Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения

Рассмотрим метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения.

Постановка задачи в краткой форме представляется следующим образом. Пусть задано множество альтернатив А и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества с номерами j == i,..., m. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества j представлена в форме отношения предпочтения R_j. Таким образом, имеется m отношений предпочтения R_j на множестве А. Требуется выбрать лучшую альтернативу из множества {A, R₁,...,R_m}.

Метод многокритериального выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения основан на ряде определений.

Определение 1. Нечетким отношением R на множестве А называется нечеткое подмножество декартова произведения А x А, характеризующееся функцией принадлежности μ_R: А x А → [0,1]. Значение μ_R (a, b) этой функции понимается как степень выполнения отношения а b.

Определение 2. Нечетким отношением предпочтения на А называется любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение, функция принадлежности которого вычисляется следующим образом:

Определение 3. Пусть А - множество альтернатив и μ_R - заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (А, μ_R) описывается функцией принадлежности

Определение 4. Четко недоминируемыми называются альтернативы, для которых μ_R^НД (а) = 1, а множество таких альтернатив

Определение 5. Носителем нечеткого множества В с функцией принадлежности μ_B(a) является множество {а | а А, μ_B > 0}.

Процедура решения задачи выбора выполняется в несколько шагов.

1. Строится нечеткое отношение Q₁, которое является пересечением исходных отношений предпочтения:

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (А, μ_Q1):

2. Строится нечеткое отношение Q₂

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (A, μ_Q2):

Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа w_j в приведенной выше свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:

3. Отыскивается пересечение множеств μ_Q1^НД и μ_Q2^НД:

4. Рациональным считается выбор альтернатив из множества

Наиболее рациональной альтернативой из множества А^НД является та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.