Понятие неопределённого интеграла

 

Определение первообразной. ______________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: _____________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

Записать формулировку задачи

 

Операция, обратная дифференцированию называется _______________________________

 

Первообразная определена неоднозначно, так как бесконечное множество функций могут иметь одинаковую производную. Например:

 

все эти функции имею производную, равную ______________________

Что получим, если восстановим из производной исходную функцию, не имея представления об её первоначальном виде? _______________________________________________________________________

 

Множество всех первообразных функции называется ________________________________________

и обозначается

 

 

Здесь  - _____________________________________________

 - _____________________________________________

           - ___________________________________________________________________

                    ____________________________________________________________________

            - _____________________________________________

 - _____________________________________________

Геометрически неопределённый интеграл представляет собой ______________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Свойства неопределённого интеграла

 

Из определения первообразной и, соответственно, неопределённого интеграла вытекает ряд следующих свойств.

 

1. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределённого интеграла:

 

_______________________________________________

 

2. Неопределённый интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) неопределённых интегралов от этих функций:

 

_______________________________________________

 

3. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

 

_______________________________________________

 

4. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

 

_______________________________________________

5. Свойство инвариантности. Неопределённый интеграл не изменится при замене независимой переменной  в подынтегральном выражении:

 

________________________________________________________

 

! Самостоятельно запишите аналитические выражения для сформулированных выше свойств.

 

 

Простейшие методы нахождения неопределённого интеграла

Учитывая, что интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, из таблицы производных можно получить таблицу основных неопределённых интегралов. Эта таблица приведена в Приложении.

Все методы нахождения неопределённого интеграла сводятся к выбору способа, с помощью которого подынтегральное выражение можно привести к табличному виду. Это могут быть различные алгебраические действия, применение формул тригонометрии, разложение дробей, замена переменной и т.д.

Рассмотрим самые простые способы изменения вида подынтегрального выражения.

 

Непосредственное интегрирование

 

Метод непосредственного интегрирования основан на___________________________________

__________________________________________________________________________________

Пример 1. Найти интеграл .

Решение.

Пример 2. Самостоятельно найти интеграл .

 

 

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой «квадрат разности»:

.

Пример 4. Самостоятельно найти интеграл .

 

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. Используем известные формулы тригонометрии:

.

Пример 6. Самостоятельно интеграл .