Основные подходы к разработке математических моделей систем. (формальный, аналитический).

Этапы разработки системы:

1) Формулировка цели Z разработки системы – количественный показатель, характеризующий качество системы. Является основополагающим этапом (должна быть четко сформулирована цель, четкая ориентированность, ее важность)

2) Определение границ системы, входных и выходных параметров x, u, y, u

3) Моделирование системы

В качестве модели принимается выходная величина: Y(r)=F[x(r), u(r), E(r), r]

4) Синтез управления – необходимо разработать план управления u(r) для достижения Z с использовании информации о x(r), u(r), E(r), Y(r). 

5) Коррекция – определяет возврат к предыдущим этапам с целью учета границ раздела системы, т.к. система “эволюционирует” (изменяется по времени, поэтому необходима постоянная корректировка) 

Методы моделирования системы:

1. Метод “черного ящика” – подразумевает анализ системы без оглубления в физику процесса. В металлургических процессах не очень эффективен, поскольку в лучшем случае он применим только для конкретных систем без возможности переноса на другие однотипные системы. При этом нет однозначной функциональной зависимости между входом и выходом, т.к. внутренние свойства объекта во времени могут изменяться.

2. Аналитический подход – подразумевает наличие физики процесса, входные и выходные параметры связываются зависимостями

Линеаризация математических моделей систем. Линеаризация статических моделей систем.

Линеаризация – процедура приведения нелинейного уравнения к линейному виду.

Методы линеаризации:

1. Метод касательных

Нелинейную зависимость заменяются в окрестностях точки А прямой линией, являющейся касательной в точке А. При этом получается линейная зависимость:
dy=kAdx(вх), где dy=y-y0, dx=x-x0, k=dy/dx

2. Метод малых отклонений

Заключается в разложении функциональной зависимости y=f(x) в ряд Тейлора.

Отбрасываем члены второго и далее порядка ввиду их малой важности:

Если выходной параметр является функцией нескольких входных параметров y = f (xвх1, xвхi, xвхn), то эту зависимость тоже следует линеаризовать, разложив выражение в ряд Тейлора и отбросив члены с малыми порядками:

 

 

Билет 10

Распределенность и сосредоточенность математических моделей систем. Примеры.

В моделях с распределенными параметрами учитывается неравномерность распределенных параметров внутреннего состояния, выходных параметров по пространственным координатам. Признаком того, что модель является таковой, является наличие частных производных по пространственным координатам параметров объекта, т.е.:

Примерной такой модели может быть уравнение Фурье:

Модель с сосредоточенными параметрами – это модель системы, которая описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Все параметры в уравнении зависят только от времени. Типичным примером такой модели является дифференциальное уравнение ускорения (a=dV/dt).