Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
Часто практике соответствует схема независимых испытаний Бернулли: проводятся испытания, в которых вероятность появления события («успеха») одна и та же, а исходы независимы друг от друга. Задача: определить вероятность того, что при испытаниях событие произойдет раз (не произойдет раз). При этом не требуется, чтобы событие повторялось ровно раз в определенной последовательности. Например, при один «успех» может быть реализован следующим образом . (Противоположным событию называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие ). Для общего случая вероятность «успехов» из испытаний равна где Cn (k)- число сочетаний из по , Пример. Вероятность того, что операционные расходы фирмы в течение 1 месяца не превысят установленный бюджет, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 месяцев операционные расходы в течение 4-х месяцев из них не превысят норму. 7. Предельные теоремы в схеме Бернулли (локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа). Локальная теорема Лапласа Использование формулы Бернулли (14.16) при больших значениях п и к представляется затруднительным ввиду увеличения объема вычислений и операций с большими числами. В этом случае применима формула, устанавливаемая следующей локальной теоремой Лапласа. ТЕОРЕМА Пусть вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность Рп(к) того, что событие А появится в п испытаниях ровно к раз, приближенно равна значению функции φ(х): Точность формулы (14.17) возрастает с увеличением п. Имеются таблицы с вычисленными значениями функции φ {х) (см. Приложение 1. В.Е. Гмурман. ТВ и МС)), по которым можно с достаточно высокой степенью точности найти практически любое значение этой функции, а значит, и вычислить нужную вероятность. Поскольку функция φ (х) четная, то в таблицах даются ее значения только для положительных значений x; иными словами, знак аргумента не играет роли. Формула (14.17) носит название асимптотической формулы. Пример 4. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий будет ровно 60 изделий без брака. Решение. Вероятность появления события А в одном испытании (изделие без брака) р = 0,7, тогда q = 0,3; в нашем случае п = 100, к = 60. Последовательно вычисляем:
Теперь для найденного аргумента х находим по табл. 1 (см. Приложение) соответствующее значение φ (х); оно равно 0,0371. Подстановка этого числа в формулу (14.17) дает приближенное значение искомой вероятности: Интегральная теорема Лапласа Опять предположим, что в каждом из произведенных п испытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употребимы определения вероятности события А в п испытаниях, когда к изменяется в заданном интервале значений: l < к < m. Соответствующую вероятность обозначают Рп(l,т). Формула для приближенного вычисления этой вероятности устанавливается следующей интегральной теоремой Лапласа. ТЕОРЕМА 14.8. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в п испытаниях от l до т раз, приближенно равна определенному интегралу: Формула (14.18), как и (14.17), применима в случае больших значений п и к. При вычислениях по этой формуле пользуются специальными таблицами для интеграла поскольку соответствующий неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Функцию Ф(x) часто называют интегралом ошибок, соответствующая таблица ее значений приведена в Приложении 2. Эта функция является нечетной, поэтому в таблицах обычно приводят значения Ф (x) для положительных значений верхнего предела интегрирования х. Более удобно использовать формулу (14.18) в виде формулы Ньютона-Лейбница:
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-11; просмотров: 132; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.15.59.163 (0.007 с.) |