Основные тригонометрические тождества.

1. Найдите значение остальных функций, если < α < π

а) cos α = -0,6;  б) sinα = ;   в) cos α = - ;  г) ctg α = -2; 

2. Найдите значение остальных функций, если 0 < α <

а) sinα = 0,6; б) cos α = ;  в) tg α = 3;      

г) sinα = ; д) sinα = ;    е) cos α = ;

3. Найдите:

а) tg α, если sinα = и < α < π,     

б) cos α, если ctg α = , π < α <

в) ctg α, если cos α = -  и < α < π,      

в) sinα, если tg α = -1 и < α < π

4. Упростите выражение:

а) 1 - cos^2α; б) sin^2 α – 1; в) cos^2α + (1 - sin^2 α); г) sin^2 α + 2cos^2α – 1; д) (1 - sin α)(1 + sin α); е) (cosα – 1)(1 + cosα); ж) cosα • sin α • tg α; з)cosα • sin α • сtg α; и) sin^2 α – tg α• сtg α;

к) ; л) ; м) ;  н) sin^2 α + cos^2α + tg^2 α;  о) tg α• сtg α + сtg^2 α;

5.Упростите выражение

а) 1 - б)  - 1; в) 1 - ; г) ; д) ctg β - ;

е) ; ж) ; з) ; и) ;   к) cos^2α – (ctg^2 α +1)• sin^2 α.

1. Докажите, что при всех допустимых значениях β значение выражения

не зависит от значения β.

а) ; б) ;

в) ; г)

7.Упростите выражение:

а) tg(- α)• cos α + sinα;   б) ;  в) cos² α • tg² α – 1

8. Докажите тождество

а) (tgx + ctgx)² - (tgx - ctgx)² = 4

б) (2 + sinα)(2 - sinα) + (2 + cos α)(2 - cos α) = 7

в) =

г) =

 

Формулы приведения

Замените тригонометрической функцией угла

 

а) sin(  - α) б) cos( + α) в) tg(   - α)

г) ctg( π +α) д) cos(2π –α) е) sin(2π +α) ж) tg(180^0– α) з) sin(180^0+ α)

и) ctg(360^0+α) к) cos(90^0– α) л) sin(270^0– α) м) tg(270^0+α)

 

 

2.Найдие значение выражения

а) sin 240^0 б) cos (-210^0)

в) tg 300^0 г) sin 330^0

д) сtg (-225^0) е) sin 315^0

 

3. Упростите выражение

а) sin(α -  ) б) cos(α – π)

в) ctg(α - 360^0) г) tg(-α + 270^0)

4. Преобразуйте выражение

а) sin²( π +α); б) tg² (  + α); в) cos² (   - α)

5. Упростите выражение

а) sin(90⁰ – α) + cos(180⁰ + α) + tg(270⁰ +α) + ctg(360⁰ +α)

б) sin(  + α) - cos(α – π) + tg( π - α) + ctg(  - α)

в) sin²(180⁰ - α) + sin²(270⁰ - α)

г) sin(π - α) cos(α –  ) - sin(α +  ) cos(π –α)

д)            

е)            

ж)

з)

 

Формулы сложения

а) sin(  - α) б) cos( + α) в) tg(   - α)

г) ctg( π +α) д) cos(2π –α) е) sin(2π +α) ж) tg(180^0– α) з) sin(180^0+ α)

и) ctg(360^0+α) к) cos(90^0– α) л) sin(270^0– α) м) tg(270^0+α)

 

 1. С помощью формул сложения преобразуйте выражения

а) cos(;   б) sin(;  в) cos(; г) sin(;

д) cos(60⁰ + α) е) sin(60⁰ + α) ж) cos((30⁰ - α) з) sin(30⁰ - α)

 

2. Представьте 105⁰ как сумму 60⁰ + 45⁰ и найдите сos 105⁰, sin105⁰

3.Представьте 75⁰ как сумму 30⁰ + 45⁰ и найдите  сos 75⁰, sin75⁰

 

4. Найдите значение выражения

а) cos107^0cos17^0 + sin107^0sin17^0 б) cos24^0cos36^0 – sin24^0sin36^0 в) cos18^0cos63^0 + sin18^0sin63^0

г) sin63^0cos27^0 + cos63^0sin27^0 д) sin51^0cos21^0 – cos51^0sin21^0 е) sin32^0cos58^0 + cos32^0sin58^0

5. Упростите выражение

а) sin(  - α) – cos α б) sinβ + cos(α - )

в) cosα – 2cos(α - ) г) sin(  + α) – cos α

6. Докажите, что

а) sin(α + β) + sin(α – β) = 2 sin α cos β

б) cos(α – β) + cos(α + β) = 2 sin α sin β

в) sin(α + β) · sin(α – β) = sin² α – sin² β

г) cos(α – β) · cos(α + β) = cos² α – cos² β

 

 

Формулы суммы и разности тригонометрических выражений

1. С помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций

в произведение разложите на множители:

а) sin 3α + sin α; б) sin β - sin 5β;

в) cos 3x + cos 7x; г) cos 5y – cos 3y;

д) tg 3β – tg β; е) tg 4β – tg 2β

2. Представьте в виде произведения:

а) sin 12⁰ + sin 20⁰

б) cos 40⁰ – cos 16⁰

в) sin 52⁰ – sin 32⁰

г) cos15⁰ + cos 65⁰

д) sin 50⁰ + sin 80⁰

2. Упростите выражение:

            

                  

 

 

Формулы двойного угла.

Упростите выражение

а)     б)

в)   г) cos2α + sin^2 α

д) cos^2α - cos2α е)

2. Сократите дробь

а)      б)      в)      г)

3. Упростите

а)      б)     в)    г) sin² α + cos2α

4. Упростите выражение

а)   б)

в) sin2α·сtgα – 1 г) (tgα + сtgα)· sin2α

д) 0,5tgα· sin2α+cos^2α  е)

5. Вычислите

а) 2 sin15^0 cos15^0  б) 4 sin105^0 cos105^0  в) 2 sin  cos

г) cos^215^0 – sin^215^0 д) 4cos^2  – 4sin^2

е) cos^2  – sin^2   ж) 2 sin165^0 cos165^0  з) cos^275^0 – sin^275^0

6. Пусть sinα =  и α угол второй четверти. Найдите cos2α; sin2α; tg2α

     

7. Пусть sinα = -0,6 и α угол третей четверти. Найдите cos2α; sin2α; tg2α

          

8. Пусть cosα =-0,8 и α угол второй четверти. Найдите cos2α; sin2α; tg2α

          

9. Докажите тождество

а) 1-(sinα - cosα)^2= sin2α б) сtgα - sin2α = сtgα· cos2α в) (sinα + cosα)^2 - sin2α = 1

г) 4sinα cosα cos2α = sin4α д) (сtgα – tgα) sin2α = 2cos2α е) cos^4α – sin^4α = cos2α

 

 

2. 7. Преобразование тригонометрических выражений.

 

1. –tg²α – sin²α +

2.

3. –ctg²α – cos²α +

4.

5. tg²α + sin²α -

6. ctg²α + cos²α -

7. (sinα + cosα)² - sin2α

8.

9.

10.  sin⁴α – cos⁴α + cos²α 

11. (3 + sinα)(3 - sinα) + (3 + cos α)(3 - cos α)

12. 4·

13.

14.  (ctgα + tgα)(1 + cosα)(1 – cosα)

15.

16.  6·

Форма отчетности. Письменная работа. Самостоятельная работа по каждому разделу.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определения основных тригонометрических функций

2. Запишите формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента

3. Как зависят знаки тригонометрических функций в зависимости от координатной четверти.

4. Значения тригонометрических функций основных углов.

5. Основное тригонометрическое тождество, связь тангенса и косинуса, связь котангенса и синуса, произведение тангенса и котангенса.

6. Формулы приведения

7. Формулы двойного угла.

8. Формулы суммы и разности тригонометрических выражений

9. Формулы сложения.

Литература. лекции, информационно - поисковая система Интернет

https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М.И.Башмаков «Математика» учебник, задачник.

Оценка результатов работы. Выборочная оценка. Контрольная работа по теме

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

Тема: Тригонометрические функции и уравнения

Цель:   рассмотрение всех всевозможных способов преобразования графиков функций, научиться решать тригонометрические уравнения, используя свойства обратных тригонометрических функций и формул решения тригонометрических уравнений.