Оценка однородности иерархии

После решения задачи иерархического синтеза оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем "взвешивания" к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина. Число шагов алгоритма по вычислению однородности определяется конкретной иерархией.

Рассмотрим принципы вычисления индекса ИОИ и отношения ООИ однородности иерархии.

Пусть задана иерархия критериев и альтернатив и для каждого уровня определен индекс однородности и векторы приоритетов критериев следующим образом:

ИО1 - индекс однородности для 1-го уровня;

{ИО2, ИО3} - индексы однородности для 2-го уровня;

{ИО4, ИО5, ИО6} - индексы однородности для 3-го уровня;

{W1} - вектор приоритетов критериев K2 и K3 относительно критерия K1;

{W2},{W3} - векторы приоритетов критериев K4, K5, K6 относительно критериев K2 и K3 второго уровня.

В этом случае индекс однородности рассматриваемой иерархии можно определить по формуле:

где Т - знак транспонирования.

Определение отношения однородности ООИ для всей иерархии осуществляется по формуле

ООИ = ИОИ / М(ИОИ),

где М(ИОИ) - индекс однородности иерархии при случайном заполнении матриц попарных сравнений.

Расчет индекса однородности М(ИОИ) с учетом экспериментальных данных выполняется по формуле:

Однородность иерархии считается удовлетворительной при значениях ООИ <= 0,10.

 

23. Многокритериальный выбор на иерархиях с различным числом и составом аль­тернатив под критериями.

В практике принятия решений нередко встречается задача, когда ранжируемые по множеству критериев альтернативы оцениваются экспертом не по всем критериям. Эта задача характерна для ситуаций, в которых множество критериев, выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является избыточным относительно одной или нескольких альтернатив. Таким образом, в рассматриваемом случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым критерием или под их частью.

Рассмотрим методику определения вектора приоритета альтернатив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев, объединенных фокусом с учетом значимости критериев, и разное количество альтернатив у каждого критерия. Методика предполагает выполнение ряда процедур по структурированию информации и проведению вычислительных операций.

Процедура 1. Исходная проблема структурируется в виде иерархии, устанавливающей взаимосвязь между множеством сравниваемых альтернатив и множеством критериев.

Процедура 2. На основе иерархической структуры определяется бинарная матрица [В], устанавливающая соответствие между альтернативами и критериями. Матрица [В] содержит элементы bij = {0,1}. При этом если альтернатива Аi оценивается по критерию Ej, то bij = 1, в противном случае bij = 0.

Процедура 3. Осуществляется экспертная оценка альтернатив по соответствующим критериям. Для этой цели используются метод попарного сравнения, метод сравнения относительно стандартов или метод копирования. На основе экспертных оценок с учетом матрицы [В] строится матрица [А] следующего вида:

В матрице [А] экспертные оценки {aij} представляют векторы приоритетов альтернатив относительно критериев Ej. При этом если альтернатива Ai не оценивается по критерию Еj, то в матрице [А] соответствующее значение aij = 0. Векторы в указанной матрице имеют различное число значений aij и могут быть нормированными или ненормированными в зависимости от используемого метода сравнения альтернатив.

Процедура 4. В результате обработки матрицы попарных сравнений критериев Еj определяется нормированный вектор приоритетов критериев.

Процедура 5. Формируются структурные критерии S и L, отображаемые соответствующими диагональными матрицами [S] и [L].

Рассмотрим состав упомянутых матриц.

Матрица [S] имеет следующий вид:

где aij - значения векторов приоритетов из матрицы [А].

С помощью матрицы [S] обеспечивается нормирование векторов приоритетов альтернатив, образующих матрицу [А], если последняя заполнена методом сравнения относительно стандартов или копирования без предварительного нормирования.

Матрица [L] имеет следующий вид:

где Rj - число альтернатив Ai, находящихся под критерием Еj,

- суммарное число альтернатив, находящихся под всеми критериями.

Здесь следует отметить, что число N в матрице [L] может приниматься равным числу рассматриваемых альтернатив r, т.е. N= r. При этом на конечный результат способ определения N не оказывает влияния.

Процедура 6. Определяется вектор приоритетов альтернатив W относительно критериев. Данная процедура реализуется последовательным перемножением слева направо следующих матриц и векторов:

а) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] ненормированы:

W=[A]*[S]*[L]**[B];

б) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] нормированы:

W=[A]*[L]**[B].

В выражениях диагональная матрица [В] предназначена для окончательного нормирования значений вектора приоритетов альтернатив. Эта матрица имеет следующий вид:

где xi - значение ненормированного вектора приоритетов альтернатив, полученное после последовательного перемножения слева направо матриц [A], [S], [L] и вектора;

r - число альтернатив.