Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода

Рассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений [2].

Сущность метода, на основе которого реализована компьютерная система, заключается в следующем. Пусть U - множество элементов, А - его нечеткое подмножество, степень принадлежности элементов к которому есть число из единичного интервала [0, 1]. Подмножества A_j

являются значениями лингвистической переменной X.

Допустим, что множество решений характеризуется набором критериев x₁, x₂,..., x_p, т.е. лингвистических переменных, заданных на базовых множествах u ₁, u ₂,.... u _p соответственно. Например, переменная x₁ "качество управления" может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная x₂ "стоимость" - значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления лица, принимающего решение, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S "удовлетворительность" также является лингвистической. Ниже приведен пример высказывания:

d₁: "Если x₁ = НИЗКОЕ и x₂ = ХОРОШЕЕ, то S = ВЫСОКАЯ". В общем случае высказывание d₁ имеет вид:

d₁: "Если x₁ = A₁, и x₂ = A_2i и... хр = A_pi то S = B_i". (4.1)

Обозначим пересечение (x₁ = A_1i x₂ = A_2i ... х_р = A_pi) через х = A_i. Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:

Здесь V= U₁ x U₂ x... U_p; v = (u ₁, u ₂..., u _p); μ_Aij (u _j) - значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству A_ij.

Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде:

Для придания общности суждениям обозначим базовые множества U и V через W. Тогда A_i - нечеткое подмножество W, в то время как B_i - нечеткое подмножество единичного интервала I.

Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализации [4]. Нечеткая импликация Лукасевича имеет вид:

где Н - нечеткое подмножество на W x I, w W, i I.

Аналогичным образом высказывания d₁, d₂,..., d_q преобразуются в множества Н₁, Н₂,..., Н_q. Их пересечением является множество D:

D = H₁ H₂ ... Н_q

и для каждого (w, i) W x I

Удовлетворительность альтернативы, которая описывается нечетким подмножеством А из W, определяется на основе композиционного правила вывода:

G = Аº D,

где G - нечеткое подмножество интервала I.

Тогда

Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества С I определяем α-уровневое множество (α [0, 1]):

С_α = {i | μ_c(i) ≥ α / I}.

Для каждого С_α можно вычислить среднее число элементов - М(С_α):

для множества из n элементов

для С_α ={a ≤ i ≤ b}

при 0 ≤ a₁ ≤ b₁ ≤ a₂ ≤ b₂ ≤... ≤ a_n ≤ b_n ≤ 1.

Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде:

где α_max - максимальное значение в множестве С.

При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлетворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.