Факторизация модели главных координат

В модели главных координат нет никакой потери информации и точности в измерениях, просто осуществлён переход к новой системе упорядоченных факторных переменных. Проведём факторизацию модели путём выбора общих и специфических факторных переменных, для чего выразим через них измеренные величины: ,    

.

Примем первые факторных переменных с наибольшими факторными дисперсиями за общие факторы, которые определяют общефакторную часть  измерений, а остальные отнесём к специфической части  измеримых величин. При этом для общих и специфических факторов в силу их ортогональности выполняются все условия Гаусса – Маркова.

 Поскольку теперь , то доля факторизации определяется как . Задаваясь долей факторизации , можно определить количество необходимых общих факторов  из условия .

    Большой проблемой проведённой факторизации является смысловая интерпретация полученных общих факторов [10], поскольку они являются линейной комбинацией абсолютно всех измеряемых величин. Для разрежения матрицы факторных нагрузок (получения нулевых или незначимых элементов) иногда проводится дополнительное вращение или даже переход от ортогональных координат к косоугольным координатам. В итоге каждый общий фактор связывается только с частью измеримых величин, что упрощает его интерпретацию. Обычной интерпретацией общего фактора является некий обобщённый уровень значения, например, уровень развития, уровень потребления, уровень качества, уровень образования и т.д.

Числовой пример (часть 7)

    Проведём для рассматриваемых в примере измерений выделение и интерпретацию главных факторов, объясняющих не менее 75% изменчивости наблюдаемых величин. Согласно методу главных координат провёдем преобразование измеренных величин путём ортогонального поворота. Матрица поворота определяется через собственные вектора корреляционной матрицы . Однако, к сожалению в Excel нет функции определения собственных чисел и векторов матрицы, поэтому можно воспользоваться другими приложениями, например, в системе MatLab оператор [T,Q]=equ(R) формирует матрицу поворота и преобразованную к главным координатам корреляционную матрицу . Преобразованная матрица   будет диагональной, на диагонали которой находятся убывающие по величине положительные собственные числа матрицы  и являющиеся дисперсиями главных координат.

Суммарная дисперсия (изменчивость) всех наблюдаемых величин в стандартном масштабе равна количеству переменных и сохраняется при повороте (инвариантность следа матрицы). Распределение изменчивости по координатам сильно изменилось, видим, что первый главный фактор  объясняет уже 56.3% изменчивости, а для объяснения 75% достаточно первых двух факторов . Поясним смысл главных факторов, т.к. , то:

,

.

Факторные нагрузки разнонаправлены по знаку и значительны по величине.

    Рассмотрим для сравнения объяснение величины через главные факторные переменные и измеренные переменные. Пересчитаем матрицу измерения  в главные координаты и построим на них линейную регрессию переменной .

В построенной регрессии можно отбрасывать последние факторы (столбцы в F) в любом количестве, вплоть до оставления одного единственного главного фактора.

Из приводимых ниже расчетов можно видеть, что при 4-х факторной регрессии её качественные параметры, такие как коэффициент детерминации  и стандартная ошибка  регрессии совпадают с параметрами регрессии, рассмотренной в части 3 нашего примера. При уменьшении количества используемых факторов параметры регрессии ухудшаются, но незначительно. Так регрессия только по единственному главному фактору  имеет коэффициент детерминации , что всего на 10% ниже исходного и остаётся значимым по заданному уровню значимости . При этом снижается размерность задачи анализа данных, сжимается объём данных путём отбрасывания второстепенных данных и, наконец, имеется возможность визуализации корреляционных полей и линейной регрессии в них.

0.919