Закон ома для переменного тока.

Активное и реактивное сопротивления

Рассмотрим цепь, включающую в себя все три элемента ,  и , включённые последовательно (рис. 4.5). Подставим в выражение для амплитуды заряда (4.20) значения

 

, , .

 

Тогда формула (4.20) приводится к виду

 

,

 

а зависимость заряда конденсатора от времени (4.19) примет вид

 

.

 

Сила тока в цепи

.

 

Таким образом, ток в цепи совершает гармонические колебания с амплитудой

 

.

 

Для удобства переобозначим циклическую частоту колебаний внешней ЭДС . Тогда:

              (4.23)

 

Величина  называется реактивнымсопротивлением цепи, сопротивление  - активнымсопротивлением цепи.

Термин «активноесопротивление» используется в том смысле, что именно на этом сопротивлении рассеивается энергия в виде тепла.

Величина  называется полным сопротивлением цепи.

Формулу (4.23), связывающую амплитудные значения тока и напряжения, можно записать в виде, формально совпадающим с законом Ома для участка цепи в случае постоянного тока

 

.                                              (4.24)

 

Уравнение (4.24) представляет собой закон Ома для переменного тока.

Наибольшее амплитудное (резонансное) значение силы тока будет при наименьшем значении знаменателя в уравнении (4.23), т.е. когда .

 

 При .

 

Последнее уравнение представляет собой условие резонанса для тока: амплитуда силы тока максимальна при совпадении частоты внешней ЭДС и собственной частоты контура. Вспомним, что амплитуда заряда достигает максимального значения при условии . Условия для резонанса тока и заряда конденсатора практически совпадают при небольших затуханиях.

    В резонансе полное сопротивление цепи переменному току равно активному сопротивлению: . При этом амплитудное значение тока .

        

Метод векторных диаграмм

 

Закон Ома для амплитуд переменных токов внешне напоминает закон Ома для постоянного тока. А как выглядят законы последовательного и параллельного соединения элементов в цепи переменного тока? Как можно рассчитать токи и напряжения на отдельных элементах в случае разветвлённых цепей?

    Если два синусоидальных тока  и  сходятся в узле, то суммарный ток, вытекающий из узла . Очевидно, что амплитуда суммарного тока в общем случае может быть не равна сумме амплитуд втекающих в узел токов: . Действительно, колебания токов  и  происходят с некоторой разностью фаз (величины  и - разные), а значит, токи  и   не одновременно достигают максимума или минимума.

    Сложить два колебания одинаковой частоты можно, используя метод векторных диаграмм (рис. 4.8). В плоскости x 0 y из начала координат проводятся векторы, длины которых равны  и  под углами  и  с положительным направлением оси 0 x, откладываемыми против часовой стрелки. Тогда вектор I ₀, равный сумме этих векторов, будет иметь параметры результирующего колебания: его длина равна амплитуде, а угол с положительным направлением оси 0 x - начальной фазе результирующего колебания. Таким образом, сумма двух гармонических колебаний одинаковой частоты, амплитуды которых равны  и , а начальные фазы -  и , представляет собой гармоническое колебание той же самой частоты с амплитудой

 

                      (4.25)

 

и начальной фазой , определяемой из уравнения

 

 .                             (4.26)

 

Точно так же складываются напряжения при последовательном соединении элементов цепи.

    Итак, складывать токи и напряжения в цепи с переменным синусоидальным током нужно векторно. Законы для последовательного и параллельного соединения двух элементов можно записать в виде

 и  соответственно.

 

    Приведём несколько примеров.

Сначала ещё раз рассмотрим цепь, состоящую из активного сопротивления, индуктивности и ёмкости, соединённых последова­тельно (рис. 4.5). Пусть амплитуда силы тока в цепи равна  (сила тока будет одинакова для всех трёх элементов). Отложим вектор  вдоль оси x (рис. 4.9). По закону Ома амплитуды напряжений на отдельных элементах цепи

, , .

Вектор   направлен вдоль оси 0 x так как напряжение на активном сопротивлении колеблется в одной фазе с током. Так как напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на , вектор  повёрнут относительно оси 0 x на угол  против часовой стрелки, т.е. направлен вдоль положительного направления оси 0 y. Так как напряжение на ёмкости отстаёт от тока по фазе на , вектор  повёрнут относительно оси 0 x на угол  по часовой стрелке, т.е. направлен вдоль отрицательного направления оси 0 y. По закону последовательного соединения амплитуду  суммарного напряжения в цепи найдём из векторного уравнения: . Сначала удобно сложить противоположно направленные вектора  и . Их сумма равна вектору, направленному вдоль оси 0 y и по величине равному , где  - реактивное сопротивление цепи. Далее по теореме Пифагора находим величину результирующего вектора

 

.

 

Последняя формула в точности совпадает с формулой (4.23).

    Используя векторную диаграмму, легко найти сдвиг фаз между током в цепи и суммарным напряжением на концах цепи. Сдвиг фаз равен углу  между векторами   и . Из прямоугольного треугольника

 

 .                               (4.27)

 

Для нормального функционирования электрической схемы параметры всех её элементов должны быть точно рассчитаны. Как правило, расчёт электрических цепей с переменным током, содержит больше нюансов по сравнению со схемами питания постоянным током. Например, вблизи резонанса напряжение на отдельном элементе схемы может во много раз превышать амплитуду напряжения генератора.

Пример 4.5. Рассчитать допустимую амплитуду напряжения генератора  в электрической цепи на рис. 4.5, если пробой конденсатора наступает при напряжении  В. Параметры схемы:  мкФ,  Гн,  Ом, частота генератора  Гц.

Решение. Циклическая частота генератора , индуктивное и ёмкостное сопротивления:

 (Ом),  (Ом).

Полное сопротивление цепи

 (Ом).

Для того, чтобы не было пробоя конденсатора, амплитуда напряжения на нём не должно превышать значение : . Амплитуда напряжения на конденсаторе . По закону Ома (4.24) амплитуда тока в цепи . Таким образом

 

,  (В).

 

 Вывод: амплитуда напряжения генератора ~ 8 В приведёт к пробою конденсатора, выдерживающего напряжение 500 В!

Пример 4.6. К генератору переменного синусоидального тока подключён резистор с сопротивлением . Во сколько раз изменится амплитуда силы тока генератора, если к резистору подключить катушку с индуктивным сопротивлением  а) последовательно, б) параллельно? Активным сопротивлением катушки пренебречь.

Решение. Соответствующие схемы представлены на рис. 4.10, а, б. Векторная диаграмма для схемы на рис. 4.10, а строится аналогично диаграмме на рис. 4.9. Вдоль оси 0 x отложим вектор амплитуда тока . Тогда вектора амплитуд напряжений   и  на сопротивлении  и индуктивности  будут направлены вдоль осей 0 x и 0 y соответственно (рис. 4.11, а). Суммарное напряжение или амплитуду напряжения генератора  найдём по теореме Пифагора:

.

 

Далее находим амплитуду силы тока  

.

 

Так как по условию задачи , получаем:

 

.

Поскольку в отсутствие катушки , можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора при последовательном включении в цепь катушки уменьшится в  раз. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы последовательно включили ещё одно такое же активное сопротивление , амплитуда силы тока уменьшилась бы в 2 раза.

Теперь рассмотрим параллельное включение в цепь катушки (рис. 4.10,б). По закону параллельного соединения . При построении векторной диаграммы в этом случае удобно сначала отложить вектор амплитуды напряжения в цепи  вдоль оси 0 x (рис. 4.11,б). Тогда, поскольку ток и напряжение на активном сопротивлении колеблются в одной фазе, вектор амплитуды силы тока  через сопротивление  будет направлен так же вдоль оси 0 x. Поскольку колебания тока через индуктивность отстают от напряжения по фазе на , вектор амплитуды силы тока  будет направлен антипараллельно оси 0 y. По закону параллельного соединения амплитуда суммарного тока генератора: . Так как вектора  и  взаимно перпендикулярны, то  и с использованием закона Ома для отдельных участков цепи получаем

 

.

 

Так как по условию задачи , получаем соотношение

 

,

 

из которого можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора при параллельном включении в цепь катушки увеличится в  раз. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы параллельно включили в цепь ещё одно такое же активное сопротивление , то суммарное сопротивление уменьшилось бы в 2 раза, а амплитуда силы тока генератора возросла в 2 раза.