Теплоотдача при свободном движении теплоносителя. Критериальные уравнения.

Свободное движение жидкости происходит под действием разности плотностей нагретых и холодных частей жидкости. Эта разность температур зависит от разности температур теплообменной поверхности и жидкости. Форма поверхности имеет второстепенное значение, поэтому уравнение подобия для естественной конвекции имеет вид

.

Константы и зависят от режима движения жидкости, т.е. от произведения:

− для ламинарного режима: () =1,18, =0,125;

− для переходного режима: () =0,54, =0,25;

− для турбулентного режима: () =0,135, =0,33.

В качестве определяющих геометрических размеров при вычислении чисел Грасгофа приняты: для цилиндрических или сферических тел – диаметр; для плоских поверхностей – высота.

В качестве определяющей температуры, т.е. температуры, при которой вычисляются значения физических параметров, входящих в критерии подобия, принята средняя температура пограничного слоя, равная 0,5().

Физические параметры в критериях определены при средней температуре жидкости, а в критерии при температуре стенки. Отношением критериев учитывается влияние на теплоотдачу направления теплового потока и температурного перепада. Определяющим геометрическим размером принят эквивалентный диаметр канала, равный учетверенной площади поперечного сечения канала, деленной на смоченный периметр. Зависимость справедлива для случаев движения жидкости по прямым каналам любой формы поперечного сечения.

В коротких каналах коэффициент теплоотдачи выше, чем в длинных. Его величина снижается с увеличением от 1 до 50. Дальнейшее увеличение не приводит к снижению коэффициента теплоотдачи. Если отношение, в критериальное уравнение вводится коэффициент, численные значения которого меняются в пределах от 1 до 1,65 в зависимости от и критерия Рейнольдса. Значение величины поправочного коэффициента можно найти в технической литературе.

При движении жидкости по изогнутой трубе или каналу с радиусом кривизны теплообмен гораздо интенсивнее, чем при движении по прямому каналу. Увеличение интенсивности теплообмена в этом случае учитывается поправочным коэффициентом:

.

В условиях ламинарного течения () теплоотдача определяется как вынужденным, так и свободным движением жидкости.

На теплоотдачу при ламинарном режиме существенное влияние оказывает естественная циркуляция. В результате ее влияния коэффициент теплоотдачи иногда может изменяться в пять раз. Для горизонтальных круглых труб при расчете a может быть использована эмпирическая формула Михеева, учитывающая естественную конвекцию:

 

Коэффициент e, учитывающий изменение коэффициента теплоотдачи в зависимости от длины трубы, указан в таблице

l/d	1	2	5	10	15	20	30	40	50
e	1,9	1,7	1,44	1,28	1,18	1,13	1,05	1,02	1,00

 

При ламинарном режиме, когда влияние свободной конвекции невелико (Gr×Pr £5×105), критериальные уравнения имеют вид:

при (Re×Pr×d/l >12);

при (Re×Pr × d/l £12),

где mст – коэффициент динамической вязкости теплоносителя принимается при температуре стенки.

Для расчета теплоотдачи при движении теплоносителя, не меняющего своего фазового состояния, по трубам и каналам при переходном режиме (104>Re>2300) могут быть использованы зависимости:

;

(для P r = 20¸140).

Экспериментальные данные при поперечном обтекании труб и трубных пучков обобщаются в виде эмпирических уравнений:

для коридорного пучка:

при 10< Re <150;

при 103< Re <105;

для шахматного пучка:

при 10< Re <200;

при 103< Re <105.

При течении теплоносителя в межтрубном пространстве кожухотрубного теплообменника с сегментными перегородками могут быть использованы зависимости

(при Re ³103),

(при Re <103).

В них определяющую скорость потока рассчитывают для наименьшего сечения межтрубного пространства.

 

Теплообмен при вынужденном движении теплоносителей: теплообмен при движении теплоносителя вдоль плоской поверхности; теплообмен при течении жидкости в трубах; теплообмен при поперечном омывании одиночной круглой трубы и при поперечном омывании пучков труб, коридорно и шахматно расположенных. Критериальные уравнения. Теплообмен при изменении агрегатного состояния.

Теплообмен между движущейся средой и поверхностью твердого тела называется конвективным теплообменом или теплоотдачей. Кон­вективный теплообмен обусловлен совместным действием конвектив­ного и молекулярного переноса теплоты (теплопроводности). Под кон­вективным переносом теплоты в среде с неоднородным распределением температуры понимают перенос, осуществляемый макроскопическими элементами среды при их перемещении, движении.

Различают движение вынужденное и свободное. Под вынужденным движением или вынужденной конвекцией жидкости понимают движение, вызванное действием внешних сил, приложенных на границах системы, поля массовых сил, приложенных к жидкости внутри системы, или за счет кинетической энергии, сообщенной жидкости вне системы.

Свободное движение или свободная (естественная) конвекция жид­кости — движение под действием неоднородного поля массовых сил, приложенных к частицам жидкости внутри системы и обусловленных внешними полями (например, гравитационным).

Различают ламинарный и турбулентный режимы течения. При лами­нарном режиме характер течения спокойный, слоистый, без переме­шивания (от лат. lamina — полоска, слой). Ламинарное движение жид­кости - это движение, при котором возможно существование стационар­ных траекторий ее частиц, часто повторяющих профиль канала.

А Ах Г f>K + tk, 1

При турбулентном движении течение жидкости неупорядоченное, вихревое (от лат. turbulentus - бурный, беспорядочный), с хаотично
изменяющимися во времени траекториями частиц, при котором в потоке возникают нерегулярные пульсации скорости и давления.

Переход ламинарного режима течения в турбулентный определя­ется значением числа Рейнольдса, которое называется критическим ReKp = vvKp//v. Чем больше Re, тем больше силы инерции по сравне­нию с силами вязкости, тем больше турбулентность потока.

Режим движения жидкости, промежуточный между ламинарным и турбулентным, называется переходным.

Течение жидкости состоит из основного потока и пограничного слоя. На твердой поверхности вследствие действия сил вязкого трения образуется тонкий слой заторможенной жидкости. Частицы жидкости, непосредственно прилегающие к поверхности теплообмена, как бы при­липают к ней. С возрастанием сил вязкости и, следовательно, с умень­шением числа Re происходит утолщение пограничного слоя. Чем больше Re, тем тоньше пристеночная область течения, тем тоньше пограничный слой.

Несмотря на то что пограничный слой остается тонким (а измере­ние скоростей показывает, что толщина его порой составляет несколько молекулярных слоев жидкости), он играет большую роль в процессах конвективного теплообмена.

Различают динамический и тепловой пограничные слои. Динами­ческим пограничным слоем называют пограничный слой жидкости, характеризующийся большим градиентом продольной составляющей скорости.

Тепловой пограничный слой характеризуется большим градиентом температуры, под действием которого осуществляется поперечный пере­нос теплоты. В области, непосредственно прилегающей к поверхности теплообмена, температура изменяется от гж — температуры основного потока до температуры стенки Tc. За пределами теплового пограничного слоя температура однородна и там явление переноса теплоты отсут­ствует. Тепловой пограничный слой по толщине 8Х может совпадать или не совпадать с динамическим 8 (рис. 2.28, 2.29). Соотношения толщин теплового и динамического пограничных слоев определяются значением числа Pr = V/A.

Как было показано выше, расчет теплоотдачи, несмотря на боль­шую сложность процесса, проводится по формуле Ньютона - Рихмана

Щ

 

Wo

П ІП

 

Tr

 

У//////////////////Ш л

Рис. 2.28. Схема дина­мического погранич­ного слоя

Ш////////////У/////////Л х

Рис. 2.29. Схема теплово­го пограничного слоя

Достаточно простого вида

Q = а(гс~гж). (2.229)

Вся сложность расчета состоит в определении коэффициента тепло­отдачи. Согласно (2.229), коэффициент теплоотдачи определяется как плотность теплового потока при температурном напоре, равном одному градусу. Перенос теплоты в вязком пограничном слое осуще в - ляется путем теплопроводности и в соответствии с законом Фурье определяется соотношением

Q = - X Dt/Dy. (2.230)

Сравнивая (2.229) и (2.230), получим коэффициент теплоотдачи

(2.231)

T-IK

В первом приближении можно принять градиент температуры в теп­ловом пограничном слое равным

Grad T = BjlJs., (2.232)

Ду 8Т

В этом случае коэффициент теплоотдачи будет определяться соот­ношением

Ос = У8Т. (2.233)

Величина а зависит от всех факторов, влияющих на сам процесс теплообмена. К ним относятся скорость движения жидкости, физические свойства теплоносителя, характеристики температурного поля и гидро­динамические характеристики потока, геометрическая форма Ф и раз­меры / поверхности теплообмена:

Ос =/(<•„, р, р, X, w, t, Ф, I, р, (2.234)

Классификация задач конвективного теплообмена отражает преобла­дающее влияние перечисленных факторов. Для некоторых частных случаев эти задачи при упрощающих предпосылках могут быть решены аналитически методами теории пограничного слоя. В общем случае для этой цели используется экспериментальный путь определения а с применением теории подобия.

Порядок величины а [Вт/(м2 • К)] для различных условий конвектив­ного теплообмена лежит в пределах:

Свободная конвекция в газах...................................................................... 5...30

Свободная конвекция для воды....................................................... 102...103

Вынужденная конвекция газов........................................................ 10...500

Вынужденная конвекция для воды......................................................... 500...104

Теплообмен при изменении агрегатного состояния воды (кипение, конденсация) 103... 105

Решение задачи конвективного теплообмена чаще всего дается в критериальной форме. Так, для теплоотдачи при свободной конвекции определяющим критерием является число Грасгофа и расчетное уравне­ние имеет вид

N U A./ —f(Gr, Рг)ж/.

Для вынужденного движения определяющим критерием является число Рейнольдса:

Nu./X, = /(Re, Рг)ж(. (2.236)

Для газов эти формулы могут быть упрощены, так как для газов число Прандтля слабо зависит от температуры. В этом случае зави­симости будут соответственно:

Nu,, =/(Сг)ж); (2.237)

Миж/=ДКе)ж/. (2.238)

Индексы у критериев указывают на определяющую среднюю темпе­ратуру жидкости гж, которая может быть получена принятым способом осреднения, и определяющий геометрический размер I.

Определение а и теплового потока на поверхности теплообмена является основной задачей теории конвективного теплообмена.

Теплоотдача при вынужденном движении жидкости вдоль плоской поверхности. При движении жидкости вдоль плоской поверхности про­филь распределения продольной скорости поперек потока изменяется по мере удаления от передней кромки пластины. Если скорость в ядре потока Н'о, то основное изменение ее происходит в пограничном слое толщиной 8, где скорость уменьшается от w0 до wx = 0 на поверхности пластины. Течение в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулентным. Режим течения определяется критическим значе­нием критерия Рейнольдса, нижний предел которого для ламинарного пограничного слоя равен ReKp = 8 • 104, а при Re > 3-Ю6 вдоль пластины устанавливается устойчивый турбулентный режим течения. При значе­ниях 8 • 104 < Re < 3 • 10б режим течения — переходный (рис. 2.30).

В турбулентном пограничном слое непосредственно на поверхности пластины имеется весьма тонкий слой жидкости толщиной 0,0018......0,018, называемый ламинарным подслоем, в котором силы вязкого

Трения играют преобладаю­щую роль.

(2.235)

 

Ламинарный подслой

 

Рис. 2.30. Схема пограничного слоя с ламинар­ным подслоем

 

Ламинарный режим

 

Турбулентное течение

 

Переход­ный режим

При оценке толщины 8 пограничного слоя исходят из определения такой об­ласти течения, в пределах которой изменение силы вяз­кого трения по нормали к поверхности и изменение инерционной силы по нап­равлению движения жидкос­ти — величины одного поряд­ка. Деление потока на вяз­кий пограничный слой и вне­шний потенциальный поток позволяет упростить матема­тическое описание движения
жидкости. Так, в уравнении движения основного потока можно опустить члены, отражающие действие сил вязкости. Порядок уравнения понижа­ется. Для пограничного слоя математическое описание движения также упрощается.

В процессе теплообмена наряду с динамическим слоем формиру­ется тепловой пограничный слой. В пределах теплового слоя темпера­тура жидкости изменяется от температуры твердой поверхности fc до значения температуры невозмущенного потока жидкости T,K. Тепловой пограничный слой характеризуется большим поперечным градиентом температуры Dt/бу. За пределами теплового пограничного слоя толщи­ной 8, температура однородна и там явление переноса теплоты не возникает. Тепловой пограничный слой образуется аналогично дина­мическому. По мере удаления от передней кромки пластины толщина теплового пограничного слоя растет 8, —- F(X) вследствие возрастающего влияния поверхности пластины на прогрев жидкости.

При турбулентном пограничном слое основное изменение темпера­туры происходит в пределах вязкого ламинарного подслоя.

Характеристиками переноса количества движения и теплоты явля­ются кинематическая вязкость v и температуропроводность а. Поэтому соотношение толщин гидродинамического пограничного слоя и тепло­вого пограничного слоя зависит только от значения числа Прандтля Рг = V/A. Очевидно, что чем больше число Рг, тем интенсивнее проис­ходит перепое импульса движения в динамическом слое, тем больше поперечный градиент продольной составляющей скорости по сравнению с поперечным переносом теплоты. В этом случае толщина динами­ческого слоя больше толщины теплового пограничного слоя. При малых значениях Рг тепловой слой может иметь толщину большую, чем динамический пограничный слой. При значении Рг = 1 толщина слоев одинакова. Практически толщины слоев одинаковы лишь для газов, у которых Рг близок к единице. Значения Рг для некоторых рабочих тел:

TOC o "1-3" h z Рабочее тело t °С Рг

Вода....................................................................... 100 1,75

180 1,03

350 160

Насыщенный водяной пар... 200 1,36

Воздух............................................................. -50... 300 0,733

Спирт..................................................................... 20 16,6

Глицерин................................................................ 20 10508

Ртуть...................................................................... 50 0,023

Натрий............................................. 450 0,005

Применительно к пограничному слою система дифференциальных уравнений теплообмена может быть существенно упрощена — в этом состоит значение понятия пограничного слоя и суть теории погранич­ного слоя, которая была заложена Прандтлем в 1904 г. и сначала касалась только гидродинамических задач.

Напишем дифференциальные уравнения теплообмена для динами­ческого пограничного слоя на полубесконечной пластине. Расположим начало координат в передней точке пластины, ось направим вдоль
пластины (рис. 2.31). Рассмотрим безградиеитное течение dpfdx = О, тогда уравнение движения (2.35) для двухмерного стационарного тече­ния при отсутствии объемных сил может быть написано в следующем виде:

Dwx Dwx D2Wx

W,

 

Ду'

 

Дх

' - ■ * * (2.239)

+ wv

Ду

Уравнение энергии (2.22) для двухмерного пограничного слоя (при стационарном тепловом режиме) также существенно упрощается. В этом случае Dt/Dx = 0 и Dt/Dz = 0 (пластина бесконечна в направлении Z). В связи с малой толщиной теплового пограничного слоя 8, за основ­ное изменение температуры можно принять изменение температуры по нормали к поверхности теплообмена. Тогда D2T/Dx2 <S:D2T/Dy2 и урав­нение энергии примет вид

82t

Рис. 2.31. К подобию распределения скорости и температуры в погранич­ном слое

(2.240)

Dt Dt

Ду'

Анализ уравнений (2.239) и (2.240) позволяет обнаружить подобие между распределением скорости и температуры в пограничном слое, если v = а или число Pr - 1. Уравнение движения и энергии при этом условии (Pr = 1) становятся идентичными. Это означает, что поля ско­ростей и температур в пограничном слое подобны, а кривые распре­деления безразмерной скорости и безразмерной температуры по тол­щине пограничного слоя одинаковы. Таким образом, физический смысл числа Прандтля состоит в подобии кинематического и теплового полей. Для газов число Прандтля практически не зависит от температуры и давления и определяется в соответствии с кинетической теорией газов атомностью газа: для одноатомных газов Рг = 0,67; для двухатомных Рг = 0,72; для трехатомных Рг = 0,8 и многоатомных Pr = 1. Из приве­денных значений Рг следует, что полное подобие полей скорости и тем­пературы сохраняется лишь для многоатомных газов. В других случаях имеют место отклонения от подобия. Точные решения дифференциальных уравнений пограничного слоя отличаются большой громоздкостью и сложностью. Приближенные решения могут быть получены из ин­тегральных уравнений пограничного слоя.,

—-

Рис. 2.32. К выводу интеграль­ного уравнения энергии

Идея интегрального метода теории пограничного слоя заключается в том, что с помощью приближенного описания распределения ско­рости или температуры по толщине пограничного слоя, используя некоторые простые интегральные соотношения, находят толщину соот­ветствующего (динамического или теплового) пограничного слоя, а зная толщину слоя 8Т, согласно (2.233), нетрудно определить коэффициент теплоотдачи. Ниже приводятся выводы, справедливые для случаев Рг 1, т. е. для большинства технических жидкостей, а также для газов. При этом тепловой пограничный слой лежит внутри динами­ческого пограничного слоя. Если же число Прандтля значительно меньше единицы, что имеет место у жидких металлов, то тепловой пограничный слой выходит далеко за пределы динамического погра­ничного слоя. Теплопроводность металлов оказывает решающее влия­ние на теплоотдачу и все зависимости, выведенные для случая 8 ^ 8Т, перестают работать.

Интегральное уравнение энергии для теплового пограничного слоя. Составим тепловой баланс для некоторого объема, выделенного в пре­делах пограничного слоя двумя сечениями 1—2 и 3 — 4, отстоящими одно от другого на расстоянии dx (рис. 2.32). Размер выделенного объема в направлении оси у равен H, причем H > 8Т и в направлении оси Z равен 1.

На основании закона сохранения энергии при стационарном тепло­вом режиме алгебраическая сумма тепловых потоков, проходящих через все плоскости, ограничивающие выделенный объем Dx - H- 1, равна нулю:

<2І-2 + <2З-4 + Є2-З + <2і-4 = 0, (а)

Где <21-2 — количество теплоты, вносимое через грань 1-2,— может быть выражено в виде

6l-2=foPCptWjed3'. (б)

На расстоянии dx изменение количества теплоты будет равно

^(J*pcpЈwxdj/)dx, (в)

Это изменение можно рассматривать как разность потоков теплоты QU2 и бз_4. Количество теплоты Q i_4, отдаваемой через плоскость 1-4 поверх­ности теплообмена, равно

= (г)

Поток теплоты через поверхность 2-3 может быть определен из соотношения

(>2-3 = Rn 2.3C PTQ,

Где т2. З — масса жидкости, входящей через поверхность 2-3.

Величина т2. 3 может быть определена по разности расходов ти2

И «3 .4.

Поток массы через плоскость 1-2

Т-2 = J0H Pwx Dy.

J pwxdy^ It J pWjc dy^ dx. Дет J pw. xdy^dx.

При прохождении расстояния dx поток массы изменится на вели­

Чину

I Pw* dy I dx.

Dx

Тогда поток через поверхность 3-4 будет

Г". D

Ща - J pwx dy + —

Поток массы через плоскость 2-3 будет

D

M2- З = w3.4 - M{.2 = —

Поток теплоты через поверхность 2-3 выразится соответственно уравнением f

62-3 = P^Wo Dyj dx. (д)

Подставив в уравнение теплового баланса (а) выражения (в), (г), (д), получим

РсрvvAi0 Dy] dx - ~

 

Dx

, / L*H І / D

PCpVi^f dy J dx + Qc dx ■ 1 = 0.

0

D Dx

После подстановки qc и некоторых преобразований получим оконча­тельное выражение интегрального уравнения энергии для пограничного слоя:

"Br df

Wx (to - t)dy = A~~. (2.241)

В уравнении (2.241) верхний предел интегрирования заменен на 5Х, так как при H > 5Т температура потока постоянна и равна температуре невозмущенного потока f0. В этом случае стоящая под знаком интеграла разность температур обращается в нуль. Выражение (2.241) впервые получено Г. И. Кружшшным. Для динамического пограничного слоя решение задачи было получено Т. Карманом (1921). В случае пластины интегральное уравнение динамического слоя имеет аналогичное выра­жение:

D Ґ., dw„

— j wx (vv0 - W) dy = V-—. (2.242)

Теплоотдача при ламинарном пограничном слое. Решением уравнений (2.241) и (2.242) можно определить толщину теп­лового пограничного слоя 5Т и коэффициент теплоотдачи согласно (2.233). Для этого необходимо знать распределение скорости wx (у) и температу­ры Ty по толщине теплового пограничного слоя.

Из опыта известно, что распределение в ламинарном потоке имеет параболический характер и может быть удовлетворительно описано уравнением кубической параболы, в которое в качестве неизвестного входит толщина пограничного слоя 6:

— = Иг + ь(4-| • (2.243)

VV0 о о '

Граничные условия:

При у = 0 W = 0;

(2 244)

При у = 5 Wx = WQ.

Уравнение квадратичной параболы неприемлемо, так как не удовлет­воряется условие на поверхности: при у = 0 и>Л. = 0 и \>у = 0, так как в непосредственной близости от стенки инерционные силы равны нулю в связи с практически полным торможением потока (условие прилипания). В таком случае из уравнения движения для пограничного слоя (2.239) следует, что этого могло бы не быть, если бы в уравнение параболы входил член (у/5)2. В результате решения уравнения (2.243) совместно с граничными условиями (2.244) получим

Решим вторую часть задачи. Найдем распределение температуры T (у) по толщине теплового пограничного слоя.

Введем новую переменную — избыточную температуру 9 = T — Te и

= T0 — T„ считая температуру стенки Tc постоянной, не зависящей от х. В новом обозначении граничные условия запишутся:

При, = 0 І> = 0;

При у = От & =

В новых обозначениях форма интегрального уравнения энергии (2.241) не изменится

D г5' „ч Л4. /

Для отыскания распределения температуры по толщине теплового пограничного слоя воспользуемся тем же методом, что и при опреде­лении распределения скорости. Вследствие подобия полей скорости и температуры примем параболическое распределение температуры

9 У 1.W3

Вследствие идентичности граничных условий для скорости и избыточ­ной температуры (2.244) и (2.246) получим

З 90, 1 S0 "=2ЇиЬ-ІГ

Окончательное распределение температуры в тепловом пограничном слое выражается уравнением

Из (2.248) и (2.242) и учитывая, что при у > 5 скорость равна постоян­ной величине w0 основного потока, а подынтегральное выражение ста­новится равным нулю, получаем выражение для определения толщины пограничного слоя

140

(2.249)

13 w0

Решая последнее, получаем зависимость для толщины слоя

5 = 4,64 Х

 

4,64 1/ЖГХ'

V*

(2.250)

W о

Или в безразмерном виде

(2.251)

Теперь, подставив полученные выражения скорости (2.245) и темпе­ратуры (2.248) в (2.241), вычислим интеграл в уравнении теплового потока в пределах теплового пограничного слоя, приняв 8Т ^ 8:

F Twx{h-t)dy= Г Tw,(3o-&)dy = Vv0 Г Tl,5^

-dx.

 

8d8

 

(2.248)

 

0,5

 

A v _ _ і 5 JL Оо ' 8Т

Jo Jo J о L

0,5

 

Dy = &owoS

 

1 - 1,5

 

28 I 8

 

8T

JWV2 20 [ 8

Считая 8T/8 ^ 1, вторым слагаемым можно пренебречь и считать

»ST „ / с 2

(2.252)

Правую часть уравнения (2.247) найдем из (2.248)

(2.253)

Dyjy=0 ' 8Т

А, (2.254)

Подставив значение интеграла (2.252) и (2.253) в интегральное урав­нение теплового пограничного слоя (2.241), получим

З $о 1 / dS 2 dp

W* (So - 3) dy = — 90w08 f ^

 

J J с

Или - vv0h3 8 — +2p282 ^

Где Р «8Т/8.

Подставляя в это уравнение значение толщины пограничного слоя согласно (2.249) и (2.250), получим

Р3 + 4х{32 dp

 

Dx

 

Р3 + 4хр2

14 у 13 а

= 1.

Подставляя Pr = V/A и считая 14/13 «1, имеем

_ J_

Dx Рг'

Решением этого уравнения будет

Нгз:(2.255) 5 |/Рг

Показанное ранее соотношение толщин теплового и динамического пограничных слоев получило количественное выражение от Рг. Под­ставляя значение (2.251) в (2.255), получим окончательное выражение для 8Т:

8, = 4,64 _____ *__.-. (2.256)

I/Re* ]/Рг

Определим коэффициент теплоотдачи

/ ч Л / Dt

A* (to - fe) = - А, у

А Л, /аэ'

АЛ. Э0 = - X — и а, = - г - —..

дУ /у-о %ду/у=0

Величина градиента температуры на поверхности пластины легко определяется из уравнения (2.253):

Д§Л _ 3_ 9о_

Ду)у = о 2 8, ' откуда получаем

А* = - j (2.257)

Подставив 5Т согласно (2.256), получим окончательное уравнение для местного коэффициента теплоотдачи

Ах «0,331 ~ |/Re^{/Pr, (2.258)

Или

А, = С!ГХ, (2.259)

Где С объединяет величины, не зависящие ОТ X.

Уравнение (2.258) легко привести к безразмерному виду, зная, что Nu* = Ol X X / X:

Nu, = 0,331Re°-5Pr°-33. (2.260)

Среднее значение а для пластины длиной / определяется путем формального осреднения местного значения: І і

О о

Где а і — местный коэффициент теплоотдачи на конце пластины длиной /.

177

Согласно (2.261) среднее значение а будет

(2.262)

А = 0,662 у }/Re, f/Pr.

(2.263)

В формуле (2.263) за определяющую температуру принята средняя температура жидкости, а за определяющий размер — длина пластины вдоль потока. Анализ полученной зависимости для а позволяет выявить роль основных факторов, влияющих на теплообмен.

Как видно из формулы (2.259), коэффициент теплоотдачи уменьшается с увеличением х. Это объясняется тем, что температурный напор £0 — Tc При постоянной температуре поверхности плиты не меняет своего значения, а при увеличивающейся толщине 5х(х) пограничного слоя градиент температуры падает с увеличением х.

Коэффициент теплоотдачи зависит и от направления теплового потока, зависит от того, нагревается жидкость или охлаждается. Градиент температуры в пограничном слое при нагревании больше, чем при охлаждении. Как показывает опыт и анализ влияния градиента температуры в случае нагревания и в случае охлаждения жидкости вдоль пластины, коэффициент теплоотдачи при нагревании капельных жид­костей больше, чем при охлаждении.

По предложению М. А. Михеева, зависимость коэффициента тепло­отдачи от направления теплового потока учитывается введением в кри­териальное уравнение множителя (Ргж/Ргс)0'25, где Prf относится к жидкости при температуре стенки. При нагревании жидкости эта поправка больше единицы, при охлаждении — меньше единицы.

 

(2.265)

Окончательное расчетное уравнение теплоотдачи при течении жидкости вдоль плоской поверхности:

(2.264)

Для газов Рг мало зависит от температуры, поэтому формула (2.264) может быть упрощена. Так, для воздуха, приняв Рг = 0,72, получим расчетное уравнение

Nu., = 0,57Re-"f.

Следует отметить, что наличие необогреваемого участка в начале плиты влияет на формирование динамического и теплового пограничных слоев. Это следует учитывать особой поправкой, которая может быть найдена в справочной литературе.

Приведенные зависимости, полученные на основе аналитического решения задачи теплообмена при ламинарном пограничном слое, совпадают с экспериментальными результатами обобщенных данных при постоянных физических свойствах жидкости (рис. 2.33). Такое совпадение свидетельствует о широких возможностях теории погранич­ного слоя при решении задач конвективного теплообмена. В этом разделе показан путь решения и анализ полученных результатов одной из
простых задач теплообмена. Для более сложных случаев мы огра­ничимся анализом результатов, полученных опытным путем.

Теплоотдача при турбулентном пограничном слое. Аналитический расчет теплоотдачи в турбулентном слое представляет большие трудности вследствие сложности самого движения и сложности механизма переноса количества движения и теплоты. Особенностью турбулентного течения является пульсационный характер движения. На рис. 2.34 показана осциллограмма колебаний скорости в фикси­рованной точке турбулентного потока. Отклонение мгновенной скорости w' от средней w называется пульсацией. Наличие пульсаций как бы увеличивает вязкость, и тогда полная вязкость турбулентного потока будет суммой двух величин — молекулярной вязкости и дополнитель­ной турбулентной. Турбулентная вязкость рф не является физическим параметром теплоносителя, как коэффициент динамической вязкости, и характеризует интенсивность переноса количества движения в турбу­лентном потоке. Аналогично вязкости в уравнении движения, в дифферен­циальном уравнении энергии дополнительно к молекулярной тепло­проводности появляется турбулентная теплопроводность їгр, характе­ризующая турбулентный перенос теплоты и также не являющаяся физическим параметром теплоносителя.

Аналитическое решение дифференциальных уравнений становится невозможным вследствие трудностей, связанных с определением пульса- циоиных характеристик и их связи с осредненными параметрами потока.

Теоретическое исследование теплоотдачи при турбулентном движе­нии развивается на базе полуэмпирической теории турбулентности Прандтля или на базе гидродинамической теории теплообмена Рейнольдса, основанной на аналогии между процессами турбулентного переноса количества движения и теплоты. Рассмотрение этих вопросов не входит в задачи настоящего курса.

В заключение приведем расчетные формулы, полученные методом гидродинамической аналогии для расчета теплообмена в турбулент­ном потоке:

Рг

1)

Nux = 0,0296 Re"'8 ----------------------. (2.266)

І + ^-(Pr W'o

4 6 В Ю3 1 ¥ 6 8 10* 2

 

Рис. 2.33. Средняя теплоотдача пластин при ламинарном режиме течения:

 

1 - воздух; 2 — вода; 3 - трансформа­торное масло

W,m/ci.

Рис. 2.34. Изменение скорости в неподвижной точке турбулент­ного потока

При Рг = 1 формула (2.266) принимает вид

(2.267)

Nu,. = 0,0296 Re°>8

И

Nu, = 0,037 Re°'/8- (2.268)

В этом случае уравнения (2.267) и (2.268) очень хорошо совпадают с результатами эксперимента.

При Рг Ф 1 формула (2.266) должна быть скорректирована. В этом случае рекомендуются эмпирические уравнения:

Nux. = 0,03 Re°-8 Рг£-43 (Ргж/Ргс)0-25; (2.269)

Nu, = 0,037Re°',8 PrЈ43 (Pr3K/Prc)0-25. (2.270)

Для газов среднее значение а по длине пластины I может быть рассчитано по формуле

Шж1 = 0,032 Ре°.Д (2.271)

На рис. 2.35 приведены данные по теплообмену иа поверхности пластины. Критериальные зависимости (2.269) и (2.270) можно решить относительно а, подставив значения критериев. Тогда зависимость коэф-

^ЖІ

J*

<

J

?

Й

F

О - 1 - ® -2 Ф Х ф + -S Ф -7 е -8 ' а -9 ~ Е -10 я -11 «-12 © -13 ® -14 Fa ж І,

Т

М

V

7 /

А

/

T

// с®

'А

/

/

'7 2

/ /

К

/ //

Г

 

2 3 4 5 7 9 10ч 2 3 4 5 Є 8 10* 2 3 4 5 6 в 1Q6 2 3 Рис. 2.35. Ме<