Физический смысл основных критериев подобия. Определяющие критерии. Теоремы подобия. Критериальные уравнения.

Для обеспечения максимальной эффективности (в широком смысле слова) любых экспериментальных исследований эти исследования необходи­мо организовать так, чтобы можно было определить критерии подо­бия и представить полученные результаты критериальной функцио­нальной зависимость. Такой подход позволяет при ограни­ченном числе экспериментов дать оценку хода процесса или поведения системы при разнообразных сочетаниях параметров, их характеризую­щих, и, следовательно, получить ответы на те дополнительные вопро­сы, которые обычно возникают уже после окончания эксперименталь­но-исследовательских и испытательных работ.

Критерий подобия — безразмерная величина, составленная из размерных физических параметров, определяющих рассматриваемое физическое явление. Равенство всех однотипных критериев подобия для двух физических явлений и систем — необходимое и достаточное условие физического подобия этих систем.

Критерии подобия, представляющие собой отношения одноимённых физических параметров системы (например, отношения длин), называются тривиальными и при установлении определяющих критериев подобия обычно не рассматриваются: равенство их для двух систем является определением физического подобия. Нетривиальные безразмерные комбинации, которые можно составить из определяющих параметров, и представляют собой критерии подобия.

Всякая новая комбинация из критериев подобия также является критерием подобия, что даёт возможность в каждом конкретном случае выбрать наиболее удобные и характерные критерии. Число определяющих нетривиальных критериев подобия меньше числа определяющих физических параметров с различными размерностями на величину, равную числу определяющих параметров с независимыми размерностями(«Пи-теорема»).

Если известны уравнения, описывающие рассматриваемое физическое явление, то критерии подобия для этого явления можно получить, приводя уравнения к безразмерному виду путём введения некоторых характерных значений для каждого из определяющих физических параметров, входящих в систему уравнений. Тогда критерии подобия определятся как безразмерныекоэффициенты, появляющиеся перед некоторыми из членов новой, безразмерной системы уравнений. Когда уравнения, описывающие физическое явление, неизвестны, критерии подобия отыскиваются при помощи анализа размерностей, определяющих физические параметры.

Критерий подобия в теоретической механике

Критерий подобия механического движения получается из уравнения, выражающего второй закон Ньютона и называется числом Ньютона:

, где

— действующая на тело сила,

— его масса,

— время,

— характерный линейный размер.

Критерии в теории упругости

При изучении упругих деформаций конструкции под воздействием внешних сил основными критериями подобия являются коэффициент Пуассона для материала конструкции:

 

и критерии

, где

— относительная продольная деформация,

— относительная поперечная деформация,

— модуль Юнга,

— плотность материала конструкции,

— характерная внешняя сила,

— ускорение силы тяжести.

Критерии подобия в гидрогазодинамике

В гидромеханике важнейшими критериями подобия являются:

• Число Рейнольдса:

. Определяет, в частности, переход от ламинарного режима к турбулентному.

• Число Маха:

.

• Число Фруда:

 

В этих примерах

— плотность жидкости или газа,

— характерный размер,

— скорость течения,

— динамический коэффициент вязкости,

— кинематический коэффициент вязкости,

— местная скорость распространения звука в движущейся среде.

Каждый из критериев подобия имеет определенный физический смысл как величина, пропорциональная отношению однотипных физических величин. Так, число характеризует отношение инерционных сил при движении жидкости или газа к силам вязкости, а число — отношение инерционных сил к силам тяжести.

Основными критериями подобия процессов теплопередачи между жидкостью (газом) и обтекаемым телом являются число Прандтля, число Нуссельта, число Грасгофа, а также число Пекле и число Стэнтона.

Здесь α — коэффициент теплопередачи, λ — коэффициент теплопроводности, c_p — удельная теплоёмкость жидкости или газа при постоянном давлении, — коэффициент температуропроводности, b — коэффициент объёмного расширения, Δ T — разность температур поверхности тела и жидкости (газа). Два последних числа связаны с предыдущими соотношениями: Ре = Pr×Re, St = Nu/Pe.

Положения относительно необходимых и достаточных условий подобия обычно систематизируются в виде первой, второй и третьей теорем о подобии; первые две теоремы определяют необходимые, третья — необходимые и достаточные условия подобия.

В основной современной фор­мулировке, учитывающей возможность существования различных ви­дов подобия, первая теорема имеет следующий вид: явления, подобные в том или ином смысле (полно, приближенно, физически, ма­тематически и т. д.), имеют определенные сочетания параметров, на­зываемые критериями подобия, численно одинаковые для подобных яв­лений. Она называется также теоремой Ньютона или Ньютона—Бертрана.

Первая теорема подобия утверждает, что для явлений (объектов, процессов), подобных в том или ином смыс­ле, существуют одинаковые критерии подобия — идентичные по форме алгебраической записи и равные численно безразмерные сте­пенные комплексы (произведения или отношения) определенных групп физических факторов, характеризующих эти явления. Формулируя необходимые условия существования подобия (одинаковые критерии подобия у подобных явлений), первая теорема, однако, не указывает способы установления подобия и способы его реализации при построе­нии моделей.

Вторая теорема подобия, чаще встречающаяся под названием р-теоремы, имеет следующий вид: всякое полное уравнение физического процесса, записан­ное в определенной системе единиц, может быть представлено функ­циональной зависимостью между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Эта теорема утверждает, что полное уравнение физического процесса, записанное в определённой системе единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т. е. зависимостью, связывающей безразмерные величины, определенным образом полученные из участвующих в процессе параметров. Так же как и первая, вторая теорема подобия основывается на предпосылке, что факт подобия между процессами известен, и устанавливает число критериев подобия и существование однозначной зависимости между ними. При этом выражения для критериев подобия могут быть получены, если известен состав параметров (факторов), участвующих в рассматриваемом процессе, но неизвестно его математическое описание. Теорема эта, однако, также как и первая, не указывает способов выявления подобия между сопоставляемыми процессами и способов реализации подобия при построении моделей.

Вторая теорема устанавливает возможность представления интеграла диф­ференциального уравнения физического процесса не как функции параметров процесса и системы, в которой протекают эти процессы, а как функция соответст­вующим образом построенных некоторых безразмерных величин — критериев подобия. Если исходное дифференциальное уравнение проинтегрировано, то функциональные связи между критериями подобия будут однозначно определе­ны в соответствии с теми допущениями, которые были приняты при составлении и интегрировании данного уравнения. Если же дифференциальное уравнение

от­сутствовало или не интегрировалось, то вид функциональных связей между критериями подобия не будет выявлен.

Вторая теорема основывается на исследованиях Букингема, Федермана и Эренфест-Афанасьевой. Возможность представления интеграла как функции от критериев подобия, найденных из дифференциального уравнения, была строго доказана для частного случая Букингемом. В более общем виде это положение как математическая теорема было доказано Федерманом. Эренфест-Афанасьева привела доказательство в общем виде, показав условия, при которых интеграл можно представить как функцию критериев подобия. Одновременно было пока­зано, что из соотношений, указывающих на однородность уравнения, связываю­щего физические величины (одинаковая размерность всех членов уравнения), и из возможности получения безразмерных соотношений после деления этого урав­нения на любой из его членов следует важный вывод о существовании определен­ных соотношений между размерностями физических параметров. Эренфест-Афа­насьевой было показано, что критерии подобия можно найти при отсутствии диф­ференциального уравнения процесса на основе анализа размерностей физичес­ких величин, участвующих в этом процессе. Эта возможность была сформулиро­вана и строго доказана в виде теоремы, названной

л-теоремой, поскольку упомя­нутые выше безразмерные параметры (критерии подобия) обозначались буквой л.

В наиболее распростра­ненной формулировке третья теорема имеет следующий вид: необхо­димыми и достаточными условиями для создания подобия являются про­порциональность сходственных параметров, входящих в условия одно­значности, и равенство критериев подобия сопоставляемых явлений. Третья теорема подобия именуется также обратной теоремой подобия или теоремой Кирпичева—Гухмана.

Напомним понятия условий однозначности. Известно, что дифференциальное уравнение в общем виде описывает бесконечное множество процессов, относящихся к данному классу. Так, например, дифференциальное уравнение u=iR+Ldi/dt описывает изменение тока во времени в цепи с активным сопротивлением R и индуктивностью L при включении ее на u=const. Условия, определяющие индивидуальные особенности процесса или явления и выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление, называются условиями однозначности. К ним относятся следующие, не зависящие от механизма самого явления, факторы и условия:

• геометрические свойства системы, в которой протекает процесс;
• физические параметры среды и тел, образующих систему;
• начальное состояние системы (начальные условия);
• условия на границах системы (граничне или краевые условия);
• взаимодействие объекта и внешней среды.

Очевидно, нельзя математически формулировать условия однозначности в общем виде. В каждом конкретном случае они могут быть различны в зависимости от рода решаемой задачи и вида уравнения. Так, для выделения определенного процесса из совокупности процессов, описываемых приведенным уравнением, достаточно знать параметры u, R, L и начальные условия, например,i=i₀ при t=t₀. В большинстве задач, связанных с исследованием полей, однозначность процессов определяется не только начальными условиями, но и свойствами среды, геометрическими свойствами системы и граничными условиями.

Практически более удачная формулировка третьей теоремы, предложенная в последнее время, имеет вид, отвечающий реальным задачам создания различных моделей. Эта формулировка состоит из трёх положений.

Положение 1. Создание модели возможно, если критерии подобия (безразмерные комплексы), составленные из величин, характеризующих только ее системные (материальные) параметры, равны соответствующим критериям изучаемой системы-оригинала.

Положение 2. В созданной, согласно положению 1, модели осуществление процессов, подобных оригиналу, возможно, если критерии подобия, содержащие только параметры процессов, входящих в условия однозначности и в том числе начальные условия (параметры исходного режима, возмущений и отклонений), в модели и оригинале соответственно одинаковы.

Положение 3. Осуществление модели согласно формулировкам 1 и 2 возможно в сколь угодно сложных анизотропных, нелинейных или имеющих вероятностно заданные параметры системах при условии одновременного соблюдения соответствующих дополнительных положениях, сформулированных ниже.

Дополнительные положения теории подо­бия распространяют три основные теоремы подобия на системы сложные, системы с нелинейны­ми или переменными параметрами, анизотропные системы (с различ­ными свойствами по различным координатам) и системы, заданные ве­роятностно-статистическими характеристиками; этими же положения­ми охватываются геометрически неподобные системы, а также систе­мы, для которых понятие подобия интерпретируется шире, чем по­стоянство масштабных коэффициентов в сходственных точках прост­ранства параметров в сходственные моменты времени.

В общем случае дополнительные положения теории подобия фор­мулируются следующим образом:

— подобие сложных геометрически подобных и изотропных систем с детерминированно определенными линейными или постоянными па­раметрами, образованных несколькими соответственно подобными по отдельности подсистемами, обеспечивается, если выполняется допол­нительное условие подобия всех сходственных элементов, являющихся общими для этих подсистем;

— условия подобия сложных геометрически подобных и изотроп­ных систем с детерминированно определенными линейными и постоян­ными параметрами могут быть распространены на сложные системы с нелинейными или переменными параметрами, заданными детерминиро­ванно, если выполняется дополнительное условие совпадения относи­тельных характеристик сходственных параметров, являющихся нели­нейными или переменными;

— условия подобия детерминированно определенных геометрически подобных изотропных сложных систем могут быть распространены на анизотропные геометрически подобные сложные системы, задан­ные детерминированно, если выполняется дополнительное условие обес­печения одинаковой относительной анизотропии в сопоставляемых системах;

— условия подобия детерминированно определенных геометричес­ки подобных анизотропных сложных систем с переменными или нели­нейными параметрами могут быть распространены на геометрически неподобные сложные системы с детерминированно определенными пара­метрами, если выполняется дополнительное условие обеспечения такого нелинейного подобия пространства параметров, при котором сущест­вуют подобные изменения параметров процесса в сходственных точках этого пространства;

— условия подобия сложных геометрически неподобных анизотроп­ных систем с детерминированно определенными нелинейными или пе­ременными параметрами могут быть распространены, на системы с вероятностно (статистически) определенными параметрами, если вы­полняются дополнительные условия совпадения плотностей вероятно­стей сходственных параметров и пропорциональности их статисти­ческих моментов, степени масштабных коэффициентов при которых совпадают с порядками соответствующих моментов.