Тема 5. Интегрирование функции одной переменной

Тема 5. Интегрирование функции одной переменной

(Часть 1. Неопределённый интеграл)

Понятие неопределённого интеграла

 

Определение первообразной. ______________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: _____________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

Записать формулировку задачи

 

Операция, обратная дифференцированию называется _______________________________

 

Первообразная определена неоднозначно, так как бесконечное множество функций могут иметь одинаковую производную. Например:

 

все эти функции имею производную, равную ______________________

Что получим, если восстановим из производной исходную функцию, не имея представления об её первоначальном виде? _______________________________________________________________________

 

Множество всех первообразных функции называется ________________________________________

и обозначается

 

 

Здесь  - _____________________________________________

 - _____________________________________________

           - ___________________________________________________________________

                    ____________________________________________________________________

            - _____________________________________________

 - _____________________________________________

Геометрически неопределённый интеграл представляет собой ______________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Свойства неопределённого интеграла

 

Из определения первообразной и, соответственно, неопределённого интеграла вытекает ряд следующих свойств.

 

1. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределённого интеграла:

 

_______________________________________________

 

2. Неопределённый интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) неопределённых интегралов от этих функций:

 

_______________________________________________

 

3. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

 

_______________________________________________

 

4. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

 

_______________________________________________

5. Свойство инвариантности. Неопределённый интеграл не изменится при замене независимой переменной  в подынтегральном выражении:

 

________________________________________________________

 

! Самостоятельно запишите аналитические выражения для сформулированных выше свойств.

 

 

Простейшие методы нахождения неопределённого интеграла

Учитывая, что интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, из таблицы производных можно получить таблицу основных неопределённых интегралов. Эта таблица приведена в Приложении.

Все методы нахождения неопределённого интеграла сводятся к выбору способа, с помощью которого подынтегральное выражение можно привести к табличному виду. Это могут быть различные алгебраические действия, применение формул тригонометрии, разложение дробей, замена переменной и т.д.

Рассмотрим самые простые способы изменения вида подынтегрального выражения.

 

Замена переменной

 

Метод замены переменной основан на________________________________________________

__________________________________________________________________________________

 

Метод замены переменной используется в случаях, когда интеграл от исходной функции можно представить, как 

 

Принцип замены переменой. _______________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. Будем все необходимые преобразования и пояснения делать внутри примера, отделяя их прямыми скобками. Таким образом, прямо на этом примере покажем алгоритм замены переменной:

Этот же пример без словесных пояснений, как он и должен выглядеть при записи:

 

Пример 10. Самостоятельно найти интеграл .

 

 

Интегрирование по частям

 

Вывод формулы интегрирования по частям. ___________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Существует несколько типов интегралов вида  (где  - многочлен) для которых удобно использовать формулу интегрирования по частям. Приведём их в виде следующей таблицы.

Таблица 1.

	Заменяем на		Заменяем на
Оставшийся многочлен		Оставшийся многочлен и дифференциал

 

Пример 11. Найти интеграл .

Решение. Используем формулу интегрирования по частям и таблицу 1.

 

Можно этот пример решить, сразу используя внесение под знак дифференциала:

 

 

Пример 12. Самостоятельно найти интеграл .

 

Замечание!   Степень многочлена  показывает, сколько раз придётся интегрировать выражение. Например, если , формулу интегрирования по частям нужно применить дважды.

 

Поясним это свойство.

 

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. (Интеграл от отрицательной (положительной) на промежутке [ a; b ] функции). ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

8. (Свойство инвариантности) Значение определённого интеграла не изменится при замене независимой переменной  в подынтегральном выражении:

 

________________________________________________________

 

Задание. Самостоятельно докажите или поясните ещё одно свойство.

 

Формула Ньютона-Лейбница

 

Введём, вначале, понятие определённого интеграла с переменным верхним пределом. ________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

                                                                     (4)

 

 

_________________________________________________________________________________________

 

Воспользуемся интегралом (4) и выведем формулу для вычисления определённого интеграла. _________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

_________________________________________________________________________________________

 

_____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________

______________________                          

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

 

 

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

      (5)

 

_________________________________________________________________________________________

 

Пример. Вычислить определённый интеграл .

Решение.

 

Решение.

 

Несобственные интегралы

 

Определение несобственного интеграла. ____________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

1) Несобственные интегралы 1-го рода.

Определение. ______________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

                              (12)

 

 

Несобственный 1-го интеграл рода сходится, если _____________________________________________

_________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

 

______________________________________________________________________________________________________________________

 

                              (13)

 

 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

                          (14)

 

 

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

                                                                    _____________________________________________________

 

Пример. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) ; б) .

 Решение.

 

 

2) Несобственные интегралы 2-го рода.

Определение. ________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

                              (15)

 

 

Несобственный интеграл 2-го рода сходится, если _____________________________________________

_________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

 

 

Пример. Вычислить интеграл .

Покажем, что произойдёт с результатом, если мы будем вычислять интеграл непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница, не учитывая его принадлежность к несобственным интегралам.

 

Неверное решение	Верное решение

 

 

Вывод: _________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

 

Приложение.

ТАБЛИЦА ПРОСТЕЙШИХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 

Здесь С и а – произвольные постоянные.

 

1.		11	!Выбирают либо верхний результат,  либо нижний!
2.		12	!Выбирают либо верхний результат,  либо нижний!
3.		13
4.		14
5.		.15
6.		16
7.		17
8.		18
9.		19
10.		.

 

Тема 5. Интегрирование функции одной переменной

(Часть 1. Неопределённый интеграл)