Мощность в цепи переменного тока

 

Пусть на некотором участке цепи с переменным током сдвиг фаз между током и напряжением равен , т.е. сила тока и напряжение изменяются по законам:

, .

 

Тогда мгновенное значение мощности, выделяемой на участке цепи,

 

.

 

Мощность изменяется со временем. Поэтому можно говорить лишь о ее среднем значении. Определим среднюю мощность, выделяемую в течение достаточно длительного промежутка времени (во много раз превосходящего период колебаний):

.

 

С использованием известной тригонометрической формулы

 

получим

.

 

Величину  усреднять не нужно, так как она не зависит от времени, следовательно:

.

 

За длительное время значение косинуса много раз успевает измениться, принимая как отрицательные, так и положительные значения в пределах от (-1) до 1. Понятно, что среднее во времени значение косинуса равно нулю

 

, поэтому                  (4.30)

 

Выражая амплитуды тока и напряжения через их эффективные значения по формулам (4.28) и (4.29), получим

 

 .                                    (4.31)

 

Мощность, выделяемая на участке цепи с переменным током, зависит от эффективных значений тока и напряжения и сдвига фаз между током и напряжением. Например, если участок цепи состоит из одного только активного сопротивления, то  и . Если участок цепи содержит только индуктивность или только ёмкость, то  и .

Объяснить среднее нулевое значение мощности, выделяемой на индуктивности и ёмкости можно следующим образом. Индуктивность и ёмкость лишь заимствуют энергию у генератора, а затем возвращают её обратно. Конденсатор заряжается, а затем разряжается. Сила тока в катушке увеличивается, затем снова спадает до нуля и т. д. Именно по той причине, что на индуктивном и ёмкостном сопротивлениях средняя расходуемая генератором энергия равна нулю, их назвали реактивными. На активном же сопротивлении средняя мощность отлична от нуля. Другими словами провод с сопротивлением  при протекании по нему тока нагревается. И энергия, выделяемая в виде тепла, назад в генератор уже не возвращается.

Если участок цепи содержит несколько элементов, то сдвига фаз  может быть иным. Например, в случае участка цепи, изображенного на рис. 4.5, сдвиг фаз между током и напряжением определяется по формуле (4.27).

Пример 4.7.  К генератору переменного синусоидального тока подключён резистор с сопротивлением . Во сколько раз изменится средняя мощность, расходуемая генератором, если к резистору подключить катушку с индуктивным сопротивлением  а) последовательно, б) параллельно (рис. 4.10)? Активным сопротивлением катушки пренебречь.

Решение. Когда к генератору подключено одно только активное сопротивление , расходуемая мощность

(см. формулу (4.30)).

 

Рассмотрим цепь на рис. 4.10, а. В примере 4.6 было определено амплитудное значение силы тока генератора: . Из векторной диаграммы на рис. 4.11,а определяем сдвиг фаз между током и напряжением генератора

.

 

 В результате средняя расходуемая генератором мощность

 

.

 

Ответ: при последовательном включении в цепь индуктивности средняя мощность, расходуемая генератором, уменьшится в 2 раза.

Рассмотрим цепь на рис. 4.10,б. В примере 4.6 было определено амплитудное значение силы тока генератора . Из векторной диаграммы на рис. 4.11,б определяем сдвиг фаз между током и напряжением генератора

.

 

Тогда средняя мощность, расходуемая генератором

 

.

 

Ответ: при параллельном включении индуктивности средняя мощность, расходуемая генератором, не изменяется.

 

Электромагнитные волны

 

    Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. В зависимости от природы волны колебания совершают различные физические величины. Например, в случае звуковых волн распространяются деформации в какой-то среде. Распространение волн происходит потому, что частицы среды связаны между собой упругими силами, способными вызывать колебания. Поэтому если сместить из положения равновесия какую-либо частицу среды, то начнет смещаться и соседняя частица и т. д. Вместе с колебаниями частиц колебания совершают плотность, давление, концентрация частиц в среде.

    Проще всего представить себе морские волны. Длиной волны () называется расстояние между соседними гребнями (в случае звуковой волны – расстояние между ближайшими точками с максимальными плотностью или давлением). Эквивалентное определение: длина волны – это расстояние, которое волна проходит за время, равное периоду колебаний . В однородных средах волны распространяются с постоянной скоростью. Поэтому, исходя из определения длины волны, можно записать: . Учитывая связь периода и частоты , получаем формулу, связывающую длину волны, скорость волны и частоту колебаний в волне любой природы:

 

 .                                          (4.32)

 

Например, если за одну минуту (60 с) на берег приходит 10 волн, а расстояние между гребнями  м, то частота  (Гц), а скорость волн  (м/с).

    Примером электромагнитной волны является свет. Она представляет собой распространение в пространстве электрических и магнитных полей. Существование электромагнитных волн впервые теоретически предсказал Максвелл. Этот факт следует из его уравнений (см. п. 3.19). Изменяющееся (переменное) электрическое поле вызывает появление в окружающем пространстве изменяющегося магнитного поля. В свою очередь изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле и т. д. Таким образом, переменные электрическое и магнитное поля образуют электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве. Так как существование электромагнитных волн никоим образом не связано со средой, они, в отличие от звуковых волн, могут распространяться в вакууме. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме или скорость света  м/с. Ни один материальный объект в инерциальной системе отсчета не может иметь скорость большую, чем скорость света.

    Электромагнитная волна является поперечной волной, т.е. колебания векторов напряженности электрического поля () и магнитного поля () происходят перпендикулярно направлению распространения волны (рис. 4.12). При этом .

Конечно, когда мы смотрим на луч света, невозможно догадаться, что свет – волна, и тем более, электромагнитная волна. Огибающую векторов напряженностей полей мы не видим, и не можем «на глаз», как в случае морских волн, оценить длину волны. Экспериментальным доказательством волновой природы света являются опыты по интерференции и дифракции света, которые изучают в разделе «Оптика». А простейшим прибором для определения длины волны света является дифракционная решётка.

    Итак, при распро­странении электромагнитной волны в каждой точке, через которую проходит волна, колебания совершают напря­женности электрического и магнитного полей. Если коле­бания электрического вектора  происходят все время параллельно какому-то одному направлению, то волна называется линейно поляри­зован­ной. При этом колебания вектора  будут также происходить вдоль какого-то одного направления, поскольку . На рис. 4.12 колебания вектора  происходят вдоль оси x, а колебания вектора - вдоль оси y. Важным случаем электромагнитных волн является волна, в которой вектора  и  изменяются по гармоническому закону с какой-то циклической частотой . Такая волна называется монохроматической. В этом случае для напряженности электрического поля в какой-то фиксированной точке пространства с координатой z можно записать , где  - время колебаний в точке с координатой . Предположим, что в точке с координатой  находится источник волны, тогда колебания в «нашей» точке  начнутся лишь через время  с момента начала распространения волны. Поэтому , где  - время работы источника волны. Таким образом

.

 

Поскольку , а  (см. 4.32), то

 

                                 (4.33)

 

Уравнение (4.33) называется уравнением линейно поляризованной волны или, сокращенно, уравнением плоской волны.

    Из уравнения (4.33) следует, что плоская волна представляет собой периодический процесс, как во времени, так и в пространстве. Если рассматривать какую-то фиксированную точку с координатой z ₀, то слагаемое  становится постоянным, и уравнение (4.33) для данной точки пространства

,

где  - постоянная, играющая роль начальной фазы колебаний. Последнее уравнение показывает, что в любой фиксированной точке оси z ₀ происходит периодический во времени процесс колебаний вектора напряженности электрического поля. Если зафиксировать какой-то момент времени , т.е. «заморозить волну» - «остановить» колебания векторов , тогда уравнение (4.33) можно записать так

 

.

 

В данном случае . Последнее уравнение указывает на пространственную периодичность плоской волны: огибающая всех векторов  в любой фиксированный момент времени представляют собой синусоиду. Именно в виде синусоиды волны и показывают на рисунках (см., например рис. 4.12).

    Пространственную и временную периодичность волн просто понять, рассматривая морские волны. Линия, огибающая поверхность моря в любой момент похожа на синусоиду – это пространственная периодичность. Если на море плавает чайка, то она движется вверх-вниз – это периодичность во времени.

Шкала электромагнитных волн

Электромагнитные волны могут иметь различные частоты и, соответственно, различные длины (). Классификация электро­маг­нит­ных волн по частотам называется шкалой электромагнитных волн. Границы частот являются условными.

    Волны с частотами менее 10⁵ Гц (длинами волн более 3000 м) называются длинными волнами. Далее, радиоволны имеют частоты от 10⁵ до 3·10¹⁰ Гц (длины волн от 3000 м до 1 см). Далее следует микроволновая область: частоты от 3·10¹⁰ до 6·10¹¹ Гц (длины волн от 1 см до 0,5 мм). Источники излучения длинных волн, радиоволн и миллиметровых волн являются электрические токи в антеннах, электроны небольших энергий, движущиеся в электрических и магнитных полях.

    К микроволновой области примыкает диапазон инфракрасных волн: частоты от 6·10¹¹ до 4,3·10¹⁴ Гц (длины волн от 0,5 мм до 0,76 мкм = 760 нм). Источниками излучения инфракрасных волн являются молекулы любого нагретого вещества. Например, инфракрасные волны излучают все окружающие нас тела при комнатной температуре.

    Электромагнитные волны с частотами от 4,3·10¹⁴ Гц до 7,6·10¹⁴ Гц (длинами волн от 760 нм до 380 нм) лежат в области чувствительности человеческого глаза, т.е. представляют собой видимый свет. Свет с длиной волны 760 нм, распространяющийся в вакууме, соответствует темно-красному цвету, а свет с длиной волны 380 нм – темно-фиолетовому. Отметим, что при переходе в достаточно плотные среды скорость световых волн и длина световой волны заметно изменяются, а частота волн остается без изменения. Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется абсолютным показателем преломления среды (точно также соотносятся и длины волн). За ощущение цвета ответственна частота волны. Поэтому, например, красный мяч останется красным, если его разглядывать под водой.

    Потом следуют ультрафиолетовые волны:частоты от 7,6·10¹⁴ Гц до 5·10¹⁶ Гц (длины волн от 380 нм до 6 нм). Источниками видимого и ультрафиолетового излучения являются атомы и молекулы, валентные электроны которых (электроны внешних орбиталей, расположенных далее всего от ядра) находятся в возбужденных состояниях, а также заряженные частицы высоких энергий.

    Далее лежит область рентгеновского излучения: частоты от 5·10¹⁶ Гц до 3·10¹⁹ Гц (длины волн от 6 нм до 0,01 нм). Рентгеновские лучи испускаются электронами при столкновениях с тяжелыми металлами, а также при переходах электронов в атомах с внешних орбиталей высоких энергий на внутренние орбитали, расположенные вблизи ядра.

    И, наконец, излучение еще более высокой частоты называется γ- излучением. Гамма-лучи испускаются возбужденными ядрами атомов, например, при распадах некоторых радиоактивных элементов.