Интегрирование рациональных дробей методом неопределённых коэффициентов

       Теорема. Всякая правильная дробь  может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей:

.

       При этом простейшими рациональными дробями называют дроби вида:  и , где , , .

       Неизвестные постоянные  находят методом неопределённых коэффициентов, включающий два равносильных способа: сравнение коэффициентов и способ частных значений. В зависимости от задачи эти способы можно применять как по отдельности, так и комбинировать. Разберём их непосредственно на примере.

       Пример 14. Найти неопределённый интеграл , разложив подынтегральную функцию на простейшие дроби.

Решение. Выпишем подынтегральную дробно-рациональную функциюи представим её как сумму двух простейших дробей. Чтобы не мучиться с запоминанием формулы, приведённой в теореме в начале параграфа, можно запомнить простое правило: при разложении многочлен числителя простейшей дроби должен быть на порядок меньше многочлена её знаменателя. Тогда:

.

Приводим правую часть равенства к общему знаменателю:

.

       Так как знаменатели у обеих полученных рациональных дробей равны, для выполнения равенства должны быть равны и числители. Приравниваем их:

.

Неизвестные коэффициенты А, В и С находим способом частных значений, задаваясь значениями х и подставляя их в левую и правую части равенства:

       Нам требуется решить систему уравнений:

Если для нахождения коэффициентов А, В и С использовать способ сравнения коэффициентов, то в исходном равенстве желательно раскрыть скобки:

.

Теперь выписываем коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х:

Как видим, нам придётся решить более сложную систему уравнений, чем в предыдущем случае, но результат вычислений полностью совпадает со сделанными ранее.

Итак, коэффициенты найдены, можем вернуться к интегралу:

.

 

Неберущиеся» неопределённые интегралы

 

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Часть 2. Определённый интеграл

Задача о вычисление площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определенного интеграла

 

Определение криволинейной трапеции.

____________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

            Как найти площадь криволинейной трапеции?

 

Постановка задачи.________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(В первом приближении)_____________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

(Во втором приближении) ____________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

(Переход к интегральной сумме)_______________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

*) Аппроксим а ция, замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

 

(Получаем точное значение)_______________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

(2)

 

 

Обобщим полученный предел на любую непрерывную на отрезке [ a; b ] функцию.

Определение определённого интеграла. ____________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(3)

 

Здесь числа a и b называются ________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

отрезок [ a; b ] называется ___________________________________________________________________