Тема 1.4. Методы расчёта электрических цепей.

Овладение методами расчёта сложных цепей.

Задача 4.

1. Определить токи в ветвях методами:

- законов Кирхгофа;

- наложения;

- узлового напряжения;

- ток в первой ветви метом эквивалентного генератора.

1. Составить баланс мощности.

Рисунок 11.

 

 

Номер варианта	Номер ветви	Номер варианта	Номер ветви	Номер варианта	Номер ветви		ЕN	RN	RiN
1	1, 2, 3	11	1, 3, 6	21	1, 4, 10		–	R1 = 20 Ом	–
2	1, 2, 4	12	1, 3, 7	22	1, 5, 6		Е2 = 30 В	R2 = 28 Ом	Ri2 = 2 Ом
3	1, 2, 5	13	1, 3, 8	23	1, 5, 7		Е3 = 40 В	R3 = 35 Ом	Ri3 = 5 Ом
4	1, 2, 6	14	1, 3, 9	24	1, 5, 8		Е4 = 60 В	R4 = 27 Ом	Ri4 = 3 Ом
5	1, 2, 7	15	1, 3, 10	25	1, 5, 9		Е5 = 40 В	R5 = 30 Ом	Ri5 = 10 Ом
6	1, 2, 8	16	1, 4, 5	26	1, 5, 10		Е6 = 20 В	R6 = 16 Ом	Ri6 = 4 Ом
7	1, 2, 9	17	1, 4, 6	27	1, 6, 7		Е7 = 50 В	R7 = 24 Ом	Ri7 = 6 Ом
8	1, 2, 10	18	1, 4, 7	28	1, 6, 8		Е8 = 40 В	R8 = 18 Ом	Ri8 = 2 Ом
9	1, 3, 4	19	1, 4, 8	29	1, 6, 9		Е9 = 10 В	R9 = 8 Ом	Ri9 = 2 Ом
10	1, 3, 5	20	1, 4, 9	30	1, 6, 10		Е10 = 20 В	R10 = 17 Ом	Ri10 = 3 Ом

ПРИМЕР.

Дано:   Найти:

Е1 = 10 В;         Е2 = 30 В; Ri1 = 1 Ом; Ri2 = 2 Ом; R1 = 11 Ом; R2 = 18 Ом; R3 = 10 Ом; R4 = 8 Ом. все токи.

Рисунок 12.

Решение.

Решение методом уравнений Кирхгофа.

Определяем число узлов цепи n =2и обозначаем их через А и В Определяем число ветвей цепи m = 3. Произвольно выбираем направления токов в ветвях и указываем их на схеме (рис. 13). Число токов в цепи равно числу ветвей. Для определения токов в ветвях составляем систему трех уравнений, так как m = 3. По первому закону Кирхгофа составляем N-1=1 уравнение, например, для узла А: .

Рисунок 13.

 

Остальные m - (n - 1) = 2 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа, например, для контура, состоящего из первой и второй ветвей и контура, со­стоящего из второй и третьей ветвей. Направление обхода каждого контура вы­бираем произвольно, например, по часовой стрелке. Записываем уравнения:

Получили систему уравнений:

Подставляя числовые значения сопротивлений и ЭДС, получаем:

Упрощая уравнения, получаем систему уравнений:

Для решения системы выразим значения I₁ и I₃ из второго и третьего уравнений:

.

Подставив эти значения в первое уравнение, определим ток I₂.

.

Токи I ₁ и I ₃ определим из второго и третьего уравнений, подставив в них зна­чение I₂:

.

Знак «минус» перед значением I₃ показывает, что действительное направле­ние тока противоположно произвольно выбранному. Указываем действительное направление тока I₃ штриховой стрелкой (см. рис. 13). Значения токов I₁ и I₂ получены со знаком «плюс», следовательно, их действительные направления совпадают с произвольно выбранными.

Составляем баланс мощностей. Оба источника цепи являются генераторами, так как направления их ЭДС совпадают с направлениями токов тех ветвей, в которые они включены. Поэтому мощности источников Р_и1 и Р_и2 записываются со знаком «плюс»:

.

 

Решение методом узлового напряжения.

Обозначаем узлы цепи через А и В инаправляем токи всех ветвей к одному узлу, например А(рис. 14).

Рисунок 14.

Проводимость ветвей цепи:

;

;

.

Узловое напряжение:

.

В этой формуле значение Е₁записывается со знаком «плюс», так как на правления I₁ и Е₁ совпадают, а E₂ записывается со знаком «минус», так как направления I₂ и Е₂ противоположны.

Токи в ветвях:

;

;

.

Знак «минус» перед значением I₂ показывает, что действительное направ­ление I₂ противоположно выбранному. Указываем штриховой стрелкой (рис. 14) действительное направление I₂.

 

Решение методом наложения.

Рисунок 15.

Рисунок 16.

 

Выполняем расчет цепи (рис. 15), когда в ней действует один источник с Е₁. Принимаем E₂ = 0, а внутреннее сопротив­ление второго источника R_i2 оставляем в цепи. Сопротивления второй и третьей ветвей соединены параллельно между уз­лами А и В. Эквивалентное сопротивление участка АВ:

.

 

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

.

Общий ток цепи: .

Напряжение на участке АВ:    .

Токи: ;   _.

Выполняем расчет цепи (рис. 16), когда в ней действует один источник с Е₂, принимаем е₁ = 0, а внутреннее сопротивление первого источника R_i1 ос­тавляем в цепи. Сопротивления первой и третьей ветвей соединены параллель­но между узлами А и В. Эквивалентное сопротивление участка АВ:

.

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

.

Общий ток цепи: .

Напряжение на участке АВ:    .

Токи: ;  _.

Применяя метод наложения, определяем токи заданной цепи (см. рис. 14), созданные совместным действием источников. В первой ветви токи I'₁ и I''₁, (см. рис. 15 и 16) имеют одинаковое направление (к узлу А), поэтому  и направлен к узлу А.

Во второй ветви токи I'₂ и I''₂ (см. рис. 15 и 16) имеют одинаковое направление (к узлу В), поэтому  и направлен к узлу В.

В третьей ветви токи I'₃ и I''₃ (см. рис. 15 и 16) имеют противоположные направления, причем I''₂ > I'₂, поэтому  и направлен, как и ток I''₃, к узлу А.