизонтальную прямую, па­раллельную х — х.

Рис. 3.9. Пример построения плана скоростей и ускорений структурной группы 2-го вида: а — план механизма; б — план скоростей; в — план ускорений

Определяем скорость точки В, измерив отрезок р b на плане и умножив его на масштабный коэффициент

.

Угловая скорость звена АВ

 .

Вектор относительной скорости показывает, что звено АВ  вращается против часовой стрелки (см. рис. 3.9).

План ускорений строим по уравнению:

где , вектор направлен от точки А к центру вращения – точке О.

   , вектор направлен от точки В к центру вращения – точке А.

Вектор касательного ускорения .

Векторабсолютного ускорения a_B направлен параллельно x - x.

Точка пересечения направлений двух последних векторов определяет абсолютное ускорение, а также направление и величину касательного ускорения. На плане ускорений, построенном с учетом масштабного коэффициента , правая часть уравнения изображена соот­ветствующими векторами , , . Результирующий вектор  изображает абсолютное ускорение точки В.

Угловое ускорение звена АВ  находим по касательной состав­ляющей

Направление углового ускорения находим, перенося вектор ка­сательной составляющей ускорения  в точку В механизма (см. рис. 3.9, в, а).

 

Группа Ассура 3-го вида

Построение планов скоростей и ускорений рассмотрим на при­мере кулисного механизма, который образован присоединением к механизму I класса группы Ассура II класса 3-го вида (рис. 3.10).

Дано: кинематическая схема механизма; угловая скорость кривошипа .

Определить: скорость и ускорение точек В' и D кулисы; угловую скорость и угловое ускорение кулисы.

Строим план скоростей (рис. 3.10, б) по векторному уравне­нию

где  — скорость точки В', принадлежащей кулисе;

   — скорость точки В конца кривошипа и кулисного камня;

   — относительная, скорость движения камня по кулисе.

 ;

перпендикулярна кулисе DC; параллельна DC.

Имеем одно векторное уравнение с двумя неизвестными: величиной V_В' и величиной V_В'В. Перпендикулярно радиусу вращения (длине кривошипа) АВ откладываем отрезок произвольной величины, изображающий известную скорость . Масштабный коэффи­циент плана скоростей .

Через точку b   проводим направление относительной скорости (параллельно кулисе DC); через полюс — направление абсолютной скорости точки В'   (перпендикулярно кулисе). Точка пересечения определяет скорость точки В' кулисы

Рис. 3.10. Пример построения плана скоростей и ускорений структурной группы 3-го вида: а — план механизма; б — план скоростей; в — план ускорений.

 

Скорость точки D находим по принципу подобия: строим на плане скоростей отрезок pd, пропорциональный длине кулисы CD

 .

Абсолютная скорость точки D определяется отрезком pd с учетом масштабного коэффициента .

Угловая скорость кулисы определится из соотношения

Направление угловой скорости находим, мысленно перенося вектор относительной скорости с плана скоростей в соответствующую точку механизма. Кулиса вращается по часовой стрелке (см. рис. 3.10, а, б).

План ускорений строим по векторному уравнению

где  - нормальное ускорение переносного движения (ускорение точки В конца кривошипа и кулисного камня). Вектор нормального ускорения направлен параллельно АВ от точки В к точке А. Откладываем в этом направлении отрезок произвольной величи­ны (рис. 3.10, в) и определяем масштабный коэффициент плана ускорений

Второй член уравнения — Кориолисово ускорение, вычисляем его по формуле:

,

где    (см. рис. 3.10, б).

Направление Кориолисова ускорения определяем поворотом век­тора относительной скорости (bb' — на плане скоростей) на 90° в направлении угловой скорости кулисы . Из точки b (рис. 3.10, б) откладываем
в масштабе величину Кориолисова ускорения

Через точку k проводим параллельно С D направление релятивного ускорения. Величина этого ускорения неизвестна, поэтому требуется составить еще одно векторное уравнение. Кулиса вращается нерав­номерно, поэтому ускорение точки В во вращательном движении вокруг точки С складывается из нормального и касательного

где , так как С — неподвижная точка, и ее ускорение изображается на плане нулевым отрезком (совпадает с полюсом).

  ;  вектор направлен параллельно ВʹС.

Откладываем в направлении от В' к С отрезок, изображающий нормальную составляющую ускорения (см. рис. 3.10, в):

.

Через точку n проводим направление касательного ускорения (перпендикулярно кулисе). Получаем точку пересечения b', которая определяет ускорение точки В' кулисы

Ускорение точки D находим по принципу подобия

;  .

Угловое ускорение кулисы определяем по касательной состав­ляющей , которая на плане ускорений изображается отрезком

Направление углового ускорения находим, перенося вектор  
(рис. 3.10, в) в точку В' кулисы (рис. 3.10, а). Угловое ускорение направлено против часовой стрелки.

 

3.6. Аналоги скоростей и ускорений

Во многих случаях при проектировании машин и механизмов законы движения звеньев в функции времени можно определить только на последующих стадиях проектирования, обычно после динамического анализа с учетом приложенных сил [2, с. 61].

В таких случаях движение звеньев определяется в два этапа: сначала устанавливаются зависимости кинематических параметров в функции обобщенной координаты (угла поворота ведущего звена), а затем определяется закон изменения обобщенной координаты во времени. Для выполнения подобных расчетов вводятся понятия аналогов скоростей и ускорений.

Аналогом скорости какой-либо точки называется первая производная радиус-вектора этой точки по обобщенной координате. Для поступательного движения перемещение точки можно считать равным радиус-вектору. Тогда аналог скорости согласно определению

                                        (3.37)

где - обобщенная координата (угол поворота звена 1);

 - перемещение точки i -ro звена.

Скорость данной точки , поэтому

                                                       (3.38)

Учитывая формулу (3.37), получаем связь между истинной ско­ростью и ее аналогом:

                                                     (3.39)

где - угловая скорость начального звена.   

Физический смысл аналога скорости - это скорость той же точки при ; единица измерения аналога скорости - метр.

Аналогом ускорения точки называется вторая производ­ная радиус-вектора точки по обобщенной координате.

Чтобы установить связь ускорения с аналогом ускорения продифференцируем (3.39) по времени

                       (3.40)

Окончательно получим

                                (3.41)

где - ускорение точки i -го звена;

- аналог ускорения той же точки;

 - угловое ускорение начального звена.

При вращательном движении звена вводятся понятия анало­гов угловых скоростей и ускорений.

Аналогом угловой скорости называется первая про­изводная от угла поворота по обобщенной координате механизма

 ,                                        (3.42)

 Где  - угол поворота i -го звена.

Угловая скорость звена связана с ее аналогом соотношением:

                                                 (3.43)

Аналогом углового ускорения называется вторая производная от угла поворота звена по обобщенной координате механизма. Дифференцируя (3.43) по времени, получим

                                     (3.44)

Из формул (3.43) и (3.44) видно, что аналоги угловых скоро­стей и угловых ускорений являются безразмерными величинами.

3.7. Графическое дифференцирование и интегрирование как
метод кинематического анализа

Графическое изображение изменения основных кинематических параметров механизма за полный цикл движения называется кинематической диаграммой.

Если одна из кинематических функций задана в форме графика или в виде таблицы значений, то найти производную или интеграл от этой функции непосредственно в аналитической форме невозможно. В этом случае используют методы графического дифференцирования и интегрирования.

Основное достоинство данного метода, как и у большинства графических методов, - это наглядность и простота; недостаток - невысокая точность по сравнению с аналитическими методами. Метод основан на геометрическом смысле производной, которая представляет собой тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой к оси абсцисс.

Обычно кривую заменяют ломаной линией и принимают следующее допущение: угол наклона касательных в точках, расположенных посередине каждого участка кривой, равен углу наклона соответствующей хорды. Это вносит некоторую погрешность, но она не суммируется, что обеспечивает приемлемую точность метода [2, с. 110].

На рис. 3.11 изображена кинематическая диаграмма перемещений точки в масштабе. Пусть за бесконечно малый промежуток времени Δt перемещение точки увеличилось на ΔS. Тогда скорость точки на этом участке определится из выражения   

                                 (3.45)

 

Рис. 3.11. К определению кинематических параметров методом кинематических диаграмм.

 

Из чертежа (см. рис. 3.11) следует, что ΔS/Δt =tgα, а с учетом принятого допущения это и есть первая производная (в пределе хорда превратится в касательную). Поэтому

                         (3.46)

Проведем из точки Р, расположенной влево от оси абсцисс на произвольном расстоянии Н, прямую, параллельную хорде ab, до пересечения с осью ординат. Эта прямая отсекает на оси ординат отрезок ОА, длина которого определяется из треугольника АОР

                                         (3.47)

Разделив (3.46) на (3.47), получим

                                     (3.48)

Правая часть уравнения содержит только постоянные величи­ны, следовательно, она является также величиной постоянной и представляет собой масштабный  коэффициент  скоро­сти.

                             (3.49)

Таким образом, отрезок ОА, отсекаемый лучом РА на оси ординат, изображает скорость на бесконечно малом участке Δt в масштабе скоростей μ _V.

 

3.8. Метод кинематических диаграмм