Синтез спектров оптимального сигнала и наихудшей преднамеренной помехи

Выше при рассмотрении оптимальных линейных фильтров как основных элементов оптимального приёмника РСПИ предполагалось, что спектральная плотность помехи задана и не зависит от вида полезного сигнала. Однако функционирование РСПИ военного назначения происходит в условиях, когда приходится максимизировать отношение сигнал/помеха на выходе приёмника РСПИ при действии преднамеренных помех противника. Противник выбирает такую помеху, спектральная плотность которой учитывает спектр сигнала.

Задачу рассмотрим с позиций теории антагонистических игр при отсутствии ограничений на форму сигналов и помех. РСПИ должна формировать сигнал, максимизирующий отношение сигнал/помеха q в условиях наихудшей для данного сигнала помехи со спектральной плотностью ), т. е. комплексный спектр сигнала должен выбираться из условия

,

где минимум обеспечивается за счёт выбора ), а максимум – S(jf).

Предполагается, что энергия сигнала E и мощность (дисперсия) помехи фиксированы:

                           

                             

где область частот, в пределах которой спектры сигнала и помехи отличаются от нуля.

Для произвольного сигнала со спектром S(jf) найдем спектральную плотность помехи , для которой имеет место min q. Затем, считая, что сигнал принимается на фоне наихудшей помехи, найдем спектр оптимального сигнала. Таким образом, будет найден наилучший (оптимальный) сигнал по критерию максимума отношения сигнал/помеха на выходе оптимального линейного фильтра при наихудшей помехе.

Оптимальный линейный фильтр для сигнала со спектром  в условиях помехи со спектральной плотностью  имеет комплексную частотную характеристику

                             

где с- некоторая постоянная;  - функция, комплексно-сопряженная S(jf); - момент времени, соответствующий наибольшему отношению пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению помехи. При этом отношение сигнал/помеха по мощности на выходе оптимального фильтра определяется выражением

.                                             

Необходимо найти минимальное значение этого выражения для произвольного сигнала со спектром S(jf). Для этого воспользуемся очевидным соотношением

Используя неравенство Коши-Буняковского, правую часть последнего равенства можно записать следующим образом

 

Из этого неравенства можно выразить интересующее нас отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра

Таким образом, минимум отношения сигнал/шум на выходе оптимального фильтра достигается при условии, когда последнее неравенство обращается в равенство. При условии обращения неравенства в равенство получаем

или ,

где С - некоторая постоянная.

Следовательно, спектральная плотность “оптимальной” (наихудшей для РСПИ) помехи с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудно-частотным спектром сигнала. Другими словами “оптимальная “ помеха излучается на тех же частотах, что и полезный сигнал. Наихудшая помеха минимизирует отношение сигнал/помеха и применение в РСПИ сигнала,например, с равномерным спектром делает необходимым использование помехи также с равномерным спектром в заданном диапазоне частот. Математической моделью помехи с равномерным спектром является белый шум.

 Из выражения для отношения сигнал/помеха с учетом полученного выражения для спектральной плотности наихудшей помехи следует, что

 .                                     

Считая теперь, что сигнал принимается на фоне наихудшей помехи, спектр сигнала, максимизирующий отношение сигнал/помеха при дополнительном условии, что энергия фиксирована, и условии ограниченной полосы(, при ) находим спектр оптимального сигнала из условия

=

= .

 

Равенство достигается при , т. е. когда во всей разрешенной области частот сигнал имеет постоянную спектральную плотность (1(f) принимает единичное значение во всей разрешенной области частот и нулевое вне ее).Таким образом, можно записать

= = ,

 

где  - средняя мощность сигнала;  - длительность сигнала. Выигрыш в отношении сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра пропорционален базе сигнала . Отклонение спектров сигнала и помехи от равномерного ухудшает положение противоборствующих сторон.

При определении наихудшей помехи предполагается, что противнику известен амплитудный спектр сигнала , но не точное значение сигнала в каждый момент времени S(t). Предположение выполняется в том случае если параметры сигнала (моменты излучения, несущие частоты, кодирующие последовательности и т. д.) меняются непредсказуемым для противника образом.

Таким образом, антагонистическая задача выбора спектров оптимального сигнала и наихудшей помехи приводит к выводу, что в случае применения наихудшей помехи следует использовать сигнал с равномерным спектром в заданной полосе частот. Спектральная плотность наихудшей помехи в этом случае также равномерная.

 

Выводы по основным элементам оптимального приёмника системы передачи информации:

 

1. Для формирования апостериорной вероятности или апостериорной плотности вероятности в оптимальных РСПИ могут применяться корреляторы и согласованные фильтры, обеспечивающие вычисление корреляционного интеграла и функционала правдоподобия. Первый и главный этап при обработке принятого колебания с целью получения апостериорной плотности вероятности (апостериорной вероятности) состоит в формировании корреляционного интеграла.

2. На выходах корреляторов и согласованных фильтров обеспечивается получение максимально возможного отношения сигнал-помеха.

3. В случае применения наихудшей помехи против РСПИ с оптимальным (согласованным) фильтром в ней следует использовать сигнал с равномерным спектром в заданной полосе частот. Спектральная плотность наихудшей помехи в этом случае также равномерная.