По выполнению практических занятий

Раздел 6. Комбинаторика

Умения:

4.  пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах.

Норма времени: 6

Учебно-методическое оснащение рабочего места: справочные таблицы, раздаточный материал.

Ход работы.

1.1 Целые и рациональные числа

1. 4064,5: 5,5 – 7,6 89,6

2. 35,3

3. 82,8  0,54 – 7,54: 6,5

4. 25,3  5,3 – 556,272: 4,8

5. 32,6  15,6 – 7230,912: 5,2

6. 4976,748: 8,7 – 5,8 97,3

7. ,75

8. ,25

9.

1.2 Действительные числа

Найдите значение выражения

1. a³ – ba² при а = 6, b = 0,4

2. 3a³ – 6ba² при а = -1, b = 0,8

3. x² + bx при х = -6, b = 0,4

4. ba³ – b²a при а = 6, b = -4

5.     при х = -5; у = 3

6. а² – ba³ при а = 4, b = 0,4

7.    при х = 4; у = 8

8.     при х = 8; у = -3

1.3 Приближенные вычисления

Округлите числа до сотен, единиц, десятых, сотых, тысячных долей: 3620,80745; 208,4724; 82,30065; 0,03472

Форма отчетности. Письменная работа.

Контрольные вопросы.

1. Какие числа называются целыми?
2. Какие числа называются натуральными?
3. Какие числа называются рациональными?
4. Какие числа называются иррациональными?
5. Какие числа называются действительными?
6. Какие числа называются комплексными?

Литература. лекции, информационно - поисковая система Интернет

https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М.И.Башмаков «Математика» учебник

Оценка результатов работы. Входная контрольная работ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

Тема: Тригонометрические выражения

Цель: Научится выполнять преобразование тригонометрических выражений при помощи основных формул.

Норма времени: 10

Учебно-методическое оснащение рабочего места: справочные таблицы, раздаточный материал.

Ход работы.

2. 1. Основные тригонометрические функции. Радианная мера угла.

1. Вычислите, используя таблицу:

а) 2 cos 600 +  cos 300  б) 5 sin 300 – ctg 450 в) 2 sin 300 + 6 cos 600 –4 tg 450 г) 3 tg 450 • tg 600 д) 4 tg 600 • sin 600 е) 12 sin 600 • cos 600 ж) 2 sin 600 • ctg 600 з) 2 sin 450 – 4 cos 300

и) 7 tg 300 • ctg 300 к) 6 ctg 600 – 2 sin 600 л) 2 cos 00 – 4 sin 900 + 5 tg 1800 м) 2 ctg 900 – 3 cos 2700 + 5 sin 00 н) tg 3600 - ¾ sin 2700 - ¼ cos 1800 о) sin 00 + cos 600  п) tg 600 • sin 600 • ctg 300   р) 4 sin 900 – 3 cos 1800

2. Определите знак выражения:

3. Найдите значение выражения:

4. Вычислите

1. Выразите в градусах:

а) 0,5;   б) 10; в) ;

г) ; д)  ; е) - ;

ж) - ; з) 12 π и) 0,2;

к) 3,1; л) м) - ;

н) - ; о) ;

2. Выразите в радианах;

135⁰; 210⁰; 36⁰ ; 150⁰; 240⁰; 300⁰; -120⁰;

-225⁰;10⁰;18⁰ ; 54⁰;200⁰; 390⁰;-45⁰; -60⁰

3. Вычислите:

а) 2 sin  + tg ; б) cos  - sin ; в) cos π  - 2 sin ; г) 2 cos  + tg π;

д) sin2 + sin2 ; е) cos2  - cos2 ; ж) tg2  • sin • tg2 ; з) tg • cos2  • sin ; и) cos  + sin2 .

4. Найдите значение выражения:

а) 2 sin π  -2 cos  + 3 tg  - ctg ; б) sin(- ) + 3 cos  - tg  + ctg ; в) 2 sin  - 3 tg  + ctg(- ) - tg π; г) 2 tg(- ) + 2 sin  - 3 tg 0 – 2 ctg ; д) 5 sin  + 4 cos 0 – 3 sin  + cos π; е) sin(- π)  -2 cos(- ) + 2 sin 2 π - tg π; ж) 3 - sin2  + 2 cos2  - 5 tg2 ; з) 3 sin2 - 4tg2  - 3 cos2  + 3 ctg2

Формулы приведения

Замените тригонометрической функцией угла

а) sin(  - α) б) cos( + α) в) tg(   - α)

г) ctg( π +α) д) cos(2π –α) е) sin(2π +α) ж) tg(1800 – α) з) sin(1800 + α)

и) ctg(3600 +α) к) cos(900 – α) л) sin(2700 – α) м) tg(2700 +α)

2.Найдие значение выражения

3. Упростите выражение

а) sin(α -  ) б) cos(α – π)

в) ctg(α - 3600) г) tg(-α + 2700 )

4. Преобразуйте выражение

а) sin²( π +α); б) tg² (  + α); в) cos² (   - α)

5. Упростите выражение

а) sin(90⁰ – α) + cos(180⁰ + α) + tg(270⁰ +α) + ctg(360⁰ +α)

б) sin(  + α) - cos(α – π) + tg( π - α) + ctg(  - α)

в) sin²(180⁰ - α) + sin²(270⁰ - α)

г) sin(π - α) cos(α –  ) - sin(α +  ) cos(π –α)

д)            

е)            

ж)

з)

Формулы сложения

а) sin(  - α) б) cos( + α) в) tg(   - α)

г) ctg( π +α) д) cos(2π –α) е) sin(2π +α) ж) tg(1800 – α) з) sin(1800 + α)

и) ctg(3600 +α) к) cos(900 – α) л) sin(2700 – α) м) tg(2700 +α)

 1. С помощью формул сложения преобразуйте выражения

а) cos(;   б) sin(;  в) cos(; г) sin(;

д) cos(60⁰ + α) е) sin(60⁰ + α) ж) cos((30⁰ - α) з) sin(30⁰ - α)

2. Представьте 105⁰ как сумму 60⁰ + 45⁰ и найдите сos 105⁰, sin105⁰

3.Представьте 75⁰ как сумму 30⁰ + 45⁰ и найдите  сos 75⁰, sin75⁰

4. Найдите значение выражения

5. Упростите выражение

а) sin(  - α) – cos α б) sinβ + cos(α - )

в) cosα – 2cos(α - ) г) sin(  + α) – cos α

6. Докажите, что

а) sin(α + β) + sin(α – β) = 2 sin α cos β

б) cos(α – β) + cos(α + β) = 2 sin α sin β

в) sin(α + β) · sin(α – β) = sin² α – sin² β

г) cos(α – β) · cos(α + β) = cos² α – cos² β

Формулы двойного угла.

Упростите выражение

а)     б)

в)   г) cos2α + sin2 α

д) cos2α - cos2α е)

2. Сократите дробь

а)      б)      в)      г)

3. Упростите

а)      б)     в)    г) sin² α + cos2α

4. Упростите выражение

а)   б)

в) sin2α·сtgα – 1 г) (tgα + сtgα)· sin2α

д) 0,5tgα· sin2α+cos2α  е)

5. Вычислите

а) 2 sin150 cos150  б) 4 sin1050 cos1050  в) 2 sin  cos

г) cos2150 – sin2150 д) 4cos2  – 4sin2

е) cos2  – sin2   ж) 2 sin1650 cos1650  з) cos2750 – sin2750

6. Пусть sinα =  и α угол второй четверти. Найдите cos2α; sin2α; tg2α

7. Пусть sinα = -0,6 и α угол третей четверти. Найдите cos2α; sin2α; tg2α

8. Пусть cosα =-0,8 и α угол второй четверти. Найдите cos2α; sin2α; tg2α

9. Докажите тождество

2. 7. Преобразование тригонометрических выражений.

1. –tg²α – sin²α +

2.

3. –ctg²α – cos²α +

4.

5. tg²α + sin²α -

6. ctg²α + cos²α -

7. (sinα + cosα)² - sin2α

8.

9.

10.  sin⁴α – cos⁴α + cos²α 

11. (3 + sinα)(3 - sinα) + (3 + cos α)(3 - cos α)

12. 4·

13.

14.  (ctgα + tgα)(1 + cosα)(1 – cosα)

15.

16.  6·

Форма отчетности. Письменная работа. Самостоятельная работа по каждому разделу.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определения основных тригонометрических функций

2. Запишите формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента

3. Как зависят знаки тригонометрических функций в зависимости от координатной четверти.

4. Значения тригонометрических функций основных углов.

5. Основное тригонометрическое тождество, связь тангенса и косинуса, связь котангенса и синуса, произведение тангенса и котангенса.

6. Формулы приведения

7. Формулы двойного угла.

8. Формулы суммы и разности тригонометрических выражений

9. Формулы сложения.

Литература. лекции, информационно - поисковая система Интернет

https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М.И.Башмаков «Математика» учебник, задачник.

Оценка результатов работы. Выборочная оценка. Контрольная работа по теме

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

Тема: Тригонометрические функции и уравнения

Цель:   рассмотрение всех всевозможных способов преобразования графиков функций, научиться решать тригонометрические уравнения, используя свойства обратных тригонометрических функций и формул решения тригонометрических уравнений.

Умения:

7. решать простейшие тригонометрические уравнения, их системы, а также некоторые виды тригонометрических уравнений (квадратные относительно одной из тригонометрических функций, однородные уравнения первой и второй степени относительно соs х и sin х);

Норма времени: 9

Учебно-методическое оснащение рабочего места: справочные таблицы, раздаточный материал, рабочие папки.

Ход работы.

1. Преобразования графиков тригонометрических функций.

Постройте график функции

a) y = -2sin (x +  ) -1

b) y = 2sin (x +  ) +1

c) y = 2cos (x +  ) -1

d) y = -2cos (x +  ) – 1

e) y = -2cos (x +  ) -1

f) y = -2sin (x +  ) -1

g) y = 2cos (x +  ) + 1

h) y = -2sin (x +  ) +1

i) y = 2sin (x +  ) -1

2. Четные и нечетные функции. Периодичность.

Определите четность функции

а) f(x) = x² + 3x + 1

б) f(x) =

в) f(x) = sin x

г) f(x) = 2x² - 3x⁴

д) f(x) = 4x² + x - 9

е) f(x) = x + 3x³

ж) f(x) =

з) f(x) =cos x

и) f(x) = sin x +3

3. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа

Вычислите:

1. аrcsin

2. arctg

3. arccos

4. arccos

5. arctg

6. arcsin(- )

7. arcsin

8. arccos

9. arccos(- )

10. arccos0

11. arcsin0

12. arcsin1

13. arcsin(-1)

14. arccos1

15. arctg1

Найдите значение выражения:

1. аrcsin 0 + arccos 0

2. arcsin  + arccos

3. arcsin(- ) +arccos

4. arcsin(-1) + arccos

5. arccos 0,5 + arcsin 0,5

6. arccos(- ) – arcsin(-1)

7. arccos(- ) + arcsin(- )

8. arccos  - arcsin

9. 4 arccos(- ) - arctg  + arcsin

10. 2arccos - arcsin(- ) + 3arctg 1

11. 3arcsin + arccos  - 2arcсtg 1

12. arcsin  + 6 arccos(- ) + 9arctg

13. -2 arccos(- ) - arcсtg  + arcsin

14. arccos +arcsin + arсtg

15.

16.

Сравните выражения

а) arcsin или arcsin 0,82

б) arccos(- ) или arccos

4. Решение тригонометрических уравнений

Решите уравнения:

1. sin x – 2 cos x = 0.

2. sin ² x – 6 sin x cos x + 5 cos ² x = 0.

3. cos² x + sin x · cos x = 1

4. sin 3x + sin x = sin 2x

5. cos2x + sinx cosx=1

6. 4 xin²x- cosx-1=0

7. 2 xin²x+3 cosx=0

8. 2cos2x − 3sinx=0

9. 2 sin²x + sinx – 1 = 0

10. 6sin²x + 5cosx – 2 = 0

11.

12.

13.

14.

Форма отчетности. Письменная работа.

Контрольные вопросы.

1. Графики каких тригонометрических функций проходят через начало координат?

2. Какие из тригонометрических функций четные?

3. Как осуществить перенос вдоль оси ОХ?

4. Как осуществить перенос вдоль оси ОУ?

5. Что называется арксинусом числа а?

6. Какие тригонометрические уравнения не имеют решений?

7. Перечислите частные случаи уравнения .

8. Запишите общую формулу корней уравнения .

Литература. лекции,

информационно - поисковая система Интернет

https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М.И.Башмаков «Математика» учебник

Оценка результатов работы: Выборочная оценка. Контрольная работа по теме

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

Ход работы.

Параллельность в пространстве

Решение задач на взаимное расположение прямых и плоскостей.

I. Содержание работы:

Ответить на вопрос и выполнить рисунок.

1.Прямые m и n лежат в одной плоскости. Могут ли эти прямые пересекаться, быть параллельными, могут ли они скрещиваться?

2. Прямые b и c пересекаются. Как расположена прямая b относительно прямой d, если c||d?

3. Даны скрещивающиеся прямые c и d. Как может быть расположена прямая с относительно m, если m d?

4. Прямые b и d пересекаются. Как расположена прямая b относительно с, если c и d пересекаются?

5. Даны скрещивающиеся прямые m и n. Как может быть расположена прямая m относительно прямой c, если c и n пересекаются?

II. Выполнить рисунок и заполнить таблицу.

АВСДА₁В₁С₁Д₁ – куб. точки L,N,T – середины ребер В₁С₁, С₁Д₁  и ДД_1.   К – точка пересечения диагоналей грани АА₁ВВ₁. Заполните таблицу расположения прямых:

  - пересекаются;

II - параллельны;

  - скрещиваются     

В тетраэдре АВСД постройте сечение, проходящее через точку М, лежащую на ребре АВ и параллельно прямым АС и ВД

Перпендикулярность в пространстве

Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

1. Ответить на контрольные вопросы:

1). Записать определение перпендикулярности прямой и плоскости (с рисунком).

2). Записать признак перпендикулярности прямой и плоскости (с рисунком).

3). Записать теорему о 3-х перпендикулярах (с рисунком).

4). Записать определение перпендикулярности плоскостей.

Задание № 2.

1 вариант

1. Точки К,Е, и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, А и М лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠ВОЕ, ∠ЕКА и ∠КВЕ.

2.  Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны .

3. В тетраэдре DАВС ребро AD⊥ΔABC. ΔABC - прямоугольный, ∠С=90°. Построить (найти) линейный угол двугранного угла ∠DВСА.

4. Отрезок ВМ⊥ к плоскости прямоугольника АВСD. Определить вид ΔDMC.

5. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ΔАВС. Известно, что BD=9 см, АС=10см, ВС=ВА=13 см. Найдите расстояние от точки D до прямой АС.

2 вариант

1. Точки К,Е, и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, А и М лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠МОК, ∠ОКВ и ∠АОЕ.

2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны .

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁проведены диагонали В₁D и В₁С. Построить (найти) линейный угол двугранного угла∠В₁DCB.

4. Отрезок CD⊥ к плоскости прямоугольного ΔАВС, где ∠В=90°. Определить вид ΔАВD.

5. Прямая SA перпендикулярна к плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что SC=5 см, AD=2 см, а сторона АВ в 2 раза больше, чем AD. Найдите расстояние от точки S до прямой DC.

Форма отчетности. Письменная работа

Контрольные вопросы.

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

2. Сформулируйте признак параллельности прямых.

3. Что значит: прямая и плоскость параллельны?

4. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

5. Какие плоскости называются параллельными?

6. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.

7. Перечислите свойства параллельного проектирования.

8. Свойства параллельных плоскостей.

9. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

10. Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?

11. Что называют расстоянием от точки до плоскости?

12. Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной?

13. Сформулировать теорему о трех перпендикулярах.

Литература. лекции,

информационно - поисковая система Интернет

https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М.И.Башмаков «Математика» учебник

Оценка результатов работы: Выборочная оценка. Контрольная работа по теме

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5

Тема: Корень. Степень. Логарифм.

Цель: научиться выполнять преобразования иррациональных, степенных, логарифмических выражений; решать простейшие иррациональные, показательные и логарифмические уравнения, системы уравнений, неравенства.

Знания:

1. новые термины математического языка: степень с рациональным показателем, степенная функция, иррациональное выражение;
2. свойства степенной функции, ее график.
3. новые термины математического языка: показательная функция, показательное уравнение, показательное неравенство, логарифм числа, основание логарифма, логарифмическая функция, логарифмическое уравнение, логарифмическое неравенство, экспонента, логарифмическая кривая;
4. основные свойства и графики логарифмической и показательной функций;
5. формулы, связанные с понятием логарифма, показательной и логарифмической функций.

 Умения

Норма времени: 15

Учебно-методическое оснащение рабочего места: справочные таблицы, раздаточный материал

Ход работы.

Степени и корни.

1. Корень n-ной степени и его свойства.

Вычислите:

1. Вычислите:

1.  ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

2. ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Иррациональные уравнения

Решите уравнение

1.

2.

Читайте также:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов