Числовые характеристики случайных величин

 

    Закон распределения случайной величины, заданный в той или иной форме, полностью определяет случайную величину как некоторую модель наблюдаемого в опыте явления. Однако часто в практической деятельности знание закона бывает невозможным, а то и избыточным, достаточно знать лишь некоторые общие (интегральные) характеристики случайной величины.

    Пусть случайная величина , дискретная или непрерывная, задается законом распределения, тогда основными характеристиками случайной величины являются:

    Математическое ожидание:

    Дисперсия:

    Среднеквадратическое отклонение:

.                                   

Математическое ожидание  характеризует центр распределения или средневзвешенное ожидаемое значение величины, а геометрически оно изображается как координата центра тяжести фигуры, образованной осью   и линией функции   или . Дисперсия  характеризует средний ожидаемый разброс (широту, изменчивость, вариативность) значений величины возле , поскольку совпадает с математическим ожиданием квадрата отклонения случайной величины от его математического ожидания.

, где .

Среднеквадратическое отклонение  имеет тот же смысл, что и дисперсия, но в отличие от неё имеет размерность, совпадающую с размерностью самой случайной величины, что более удобно и позволяет изобразить его как и математическое ожидание на рис. 1.6. Между дисперсией и математическим ожиданием имеется простая связь .

Рис. 1.6. Геометрическая иллюстрация понятий математического ожидания  и дисперсии   случайной величины

 

Пример. Рассмотрим случайную величину , определенную на множестве возможных значений  со следующим законом распределения , ,  где параметр . Такая случайная непрерывная величина называется показательной ( рис. 1.7).

Рис. 1.7. Функция распределения и плотность распределения показательной случайной величины

Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине, а её дисперсия равна нулю:

const , .

­    Умножение случайной величины на постоянный множитель приводит к следующему изменению её характеристик:

, , где const.

Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

.

    Из вышеприведённых свойств можно заметить, что при преобразовании случайной величины по линейному закону в величину

.

Такое преобразование случайной величины называется центрированием и нормированием, а характеристики получаемой величины называются стандартными.

Для независимых случайных величин и имеет место:

,

.

Величины называются независимыми, если распределение любой из них   не зависит от того, какие значения принимает другая величина. В противном случае величины являются статистически зависимыми.