Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Непрерывные системы двух случайных величин
Задача 2. Система случайных величин задана совместной плотностью вероятности
в треугольной области АВС с координатами А(-1; 0), В(0; 1), С(-1; 2). Требуется: а) вычислить константу а в выражении для плотности вероятности ; б) вычислить вероятность попадания случайной точки в треугольную область АВD с координатами D(-1; 1); в) найти безусловные плотности вероятности и случайных величин x и h; г) найти условные плотности вероятности , ; д) установить, являются ли случайные величины x и h независимыми; е) вычислить основные числовые характеристики системы : . ж) найти условные математические ожидания и (случайной величины x относительно h и случайной величины h относительно x); з) построить линии регрессии (x по h и h по x). Решение. Изобразим треугольную область АВС (рис. 2.1). а) Для нахождения константы а в выражении для плотности вероятности , воспользуемся условием нормировки
Имеем
,
и, следовательно,
.
Напоминание. Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна
Рис. 2.1 б) Вероятность попадания равномерно распределенной в области D случайной точки в некоторую область , найдем по формуле:
.
Точка D(0; 4) (см. рис. 2.1), следовательно,
.
в) Зная совместную плотность вероятности , можно найти безусловную плотность вероятности любой из случайных величин, входящих в систему по формулам:
= , = .
Для расстановки пределов интегрирования в последних формулах составим уравнения прямых АВ, ВС и АС. Напоминания: 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид
2. Уравнение прямой в отрезках имеет вид
,
где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох, b - ордината точки пересечения прямой с осью Оу. Уравнение прямой АВ имеет вид:
, .
Уравнение прямой ВС имеет вид:
, .
Уравнение прямой АС: . Треугольник АВС не является областью, стандартной относительно оси (см. рис. 2.1). Линия входа - отрезок прямой АВ (). Линия выхода - отрезок прямой ВС (), если . Таким образом,
= , если
Итак,
= Плотность вероятности должна удовлетворять условию нормировки
.
Для его проверки построим график (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Площадь треугольника, ограниченного графиком и осью Ох, равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется. Треугольник АВС является областью, стандартной относительно оси Ох (см. рис. 2.1). Линия входа - отрезок оси Оу (), линия выхода - отрезок прямой АВ (), если , и отрезок прямой ВС () Таким образом,
= , если = , если .
Итак, Для проверки условия нормировки построим график (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Согласно рис. 2.3 площадь треугольника, ограниченного графиком и осью Оу, равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется. г) Условные плотности вероятности выражаются через безусловные по формулам:
= при , = при .
Следовательно,
Заметим, что условие нормировки должно выполняться для любого фиксированного у, а условие нормировки должно выполняться для любого фиксированного х. д) Установить зависимость или независимость случайных величин x и h, входящих в систему , можно, сравнив условные , и безусловные , плотности, или, проверив необходимое и достаточное условие независимости = ∙ . В нашем случае и , следовательно, x и h зависимы. Очевидно также, что × , что подтверждает сделанный вывод. е) Вычислим основные числовые характеристики системы :
= ; = .
Заметим, что если система случайных величин распределена равномерно в треугольной области АВС, где А(х1, y1), B(х2, y2), C(х3, y3), то
= , = ;
(, ) - так называемый центр рассеивания.
Проверим:
= , = .
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
= .
Вычислим второй начальный момент :
= .
Тогда
= .
Аналогично вычислим дисперсию случайной величины h:
= .
Корреляционный момент , характеризующий связь между случайными величинами x и h, найдем по формуле
= . Для этого вычислим сначала второй смешанный начальный момент
=
Тогда
=
Безразмерной характеристикой связи между случайными величинами x и h служит коэффициент корреляции :
= .
В рассматриваемом случае
= .
Коэффициент корреляции отражает «степень линейной зависимости» случайных величин x и h. Так как = 0, x и h независимы.
ж) Условные математические ожидания случайных величин x и h, входящих в систему , найдем по формулам:
= и = .
Имеем:
= =
Заметим, что в случае равномерного распределения системы функции и являются линейными. з) Построим линии регрессии, определяемые уравнениями и . В рассматриваемой задаче
,
Графики линий регрессии приведены на рис. 2.4.
Рис. 2.4 Заметим, что линия регрессии графически изображает зависимость «в среднем» случайной величины x от возможных значений случайной величины h. Аналогично для .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-03-14; просмотров: 150; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.146.255.127 (0.038 с.) |