Нормальная случайная величина

Случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если она определена в области , а её плотность распределения вероятностей имеет вид:

 

где  и  - параметры распределения ().

    Нормальный закон распределения  наиболее часто встречается на практике. Главная его особенность – он является предельным законом, которым приближаются другие, более сложные законы распределения [7].

    Плотность вероятности  похожа на «колокол» (рис. 1.8).

При уменьшении только параметра , график функции сжимается и поднимается вверх по оси ординат. При изменении только параметра , график перемещается вдоль оси абсцисс.

 

Рис. 1.8. Функция плотности распределения нормальной величины

Функция распределения  нормальной величины  имеет вид:

,
 где  - функция Лапласа. График функции распределения  изображен на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Функция распределения нормальной величины

 

Вероятность того, что изучаемая случайная величина (распределённая нормально) примет значение в пределах от  до вычисляется по обычной формуле:

.   

В частном случае, когда интервал симметричен относительно точки , эта формула выглядит так:

.

    Рассмотрим вероятность того, что изучаемая случайная величина (распределённая нормально) примет значение в пределах от  до :

,

т.е. вероятность значений изучаемой случайной величины именно на интервале   велика. Это утверждение составляет правило «трёх сигм». Числовые характеристики нормальной случайной величины будут:

, .

Пример. Наблюдение за скоростью автомашин на определённом участке дороги показало, что скорость есть нормальная случайная величина с математическим ожиданием 60 км/ч и среднеквадратическим отклонением  10 км/ч. Определить вероятность того, что:

- скорость на этом участке не превышает 80 км/ч,

- скорость не отклоняется от математического ожидания более чем на 20%.

    Поскольку скорость есть нормальная величина с параметрами  и , то по основным формулам находим:

,

.

Вычислим скорость, которую автомашины на этом участке не превышают с вероятностью 0,99. Из уравнения

,

.

Системы случайных величин

   

    Если рассматривается система случайных величин , то между ними могут быть следующие взаимные соотношения:

    - они могут быть независимыми, когда распределение каждой из них не зависит от того, какие значения примут другие величины. Например, -температура воды на входе системы отопления жилого многоквартирного дома, а - количество жильцов, проживающих в доме, эти величины независимы;

    - они могут быть зависимы функционально, когда между значениями величин имеется функциональная связь вида Y =φ(X). Так, площадь выражается через измерения случайных размеров. Связь между распределениями величин устанавливается достаточно просто при взаимно однозначной  функциональной связи [4]:

, ,

где  обратная для φ (x) функция. Например, для равномерной  и :

, , , ;

- случайные величины могут быть зависимыми статистически, когда распределение каждой случайной величины зависит от того, какие значения принимают другие величины. Например, -температура воды на входе системы отопления жилого многоквартирного дома, а - количество жильцов,  обратившихся с жалобой в ДУК на холод в квартирах, эти величины зависимы статистически.

Такая зависимость полностью может быть описана условными распределениями величин. Так, для пары величин условное распределение задаётся функцией двух переменных  или , представляющих собой распределения одной величины при заданном значении другой величины.  Распределения самих величин связаны с  условными распределениями следующим образом:

, ,

причем, оказывается, что , а  называется функцией совместного распределения и она связана с вероятностью значений величин через функцию совместного распределения

.

Часто рассматриваются условные математические ожидания величин

,  ,

такая зависимость средних значений (математических ожиданий) от значения других переменных называется регрессией. Функция регрессии  и условные распределения иллюстрируются  на рисунке 1.10.

Рис. 1.10. Функция регрессии для зависимых величин

 

В случае независимости величин условные распределения совпадают и , а , .

В случае статистической зависимости введём понятие ковариационного момента (ковариации):

,

который показывает степень статистической зависимости величин  и , поскольку при независимости переменных он равен нулю, а для статистически зависимых величин справедливы следующие формулы:

, .

    Введем также  безразмерную величину коэффициента корреляции

,

обладающего  следующими свойствами:

- его значение по модулю не превышает единицы .

- для независимых величин  и ,

- для линейно зависимых величин .

Это позволяет использовать коэффициент корреляции в качестве меры статистической зависимости случайных величин. Говорят, что величины коррелируют между собой, если коэффициент корреляции не равен нулю.