Нормальный закон на плоскости

Задача 3. Случайная точка  распределена по нормальному закону с параметрами ,  Требуется:

а) написать выражение для плотности вероятности системы ;

б) изобразить на плоскости области  и вычислить вероятности попадания случайной точки  в эти области, если

 

,

,

,

,

;

в) вычислить вероятность  того, что при трех независимых опытах случайная точка попадет хотя бы один раз в область ;

г) вычислить вероятность  того, что при первых двух опытах случайная точка окажется хотя бы один раз в области , а при третьем опыте - в области ;

д) определить, какое минимальное количество опытов нужно произвести для того, чтобы случайная точка оказалась в области  с вероятностью не меньшей 0,95.

Решение.

а) Нормальный закон распределения для системы двух случайных величин  имеет плотность вероятности вида

 

,

 

где - математические ожидания случайных величин, - средние квадратические отклонения,  - коэффициент корреляции. Поэтому плотность вероятности данной системы имеет вид

 

.

 

б) Область  является прямоугольником с осями, параллельными главным осям рассеивания (рис. 2.5). По формуле

 

,

 

где  - функция Лапласа, значения которой находятся по таблице, вычисляем вероятность попадания случайной точки  в данную область:

 

Рис 2.5

 

Область  является прямоугольником с осями, параллельными главным осям рассеивания и центром в центре рассеивания (рис. 2.6).

 

Рис. 2.6

 

Следовательно, для вычисления искомой вероятности целесообразно применение формулы

 

 

Область  является квадрантом с вершиной в точке (-3-2) (рис.2.7).

 

Рис. 2.7

 

Найдем вероятность попадания в область :

 

.

 

Область  является квадрантом с вершиной в центре рассеивания

 

Рис. 2.8

 

Искомую вероятность можно найти, исходя из симметричности поверхности распределения относительно плоскостей :

.

 

Вероятность попадания случайной точки  в эллипс рассеивания  (рис.2.9) вычисляем по соответствующей формуле:

 

,

 

где  - размеры полуосей эллипса рассеивания в единицах среднего квадратического отклонения по направлению главных осей рассеивания.

 

Рис. 2.9

случайный величина распределение дисперсия

в) Для определения вероятности  хотя бы одного попадания в область  при трех независимых опытах перейдем к противоположному событию, т.е. к тому, что в результате трех опытов случайная точка ни разу не окажется в области . Вероятность того, что случайная точка в результате опыта не попадет в область , равна

 

 

Затем находим вероятность того, что случайная точка при трех опытах ни разу не попадет в :

 

 

и, наконец, искомую вероятность:

 

 

г) Вероятность  того, что при первых двух опытах случайная точка окажется хотя бы один раз в области , а при третьем опыте - в области , равна по теореме умножения вероятностей произведению вероятности того, что при двух опытах случайная точка попадет хотя бы раз в область :

 

 

и вероятности попадания случайной точки в область :

 

.

 

Итак, искомая вероятность

 

.

 

д) Если событие в каждом опыте может наступить с вероятностью , то количество  опытов, которые необходимо произвести для того, чтобы с вероятностью  можно было утверждать, что данное событие произойдет хотя бы один раз, находится по формуле

 

.

 

По условию, , тогда

 

,

 

т.е. необходимо провести как минимум 1 опыта.