Непрерывные и Дискретные модели. Распределенность и сосредоточенность моделей.

Непрерывные модели – модели, состояния и выходные параметры которых являются непрерывными во времени (на заданном интервале [r1, r2]) и в пространстве, при этом должны быть непрерывны S и F. Т.е. малые изменения входных воздействий приводят к таким же малым изменениям выходных параметров.

На основе этого можно записать изменение состояния системы:

Решая его, можно определить изменение состояния системы в [r0, r1]

Уравнение выхода:

Модель функционирования непрерывной модели принимает вид:

MF=<X, P, Y, s, f, [r0, r1]>

s – функция перехода, f – функция выхода

Дискретная модель – модель, в которой хотя бы одно из множества состояний системы, выходных параметров дискретны во времени и в пространстве, при этом S и F – дискретны. Т.е. P, Y определены только в определенные моменты времени, ri, rj, rk и т.д. – это модель дискретная во времени. Такой подход может использоваться при решении задач тепломассопереноса дифференциальными уравнениями, описывающими непрерывные процессы. Дискретизированная модель – дискретная модель непрерывной системы.

Если состояния системы и выходные параметры определены только в определенные моменты времени, то их значения при моделирования описываются в виде последовательности:

В моделях с распределенными параметрами учитывается неравномерность распределенных параметров внутреннего состояния, выходных параметров по пространственным координатам. Признаком того, что модель является таковой, является наличие частных производных по пространственным координатам параметров объекта, т.е.:

Примерной такой модели может быть уравнение Фурье.

Модель с сосредоточенными параметрами – это модель системы, которая описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Все параметры в уравнении зависят только от времени. Типичным примером такой модели является дифференциальное уравнение ускорения (a=dV/dt). 

 

Билет 6.

1. Примеры моделирования систем в металлургии на примере шахтной печи металлизации.

В шахтной печи металлизации соблюдается противоточная схема движения. Построим модель в 2-мерной системе координат (L, z).

Состав шихтовых материалов – Fe2O3, Fe3O4, CaO, SiO2 и т.д.

Состав дымовых газов – CO, H2, N…

X(r)={состав газов, состав шихты, t(r), Vг(r)}

Y(r)={состав полученных материалов, состав отходящих газов, производительность агрегата, tм, tг}

P(r)={температурное поле материала и газа по L и r, скорость движения газов и материала, степень восстановления}

Tг=f(l, z, r), Tм=f(l, z, r), wм=f(l, z, r), wг=f(l, z, r), СМ=СГ=f(l, z, r)

Воспользуемся принципом декомпозиции:

S0=S1+S2+S3+S4

S1: СМ=СГ=f(l, z, r) – подсистема физико-химических превращений

S2: Tг=f(l, z, r), Tм=f(l, z, r) – подсистема теплообмена

S3: wг=f(l, z, r) – подсистема газодинамики

S4: wм=f(l, z, r) – подсистема движения материалов

Рассмотрим S2 и S4:

Ограничения: нагрев термически тонких тел, конвективный теплообмен в рабочем пространстве, потери тепла через кладку минимальны.

Закон сохранения энергии:

Граничные условия:

1) Модель динамическая

2) Модель двумерная с распределенными параметрами (изменение параметров по пространственным координатам)

3) Модель нелинейная

Движение газов и материалов в среде линейно и описывается уравнением Навье-Стокса.

4) Модель детерминированная

S4: Будем считать, что состояние системы отсутствует P(r)=0, таким образом, прибегнем с принципу “черного ящика” (материал слоями движется параллельно вниз).

Скорость газов равна нулю. Согласно уравнению неразрывности: