Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

Из этого определения следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Веро­ятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (особенно для большого числа ис­пытаний) среднему арифметическому значений случайной величины. Это хорошо видно в случае, когда вероятности всех возможных значений дискретной случайной величины равны:

p_i - p = 1/n; из формулы (15.5) получаем

     (15.6)

Пример 1. Найти математическое ожидание количества оч­ков, выпадающих при бросании игральной кости.

РЕШЕНИЕ. Выпадение каждой грани кубика от одного оч­ка до шести имеет одинаковую вероятность р = 1/6. Следова­тельно, по формуле (15.6) получаем искомое математическое ожидание:

М(Х) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5.

Пример 2. Найти математическое ожидание числа невозврата кредитов по данным примера 4 п. 15.1.

Решение. Воспользуемся итоговой таблицей распре деле ния дискретной случайной величины, полученной в этом при­мере, и формулой (15.6); находим

М(Х) = 5 • 0,00032 + 4 • 0,0064 + 3 • 0,0512+

+2 • 0,2048 + 1 • 0,4096 + 0 • 0,32768 = 1.

Свойства математического ожидания

Математическое ожидание обладает рядом свойств, кото­рые указаны ниже.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной вели­чины С равно этой постоянной:

М(С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х).

Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М(Х₁ + Х₂ + • • • + Х_т) = М(Х 1) + М(Х₂) + • • • + М(Х_т).

Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их ма­тематических ожиданий:

М(Х ₁ Х ₂...Х_т) = М(Х ₁ )М(Х ₂ )...М(Х_т).

Пример 3. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и ре­кламу автомобилей в некотором автосалоне составляют в сред­нем 100 тыс. р., а число продаж X автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения:

       X 0 12 3 4 5 6    7       8      9

       Р 0,25 0,2 0,1  0,1  0,1  0,1 0,05 0,05 0,025 0,025..

Так как  

то М(Х) = 0,2 +0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,3 + 0,35 +0,2 + 0,0225 = 2,675  

Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене на машину 150 тыс. р.

Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по фор­муле

П = (150Х — 100) тыс. р.

Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных выше свойств математического ожидания (в тыс. р.):

М(П)=М(150Х—100)=150М(Х) —100=150 • 2,675-100=301,25.

Если в п независимых испытаниях вероятность появления в каждом из них события А постоянна, то ответ на вопрос о сред­нем числе появления события А дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 15.1. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в п независимых испытаниях равно про­изведению числа испытаний на вероятность появления собы­тия в каждом испытании:

М(Х) = пр. (15.7)

Пример 4 • Найти математическое ожидание числа выигрыш­ных лотерейных билетов, если вероятность выигрыша по одному билету равна 0,015, причем куплено 200 билетов.

Решение. Поскольку приобретение каждого билета яв­ляется независимым испытанием относительно появления со­бытия А — выпадения выигрыша, то здесь применимы теоре­ма 15.1 и формула (15.7). В нашем случае п = 200, р = 0,015, откуда мы получаем

М (200) = 200 • 0,015 = 3.

 

Дисперсия дискретной случайной величины

Как уже говорилось выше, математическое ожидание яв­ляется средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой причине рассматриваются и другие числовые харак­теристики. Пусть X — случайная величина, а М (X) — ее ма­тематическое ожидание.

Определение 2. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением.

Пусть закон распределения случайной величины X дается формулой (15.1), тогда отклонение Х—М(Х) имеет следующий закон распределения:

Отклонение имеет важное свойство, которое устанавливается непосредственно из свойств математического ожидания:

т.е. математическое ожидание отклонения равно нулю.

Пример 5. По данным примера 3 найти закон распределения отклонения числа проданных за день автомашин.

Решение. Как было подсчитано в примере 3, М(Х) = 2,675. Тогда, согласно (15.8), искомый закон определяется следующей таблицей:

На практике важной характеристикой является рассеяние¹ возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Среднее значение отклонения, согласно (15.9), рав­но нулю, так как суммируются отрицательные и положитель­ные отклонения (см. пример 5), поэтому целесообразно ввести в рассмотрение абсолютные значения отклонений или их квад­раты.

 

Определение 3. Математическое ожидание квадрата откло­нения называется дисперсией или рассеянием:

D (X) = M [ X - M (X)]².        (15.10)

Пусть случайная величина задана законом распределения (15.1), тогда квадрат отклонения этой случайной величины имеет следующий закон распределения:

[Х-М(Х)]² [ x ₁ –М(Х)]² [х₂-М(Х)]²... [х_п-М(Х)]²

Р      P ₁   Р₂.         .. р_п.

Отсюда, согласно формуле (15.10), получаем формулу диспер­сии в развернутом виде:

D { X) = [ x ₁ - M (X)]² p ₁  + [х₂ - M (X)]² p ₂ +... + [х_п - М(Х)]²р_п.

При вычислении дисперсии часто бывает удобно воспользо­ваться формулой, которая непосредственно выводится из фор­мулы (15.10):

D (X) = М(Х²) - [М(Х)]².   (15.11)

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 3.

Решение. Закон распределения случайной величины Х² имеет вид

X² 0 1  4  9   16 25   36   49   64 81

Р 0,25 0,2 0,1 0,1    0,1 0,1 0,05 0,05 0,025 0,025.

Математическое ожидание М(Х²) подсчитывается из этой таб­лицы:

М(Х²) = 0 • 0,25 + 1 • 0,2 + 4 • 0,1 + 9 • 0,1 + 16 • 0,1 + 25 ■ 0,1-1 +36 • 0,05 + 49 • 0,05 + 64 • 0,025 + 81 • 0,025 = 13,475.

Математическое ожидание М(Х) = 2,675. Следовательно, согласно формуле (15.11), получаем искомую величину дис­персии:

D (X) = М(Х²) - [М(Х)]² = 13,475 - 7,156 = 6,319.

 

Свойства дисперсии

Приведем здесь основные свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна, нулю:

D (C) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить на знак дисперсии, возводя его в квадрат:

   D (CX)  = C ² D (X). (15.12)

Свойство 3. Дисперсия алгебраической суммы независи­мых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X ₁ + X ₂ +... + X_n)= D (X ₁)+ D (X ₂)+... + D (X_n).            

Перечисленные свойства дисперсии используются при вы­числениях, когда мы имеем дело с несколькими случайны­ми величинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод:

D (X + С) = D (X), где С — постоянная величина. Кроме того, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 15.2. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

D (X) = пр(1 - р) = npq.   (15.14)

Приведем здесь еще два важных результата: для случай­ной величины, распределенной по закону Пуассона ( 15.4 (пр = λ)), ма­тематическое ожидание и дисперсия равны параметру данного распределения.

Пример 7. Найти дисперсию числа выигрышных лотерейных билетов, если вероятность выигрыша по одному билету равна 0,015, причем куплено 200 билетов.

Поскольку приобретение каждого билета яв­ляется независимым испытанием относительно появления со­бытия А — выпадения выигрыша, то здесь применимы теоре­ма 15.1 и формула (М(Х) = пр.        15.7). В нашем случае п = 200, р = 0,015, откуда мы получаем М (200) = 200 • 0,015 = 3.

Решение. Имеем 200 независимых испытаний с вероятно­стью появления выигрышного билета р = 0,015. Стало быть, q = 1 — 0,015 = 0,985, откуда и получаем искомую дисперсию:

D { X) = npq = 200 • 0,015 • 0,985 = 2,955.

Пример 8. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математи­ческое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании рав­на q = 1 —р. Пусть X — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формуле   

где X является случайной величиной с биномиальным зако­ном распределения. Тогда, согласно теореме 15.1, математическое ожидание прибыли определяется с использованием фор мулы (15.7):

М(П) = (1+г/100) SM (X) — nS =  (1 + r /100) Snp — Sn = Sn (rp /100 - q).

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная сред­няя величина прибыли), то из условия М( П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

г > 100 q / p, или г > 100(1 - р)/р.

Дисперсия прибыли банка находится, согласно теореме 15.2, с использованием формулы (15.14) и свойств 1-3: